基于定位概率和收縮機(jī)制的電力系統(tǒng)拓?fù)溲莼Ｐ?/h1>
2021-01-29 12:45葛賢軍汪惟源孫文濤
孫 珂，王 丹，葛賢軍，汪惟源，孫文濤
（1.國(guó)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司，北京 102209；2.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（清華大學(xué)電機(jī)系），北京 100084；3.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司，南京 210019；4.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，南京 210008）
隨著可再生能源、綜合能源和能源互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展和接入電網(wǎng)，泛在電力物聯(lián)網(wǎng)、數(shù)字電網(wǎng)時(shí)代正在成為可能。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和運(yùn)行方式已發(fā)生了非常大的變化，源-網(wǎng)-荷-儲(chǔ)等多類(lèi)型參數(shù)不確定性越來(lái)越多，電網(wǎng)的運(yùn)行特性和動(dòng)態(tài)行為特征更為復(fù)雜，系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)分析和控制難度大大增加，尤其是電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性變強(qiáng)，值得深入研究。
為有效實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定量分析，通常的做法是：首先，對(duì)電力系統(tǒng)的電壓、電流等物理原理進(jìn)行定性分析；然后結(jié)合電力系統(tǒng)母線(xiàn)、變壓器、線(xiàn)路、開(kāi)關(guān)、斷路器等各類(lèi)型器件的運(yùn)行特性和彼此的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以頻率和電壓穩(wěn)定為基礎(chǔ)，構(gòu)建擬分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，并設(shè)定邊界條件后應(yīng)用數(shù)學(xué)求解算法進(jìn)行仿真分析；最后實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)各個(gè)組成元件之間關(guān)系定量描述，完成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析。然而，當(dāng)前以上方法不再完全適用，其主要原因是：①電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有動(dòng)態(tài)性，即網(wǎng)絡(luò)中的分布式電源、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等電源，電動(dòng)汽車(chē)、儲(chǔ)能等柔性負(fù)荷，以及它們之間的連接是動(dòng)態(tài)的，從而導(dǎo)致電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)方程或者數(shù)學(xué)模型也隨之動(dòng)態(tài)；②具有電源和負(fù)荷雙重特性的電動(dòng)汽車(chē)、儲(chǔ)能、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等元件或子系統(tǒng)規(guī)模化接入電力系統(tǒng)，電源和負(fù)荷之間的變換成為常態(tài)，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)建模面臨多源-多網(wǎng)-多荷的動(dòng)態(tài)運(yùn)行挑戰(zhàn)；③根據(jù)電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行情況，所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型極其龐大、維度高，對(duì)其計(jì)算分析的難度相當(dāng)高，而且對(duì)計(jì)算精度和速度等性能的要求也極高，難以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)要求；④為滿(mǎn)足電力系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)時(shí)性需求，在電力系統(tǒng)建模過(guò)程中，通常會(huì)對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的部分元件或者子系統(tǒng)進(jìn)行一些等值簡(jiǎn)化，從而降低了結(jié)果精度，無(wú)法全面體現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)行特性；因此，建立一種合理有效的電網(wǎng)動(dòng)態(tài)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)它的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析，非常必要。
在電力系統(tǒng)拓?fù)浞治鼋７矫?，?guó)內(nèi)外專(zhuān)家和學(xué)者們基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[1-10]提出了一些分析模型，主要包括NW（Newman-Watts）隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型、WS（Watts-Strogatz）小世界模型、無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型等。另外，一些學(xué)者也通過(guò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論來(lái)尋找電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的薄弱點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)的魯棒性和脆弱性分析，以及探索可能存在的大規(guī)模斷電故障、系統(tǒng)奔潰等問(wèn)題[11-19]，其核心目標(biāo)是保證電力系統(tǒng)的可靠、安全、經(jīng)濟(jì)、穩(wěn)定運(yùn)行。但是整體而言，目前基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的算法和模型，主要聚焦于系統(tǒng)的“生長(zhǎng)”過(guò)程，較少考慮系統(tǒng)的精確描述，無(wú)法較好從電力系統(tǒng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)、網(wǎng)架堅(jiān)強(qiáng)性提升、故障精準(zhǔn)預(yù)測(cè)與恢復(fù)等方面，實(shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)宏觀特性的定量分析；當(dāng)電力系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中由于故障、經(jīng)濟(jì)調(diào)度等導(dǎo)致拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，現(xiàn)有的分析模型已經(jīng)較難實(shí)現(xiàn)有效分析，有些模型甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果。
1 電網(wǎng)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化建模
電力系統(tǒng)中含有分布式電源和可再生能源、電動(dòng)汽車(chē)等多類(lèi)型用戶(hù)負(fù)荷和鉛酸、鋰電等不同類(lèi)型儲(chǔ)能等，這些新型源-荷-儲(chǔ)元素在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中并網(wǎng)或者離網(wǎng)具有實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)性，使得對(duì)電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)的拓?fù)渥兓M(jìn)行準(zhǔn)確地定量分析難度大。為有效實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的資源優(yōu)化配置和運(yùn)行效率提升，本文擬采用“位置鏈接概率”來(lái)分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞某跏寄Ｐ?，下面進(jìn)行詳細(xì)闡述。
1.1 位置連接概率
為對(duì)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的位連接概率進(jìn)行表征，先設(shè)定歐式問(wèn)題空間中任意的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j，它們的坐標(biāo)分別為(xi,yi)和(xj,yj)，則該兩點(diǎn)之間的歐氏距離為
式中，N為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)。
同時(shí)，設(shè)定歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最大歐氏空間距離，如式（2）所示。
歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的位置鏈接概率p（i，j）為
式中，α、β是取值范圍為(0,1]的調(diào)節(jié)參數(shù)。
電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演化，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系變化具有以下常識(shí)：①電源、負(fù)荷及網(wǎng)絡(luò)中任意的一個(gè)節(jié)點(diǎn)都會(huì)根據(jù)自身運(yùn)行的不同需求進(jìn)行并網(wǎng)、離網(wǎng)等重構(gòu)工作；②依據(jù)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)運(yùn)行特點(diǎn)，新的電源或者負(fù)荷節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，具有隨機(jī)性；③網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可能隨時(shí)由于故障原因，實(shí)時(shí)斷開(kāi)與它連接的所有節(jié)點(diǎn)，自身形成孤島運(yùn)行。因此，以概率p1、p2和p3分別表示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中增加節(jié)點(diǎn)、重連節(jié)點(diǎn)、斷開(kāi)和孤立節(jié)點(diǎn)等三種重構(gòu)行為，并且p、p2和p3需滿(mǎn)足式（4）、（5）的約束。
其中，式（5）確保了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)目為增長(zhǎng)的趨向，從而可確保電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)隨著演化的過(guò)程解裂為離散點(diǎn)，導(dǎo)致無(wú)法構(gòu)成正常運(yùn)行的網(wǎng)絡(luò)，式（5）的約束也正好反映了真實(shí)的電網(wǎng)在演化過(guò)程中可一直保持電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定平衡。
1.2 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型
在實(shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)任意節(jié)點(diǎn)連接概率定量表征的基礎(chǔ)上，為有效分析電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中所有節(jié)點(diǎn)的推演變化，設(shè)計(jì)了電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的收縮機(jī)制推演模型，實(shí)現(xiàn)的主要步驟如下：
（1）初始化網(wǎng)絡(luò)。首先，構(gòu)建出擁有Nstart個(gè)節(jié)點(diǎn)和M條邊的初始網(wǎng)絡(luò)，而且節(jié)點(diǎn)之間的連接概率應(yīng)該滿(mǎn)足式（3），且電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)M應(yīng)滿(mǎn)足
（2）新增節(jié)點(diǎn)。以概率p1新添一個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)，且該節(jié)點(diǎn)與原來(lái)已存在的節(jié)點(diǎn)彼此連接，并形成m1條邊；
（3）重連節(jié)點(diǎn)。以概率p2隨機(jī)挑選電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中原有一些節(jié)點(diǎn)的m2條邊，讓這m2條邊與其他節(jié)點(diǎn)發(fā)生隨機(jī)的重連操作；
（4）刪除節(jié)點(diǎn)。以概率p3隨機(jī)刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)，且刪除與該節(jié)點(diǎn)相連的所有邊；
（5）終止操作。在每一次的操作過(guò)程中，以概率p1、p2和p3，挑選以上（2）、（3）、（4）中的任意一個(gè)步驟來(lái)執(zhí)行操作，并一直進(jìn)行收縮循環(huán)執(zhí)行，直到所操作的次數(shù)達(dá)到電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械墓?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)預(yù)先設(shè)定值Nend為止。
按照以上基于收縮機(jī)制的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型步驟，設(shè)定位置連接概率的調(diào)節(jié)參數(shù)α,β初始值分別為0.1和0.3，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，分析節(jié)點(diǎn)為20的初始電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的推演過(guò)程，其結(jié)果如圖1所示。
依次類(lèi)推，按照電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化規(guī)律的步驟，分別對(duì)終止節(jié)點(diǎn)總數(shù)的IEEE 57、118和300的三種電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推演，其結(jié)果如圖2所示。
圖2 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)模型演化結(jié)果Fig.2 Evolution results of IEEE 57，118，and 300 node network models
2 動(dòng)態(tài)演化模型拓?fù)涮匦苑治?/h2>
圖1和圖2的結(jié)果，可以一定程度上說(shuō)明電力系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)整體節(jié)點(diǎn)總數(shù)的基本演化過(guò)程，但無(wú)法完成網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)變化情況描述，缺乏有效的定量分析指標(biāo)。為此，為有效衡量動(dòng)態(tài)演化模型的量化特征，提出相關(guān)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，主要包括平均路徑長(zhǎng)度、聚類(lèi)系數(shù)、節(jié)點(diǎn)度和網(wǎng)絡(luò)的度分布等4個(gè)指標(biāo)。
（1）平均路徑長(zhǎng)度L為
式中：di,j為系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我鈨蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)為i和j之間的距離；N是電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目偣?jié)點(diǎn)數(shù)。
（2）設(shè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)i與ki個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，即節(jié)點(diǎn)i擁有ki條邊，則該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)C為
式中：Ei為其他ki個(gè)節(jié)點(diǎn)它們之間相連接的總邊數(shù)；Ci為節(jié)點(diǎn)i自身的聚類(lèi)系數(shù)。
（3）設(shè)定節(jié)點(diǎn)度k是指電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)i擁有邊的條數(shù)k；網(wǎng)絡(luò)的度分布P(k)是指電力系統(tǒng)任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)其節(jié)點(diǎn)度為k的概率。由公式（4）不難發(fā)現(xiàn)，整個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲兴泄?jié)點(diǎn)度分布的之和應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足，其中，Pi(k)表示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)i的度分布。為此，從常識(shí)可知在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)度k的值越高，說(shuō)明該節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)連接越多，也說(shuō)明與該節(jié)點(diǎn)相連的邊越多。
2.1 節(jié)點(diǎn)度分布特性分析
進(jìn)一步，為了表征本文所提動(dòng)態(tài)演化模型中度分布的時(shí)變規(guī)律。假設(shè)任意時(shí)刻t，度分布值為k的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)度分布概率為P(k,t)。針對(duì)新增節(jié)點(diǎn)，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲行绿砑尤我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)，有且僅有帶入一條邊，由參考文獻(xiàn)[15]可知，該節(jié)點(diǎn)的度分布概率Pa(k,t)為
式中：N（t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中(t-1)時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的總數(shù)目；P（k-1，t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中該節(jié)點(diǎn)上一個(gè)（t-1）時(shí)間的節(jié)點(diǎn)度分布概率。
同理類(lèi)推，針對(duì)重連節(jié)點(diǎn)，假設(shè)任意時(shí)刻t，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的一條邊從節(jié)點(diǎn)i與另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j相連，則此時(shí)該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)度分布概率Pr(k,t)為
進(jìn)一步，假設(shè)任意時(shí)刻t電力網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i，將與該節(jié)點(diǎn)i相連接的所有邊都被刪除，則該節(jié)點(diǎn)刪除連接后的網(wǎng)絡(luò)度分布概率[15]為
聯(lián)合節(jié)點(diǎn)連接概率約束方程（4）、（5），任意t時(shí)刻，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)度分布概率P(k,t)的遞推表達(dá)式為
此處需要說(shuō)明的是，為了確保式（12）的普便適用價(jià)值而不失一般性的特征，進(jìn)行如下約定：①假定任意時(shí)刻t內(nèi)，任意新添的節(jié)點(diǎn)i僅僅相應(yīng)的增加一條邊；②每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i也都僅有一條邊從該節(jié)點(diǎn)重新連接到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j；③一旦電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中存在多條邊的變化，可將其視為分多步執(zhí)行。
根據(jù)2.1的原理，分別對(duì)IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)進(jìn)行度分布特性分析，結(jié)果如圖3所示。從圖3不難發(fā)現(xiàn)，該模型的網(wǎng)絡(luò)度分布具有冪律分布的特性，即IEEE三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中均出現(xiàn)某些節(jié)點(diǎn)度要比其他節(jié)點(diǎn)大得多。這些度分布比較大的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點(diǎn)連接相對(duì)緊密，跟其他節(jié)點(diǎn)的能量交換相對(duì)比較容易，是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中相對(duì)“特別重要”的節(jié)點(diǎn)；這些節(jié)點(diǎn)一旦受到攻擊或者損壞，將可能導(dǎo)致電力系統(tǒng)的奔潰、解裂等，它們對(duì)電力系統(tǒng)魯棒性提升、安全性加強(qiáng)等意義重大。
圖3 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的度分布情況Fig.3 Degree distribution of IEEE 57，118and 300 node networks
2.2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型評(píng)估
為驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)連接概率在電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)推演過(guò)程中的作用，選取節(jié)點(diǎn)連接概率調(diào)節(jié)參數(shù)α,β為0.1和0.3，分別對(duì)IEEE 39、IEEE 57、IEEE 118、IEEE 162和IEEE 300等不同標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行分析，其結(jié)果數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。從表1中不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò)選取不同的調(diào)節(jié)參數(shù)，不同的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)具有一定的規(guī)律。
表1 IEEE標(biāo)準(zhǔn)電力系統(tǒng)和本文推演模型評(píng)價(jià)指標(biāo)值對(duì)比Tab.1 Comparison of evaluation index values between IEEE standard power system and the proposed evolution model
表1中：Ne、＜k＞、L、C分別為IEEE 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)、平均度數(shù)、平均路徑長(zhǎng)度和網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)；、＜k′＞、L′、C′分別本文所提出的推演模型仿真所得的相對(duì)應(yīng)結(jié)果。
設(shè)定調(diào)節(jié)參數(shù)α和β分別為0.2和0.3，初始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，則IEEE 57、118和300標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的總度數(shù)如圖4和圖5所示。
圖4 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)Fig.4 Clustering coefficients of IEEE 57，118 and 300 node networks
圖5 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)Fig.5 Node degrees of IEEE 57，118 and 300node networks
從圖4不難發(fā)現(xiàn)，在三種標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲杏幸恍┕?jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)為0，即這樣的節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)相連的邊數(shù)非常少，從而也印證了這樣節(jié)點(diǎn)的外部連接非常弱、魯棒性較差，最好不要作為電源節(jié)點(diǎn)，特別是當(dāng)將其作為重要的供電電源節(jié)點(diǎn)時(shí)，一旦受到攻擊，風(fēng)險(xiǎn)較大。反之，擁有高聚類(lèi)系數(shù)的節(jié)點(diǎn)，說(shuō)明該節(jié)點(diǎn)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)聯(lián)系緊密，當(dāng)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中此類(lèi)節(jié)點(diǎn)受到攻擊，可以通過(guò)與它有密切彼此聯(lián)系節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行，相對(duì)比較適合選作電網(wǎng)的樞紐點(diǎn)，能有效提升系統(tǒng)供電可靠性。當(dāng)然，當(dāng)分布式能源出力過(guò)大，還可考慮將分布式電源產(chǎn)生的多余能量，利用鉛酸、鋰電池等儲(chǔ)能設(shè)備先將它們儲(chǔ)存起來(lái)，然后在系統(tǒng)負(fù)荷高峰時(shí)，進(jìn)行放電補(bǔ)充電網(wǎng)缺口，從而達(dá)到系統(tǒng)可靠供電。
同理，在圖5中，也存在一些節(jié)點(diǎn)的度分布值比較高，這些度分布值較高的節(jié)點(diǎn)也是其電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行中的“重要節(jié)點(diǎn)”，從系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行角度出發(fā)，可選作為主要供電電源或重要用電負(fù)荷的安放點(diǎn)。
2.3 模型可靠性分析
電力系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中故障、運(yùn)行調(diào)度等將會(huì)使一些節(jié)點(diǎn)與系統(tǒng)解列，即刪除節(jié)點(diǎn)。為此，為分析在電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化過(guò)程中，概率p3刪除節(jié)點(diǎn)變化對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞倪\(yùn)行特性的影響大小，下面詳細(xì)闡述。
依然以IEEE 57、IEEE118、IEEE162和IEEE300節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)為例，圖6、7、8、9分別是IEEE 57、118、162和300標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)的總邊數(shù)、網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度、網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)及總節(jié)點(diǎn)度數(shù)等4個(gè)指標(biāo)的變化趨勢(shì)曲線(xiàn)，按照概率p3刪除節(jié)點(diǎn)，分析其變化趨勢(shì)。
從圖6～圖9，不難發(fā)現(xiàn)：
（1）由圖6知，刪除概率p3值越大，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)就越少；反之，如果刪除概率p3值越小，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)相對(duì)較多，刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)對(duì)其影響相對(duì)較小。
圖6 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)隨p3變化情況Fig.6 Changes in the total number of edges in IEEE standard test example withp3
圖7 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的平均路徑長(zhǎng)度隨p3變化情況Fig.7 Changes in average path length of IEEE standard test example withp3
圖8 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的聚類(lèi)系數(shù)隨p3變化情況Fig.8 Changes in clustering coefficient of IEEE standard test example withp3
圖9 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的總節(jié)點(diǎn)度數(shù)隨p3變化情況Fig.9 Changes in total node degree of IEEE standard test example withp3
（2）從圖6還可知，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)數(shù)越多，它的斜率比節(jié)點(diǎn)數(shù)少電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的斜率要大，其主要原因是最終節(jié)點(diǎn)數(shù)多的網(wǎng)絡(luò)，它的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)會(huì)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)有相對(duì)較多的相連，從而會(huì)得到更大的度分布值。說(shuō)明刪除節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆绊懘蟆?/p>
（3）從圖7可知，刪除節(jié)點(diǎn)的概率p3值越大，網(wǎng)絡(luò)中平均路徑長(zhǎng)度越短，但其曲線(xiàn)的波動(dòng)范圍相對(duì)較小，表明網(wǎng)絡(luò)中刪除節(jié)點(diǎn)，對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑距離影響相對(duì)小。
（4）從圖8可知，概率p3的刪除節(jié)點(diǎn)變化對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)的影響并無(wú)明顯規(guī)律，是一種毫無(wú)明顯特征的波動(dòng)曲線(xiàn)，僅僅呈現(xiàn)一定的波動(dòng)規(guī)律，即電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)越多，其曲線(xiàn)波動(dòng)相對(duì)較小，因此說(shuō)明：節(jié)點(diǎn)總數(shù)較大的電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對(duì)比較復(fù)雜，此時(shí)一些節(jié)點(diǎn)的刪除或者退出運(yùn)行對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲泄?jié)點(diǎn)之間的交叉聯(lián)系影響不大，也印證了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)越復(fù)雜，一旦節(jié)點(diǎn)失電，實(shí)現(xiàn)對(duì)該節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供電概率相對(duì)越高。
進(jìn)一步，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的專(zhuān)家和學(xué)者們通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)刪除概率p3值不能無(wú)限擴(kuò)大至1（全部刪掉，系統(tǒng)停運(yùn)），其上限應(yīng)小于0.32，即p3＜0.32，一旦刪除節(jié)點(diǎn)概率值大于0.32，網(wǎng)絡(luò)解裂的速度就會(huì)大于連接的速度，將會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)崩潰，此時(shí)無(wú)論電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多復(fù)雜，其最終結(jié)果將是系統(tǒng)的不穩(wěn)定，從而也印證了作為剛性特點(diǎn)的電力系統(tǒng)，其穩(wěn)定是有邊界的。
當(dāng)然，電力系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中一般擁有一定面對(duì)多類(lèi)型故障的承受和自愈能力，即電力系統(tǒng)的魯棒性。進(jìn)一步，結(jié)合現(xiàn)在電力物聯(lián)網(wǎng)的特點(diǎn)，下面從系統(tǒng)抗隨機(jī)故障、抗主動(dòng)攻擊等兩個(gè)維度，應(yīng)用本文所提出的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型來(lái)分析系統(tǒng)的魯棒性。分別模擬系統(tǒng)抗隨機(jī)故障和抗主動(dòng)攻擊兩種故障類(lèi)型，計(jì)算IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)中受影響節(jié)點(diǎn)數(shù)量，其曲線(xiàn)如圖10所示。
圖10 隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊對(duì)IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的影響Fig.10 Effects of random failures and active attacks on nodes of IEEE standard test systems
從圖10不難發(fā)現(xiàn)。
（1）主動(dòng)攻擊的對(duì)象選取最大度數(shù)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為最佳，一旦此類(lèi)電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)受到攻擊，與其連接的節(jié)點(diǎn)變?yōu)閯h除節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)的整體魯棒性大大降低。因此，在實(shí)際電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)搭建過(guò)程中，在這些關(guān)鍵網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上配置冗余和保護(hù)機(jī)制，可有效提升系統(tǒng)可靠性。
（2）隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊相比，系統(tǒng)的魯棒性更強(qiáng)。其主要原因是隨機(jī)故障具有強(qiáng)突發(fā)性，故障點(diǎn)大概率發(fā)生在一些非重要節(jié)點(diǎn)，此時(shí)對(duì)電力系統(tǒng)的影響有限。這也印證了電力系統(tǒng)具有一定的彈性。
（3）隨著IEEE 57、IEEE118和IEEE300節(jié)點(diǎn)總數(shù)增多，其網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒性會(huì)相應(yīng)的增強(qiáng)，這與2.3節(jié)中刪除節(jié)點(diǎn)對(duì)電力系統(tǒng)影響的作用所獲得的結(jié)論基本一致，從而也印證了互聯(lián)互通的復(fù)雜電力系統(tǒng)穩(wěn)定性更強(qiáng)。
（4）在電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的規(guī)劃和設(shè)計(jì)階段，應(yīng)盡可能減少對(duì)個(gè)別重要節(jié)點(diǎn)的依賴(lài)作用，通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)之間的互聯(lián)互通，形成電力系統(tǒng)多個(gè)樞紐節(jié)點(diǎn)共存態(tài)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)可靠性提升。
（5）本文所提模型可定量分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)對(duì)可靠性的作用。根據(jù)計(jì)算結(jié)果對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)安裝設(shè)備和加強(qiáng)保護(hù)，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)整體運(yùn)行的安全性提升，并節(jié)約了投資建設(shè)成本。
3 結(jié)語(yǔ)
本文提出了一種基于定位概率和收縮機(jī)制的的新型網(wǎng)絡(luò)建模方法，通過(guò)采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度量來(lái)評(píng)估和揭示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞年P(guān)鍵統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。所提出的動(dòng)態(tài)演化建模方法可從拓?fù)浣嵌葘?duì)電力系統(tǒng)的演化特征和復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行分析。此外，所提出的網(wǎng)絡(luò)模型，也可以對(duì)電網(wǎng)的系統(tǒng)魯棒性和脆弱性進(jìn)行系統(tǒng)化的評(píng)價(jià)和分析。
著眼未來(lái)，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫蒲菽Ｐ涂芍貜囊韵聝蓚€(gè)方面進(jìn)行開(kāi)展深入研究：一方面是基于真實(shí)的電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)對(duì)所提出的模型進(jìn)行驗(yàn)證和分析；另一方面，可將電網(wǎng)的可靠性分析和級(jí)聯(lián)故障傳播機(jī)制納入所提出的模型，從而有效提升電網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃的有效性和運(yùn)行的可靠性。
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（1.國(guó)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司，北京 102209；2.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（清華大學(xué)電機(jī)系），北京 100084；3.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司，南京 210019；4.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，南京 210008）
隨著可再生能源、綜合能源和能源互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展和接入電網(wǎng)，泛在電力物聯(lián)網(wǎng)、數(shù)字電網(wǎng)時(shí)代正在成為可能。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和運(yùn)行方式已發(fā)生了非常大的變化，源-網(wǎng)-荷-儲(chǔ)等多類(lèi)型參數(shù)不確定性越來(lái)越多，電網(wǎng)的運(yùn)行特性和動(dòng)態(tài)行為特征更為復(fù)雜，系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)分析和控制難度大大增加，尤其是電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性變強(qiáng)，值得深入研究。
為有效實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定量分析，通常的做法是：首先，對(duì)電力系統(tǒng)的電壓、電流等物理原理進(jìn)行定性分析；然后結(jié)合電力系統(tǒng)母線(xiàn)、變壓器、線(xiàn)路、開(kāi)關(guān)、斷路器等各類(lèi)型器件的運(yùn)行特性和彼此的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以頻率和電壓穩(wěn)定為基礎(chǔ)，構(gòu)建擬分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，并設(shè)定邊界條件后應(yīng)用數(shù)學(xué)求解算法進(jìn)行仿真分析；最后實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)各個(gè)組成元件之間關(guān)系定量描述，完成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析。然而，當(dāng)前以上方法不再完全適用，其主要原因是：①電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有動(dòng)態(tài)性，即網(wǎng)絡(luò)中的分布式電源、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等電源，電動(dòng)汽車(chē)、儲(chǔ)能等柔性負(fù)荷，以及它們之間的連接是動(dòng)態(tài)的，從而導(dǎo)致電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)方程或者數(shù)學(xué)模型也隨之動(dòng)態(tài)；②具有電源和負(fù)荷雙重特性的電動(dòng)汽車(chē)、儲(chǔ)能、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等元件或子系統(tǒng)規(guī)模化接入電力系統(tǒng)，電源和負(fù)荷之間的變換成為常態(tài)，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)建模面臨多源-多網(wǎng)-多荷的動(dòng)態(tài)運(yùn)行挑戰(zhàn)；③根據(jù)電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行情況，所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型極其龐大、維度高，對(duì)其計(jì)算分析的難度相當(dāng)高，而且對(duì)計(jì)算精度和速度等性能的要求也極高，難以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)要求；④為滿(mǎn)足電力系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)時(shí)性需求，在電力系統(tǒng)建模過(guò)程中，通常會(huì)對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的部分元件或者子系統(tǒng)進(jìn)行一些等值簡(jiǎn)化，從而降低了結(jié)果精度，無(wú)法全面體現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)行特性；因此，建立一種合理有效的電網(wǎng)動(dòng)態(tài)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)它的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析，非常必要。
在電力系統(tǒng)拓?fù)浞治鼋７矫?，?guó)內(nèi)外專(zhuān)家和學(xué)者們基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[1-10]提出了一些分析模型，主要包括NW（Newman-Watts）隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型、WS（Watts-Strogatz）小世界模型、無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型等。另外，一些學(xué)者也通過(guò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論來(lái)尋找電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的薄弱點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)的魯棒性和脆弱性分析，以及探索可能存在的大規(guī)模斷電故障、系統(tǒng)奔潰等問(wèn)題[11-19]，其核心目標(biāo)是保證電力系統(tǒng)的可靠、安全、經(jīng)濟(jì)、穩(wěn)定運(yùn)行。但是整體而言，目前基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的算法和模型，主要聚焦于系統(tǒng)的“生長(zhǎng)”過(guò)程，較少考慮系統(tǒng)的精確描述，無(wú)法較好從電力系統(tǒng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)、網(wǎng)架堅(jiān)強(qiáng)性提升、故障精準(zhǔn)預(yù)測(cè)與恢復(fù)等方面，實(shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)宏觀特性的定量分析；當(dāng)電力系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中由于故障、經(jīng)濟(jì)調(diào)度等導(dǎo)致拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，現(xiàn)有的分析模型已經(jīng)較難實(shí)現(xiàn)有效分析，有些模型甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果。
1 電網(wǎng)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化建模
電力系統(tǒng)中含有分布式電源和可再生能源、電動(dòng)汽車(chē)等多類(lèi)型用戶(hù)負(fù)荷和鉛酸、鋰電等不同類(lèi)型儲(chǔ)能等，這些新型源-荷-儲(chǔ)元素在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中并網(wǎng)或者離網(wǎng)具有實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)性，使得對(duì)電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)的拓?fù)渥兓M(jìn)行準(zhǔn)確地定量分析難度大。為有效實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的資源優(yōu)化配置和運(yùn)行效率提升，本文擬采用“位置鏈接概率”來(lái)分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞某跏寄Ｐ?，下面進(jìn)行詳細(xì)闡述。
1.1 位置連接概率
為對(duì)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的位連接概率進(jìn)行表征，先設(shè)定歐式問(wèn)題空間中任意的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j，它們的坐標(biāo)分別為(xi,yi)和(xj,yj)，則該兩點(diǎn)之間的歐氏距離為
式中，N為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)。
同時(shí)，設(shè)定歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最大歐氏空間距離，如式（2）所示。
歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的位置鏈接概率p（i，j）為
式中，α、β是取值范圍為(0,1]的調(diào)節(jié)參數(shù)。
電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演化，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系變化具有以下常識(shí)：①電源、負(fù)荷及網(wǎng)絡(luò)中任意的一個(gè)節(jié)點(diǎn)都會(huì)根據(jù)自身運(yùn)行的不同需求進(jìn)行并網(wǎng)、離網(wǎng)等重構(gòu)工作；②依據(jù)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)運(yùn)行特點(diǎn)，新的電源或者負(fù)荷節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，具有隨機(jī)性；③網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可能隨時(shí)由于故障原因，實(shí)時(shí)斷開(kāi)與它連接的所有節(jié)點(diǎn)，自身形成孤島運(yùn)行。因此，以概率p1、p2和p3分別表示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中增加節(jié)點(diǎn)、重連節(jié)點(diǎn)、斷開(kāi)和孤立節(jié)點(diǎn)等三種重構(gòu)行為，并且p、p2和p3需滿(mǎn)足式（4）、（5）的約束。
其中，式（5）確保了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)目為增長(zhǎng)的趨向，從而可確保電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)隨著演化的過(guò)程解裂為離散點(diǎn)，導(dǎo)致無(wú)法構(gòu)成正常運(yùn)行的網(wǎng)絡(luò)，式（5）的約束也正好反映了真實(shí)的電網(wǎng)在演化過(guò)程中可一直保持電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定平衡。
1.2 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型
在實(shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)任意節(jié)點(diǎn)連接概率定量表征的基礎(chǔ)上，為有效分析電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中所有節(jié)點(diǎn)的推演變化，設(shè)計(jì)了電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的收縮機(jī)制推演模型，實(shí)現(xiàn)的主要步驟如下：
（1）初始化網(wǎng)絡(luò)。首先，構(gòu)建出擁有Nstart個(gè)節(jié)點(diǎn)和M條邊的初始網(wǎng)絡(luò)，而且節(jié)點(diǎn)之間的連接概率應(yīng)該滿(mǎn)足式（3），且電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)M應(yīng)滿(mǎn)足
（2）新增節(jié)點(diǎn)。以概率p1新添一個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)，且該節(jié)點(diǎn)與原來(lái)已存在的節(jié)點(diǎn)彼此連接，并形成m1條邊；
（3）重連節(jié)點(diǎn)。以概率p2隨機(jī)挑選電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中原有一些節(jié)點(diǎn)的m2條邊，讓這m2條邊與其他節(jié)點(diǎn)發(fā)生隨機(jī)的重連操作；
（4）刪除節(jié)點(diǎn)。以概率p3隨機(jī)刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)，且刪除與該節(jié)點(diǎn)相連的所有邊；
（5）終止操作。在每一次的操作過(guò)程中，以概率p1、p2和p3，挑選以上（2）、（3）、（4）中的任意一個(gè)步驟來(lái)執(zhí)行操作，并一直進(jìn)行收縮循環(huán)執(zhí)行，直到所操作的次數(shù)達(dá)到電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械墓?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)預(yù)先設(shè)定值Nend為止。
按照以上基于收縮機(jī)制的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型步驟，設(shè)定位置連接概率的調(diào)節(jié)參數(shù)α,β初始值分別為0.1和0.3，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，分析節(jié)點(diǎn)為20的初始電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的推演過(guò)程，其結(jié)果如圖1所示。
依次類(lèi)推，按照電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化規(guī)律的步驟，分別對(duì)終止節(jié)點(diǎn)總數(shù)的IEEE 57、118和300的三種電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推演，其結(jié)果如圖2所示。
圖2 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)模型演化結(jié)果Fig.2 Evolution results of IEEE 57，118，and 300 node network models
2 動(dòng)態(tài)演化模型拓?fù)涮匦苑治?/h2>
圖1和圖2的結(jié)果，可以一定程度上說(shuō)明電力系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)整體節(jié)點(diǎn)總數(shù)的基本演化過(guò)程，但無(wú)法完成網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)變化情況描述，缺乏有效的定量分析指標(biāo)。為此，為有效衡量動(dòng)態(tài)演化模型的量化特征，提出相關(guān)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，主要包括平均路徑長(zhǎng)度、聚類(lèi)系數(shù)、節(jié)點(diǎn)度和網(wǎng)絡(luò)的度分布等4個(gè)指標(biāo)。
（1）平均路徑長(zhǎng)度L為
式中：di,j為系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我鈨蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)為i和j之間的距離；N是電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目偣?jié)點(diǎn)數(shù)。
（2）設(shè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)i與ki個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，即節(jié)點(diǎn)i擁有ki條邊，則該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)C為
式中：Ei為其他ki個(gè)節(jié)點(diǎn)它們之間相連接的總邊數(shù)；Ci為節(jié)點(diǎn)i自身的聚類(lèi)系數(shù)。
（3）設(shè)定節(jié)點(diǎn)度k是指電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)i擁有邊的條數(shù)k；網(wǎng)絡(luò)的度分布P(k)是指電力系統(tǒng)任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)其節(jié)點(diǎn)度為k的概率。由公式（4）不難發(fā)現(xiàn)，整個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲兴泄?jié)點(diǎn)度分布的之和應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足，其中，Pi(k)表示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)i的度分布。為此，從常識(shí)可知在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)度k的值越高，說(shuō)明該節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)連接越多，也說(shuō)明與該節(jié)點(diǎn)相連的邊越多。
2.1 節(jié)點(diǎn)度分布特性分析
進(jìn)一步，為了表征本文所提動(dòng)態(tài)演化模型中度分布的時(shí)變規(guī)律。假設(shè)任意時(shí)刻t，度分布值為k的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)度分布概率為P(k,t)。針對(duì)新增節(jié)點(diǎn)，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲行绿砑尤我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)，有且僅有帶入一條邊，由參考文獻(xiàn)[15]可知，該節(jié)點(diǎn)的度分布概率Pa(k,t)為
式中：N（t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中(t-1)時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的總數(shù)目；P（k-1，t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中該節(jié)點(diǎn)上一個(gè)（t-1）時(shí)間的節(jié)點(diǎn)度分布概率。
同理類(lèi)推，針對(duì)重連節(jié)點(diǎn)，假設(shè)任意時(shí)刻t，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的一條邊從節(jié)點(diǎn)i與另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j相連，則此時(shí)該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)度分布概率Pr(k,t)為
進(jìn)一步，假設(shè)任意時(shí)刻t電力網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i，將與該節(jié)點(diǎn)i相連接的所有邊都被刪除，則該節(jié)點(diǎn)刪除連接后的網(wǎng)絡(luò)度分布概率[15]為
聯(lián)合節(jié)點(diǎn)連接概率約束方程（4）、（5），任意t時(shí)刻，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)度分布概率P(k,t)的遞推表達(dá)式為
此處需要說(shuō)明的是，為了確保式（12）的普便適用價(jià)值而不失一般性的特征，進(jìn)行如下約定：①假定任意時(shí)刻t內(nèi)，任意新添的節(jié)點(diǎn)i僅僅相應(yīng)的增加一條邊；②每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i也都僅有一條邊從該節(jié)點(diǎn)重新連接到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j；③一旦電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中存在多條邊的變化，可將其視為分多步執(zhí)行。
根據(jù)2.1的原理，分別對(duì)IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)進(jìn)行度分布特性分析，結(jié)果如圖3所示。從圖3不難發(fā)現(xiàn)，該模型的網(wǎng)絡(luò)度分布具有冪律分布的特性，即IEEE三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中均出現(xiàn)某些節(jié)點(diǎn)度要比其他節(jié)點(diǎn)大得多。這些度分布比較大的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點(diǎn)連接相對(duì)緊密，跟其他節(jié)點(diǎn)的能量交換相對(duì)比較容易，是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中相對(duì)“特別重要”的節(jié)點(diǎn)；這些節(jié)點(diǎn)一旦受到攻擊或者損壞，將可能導(dǎo)致電力系統(tǒng)的奔潰、解裂等，它們對(duì)電力系統(tǒng)魯棒性提升、安全性加強(qiáng)等意義重大。
圖3 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的度分布情況Fig.3 Degree distribution of IEEE 57，118and 300 node networks
2.2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型評(píng)估
為驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)連接概率在電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)推演過(guò)程中的作用，選取節(jié)點(diǎn)連接概率調(diào)節(jié)參數(shù)α,β為0.1和0.3，分別對(duì)IEEE 39、IEEE 57、IEEE 118、IEEE 162和IEEE 300等不同標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行分析，其結(jié)果數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。從表1中不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò)選取不同的調(diào)節(jié)參數(shù)，不同的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)具有一定的規(guī)律。
表1 IEEE標(biāo)準(zhǔn)電力系統(tǒng)和本文推演模型評(píng)價(jià)指標(biāo)值對(duì)比Tab.1 Comparison of evaluation index values between IEEE standard power system and the proposed evolution model
表1中：Ne、＜k＞、L、C分別為IEEE 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)、平均度數(shù)、平均路徑長(zhǎng)度和網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)；、＜k′＞、L′、C′分別本文所提出的推演模型仿真所得的相對(duì)應(yīng)結(jié)果。
設(shè)定調(diào)節(jié)參數(shù)α和β分別為0.2和0.3，初始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，則IEEE 57、118和300標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的總度數(shù)如圖4和圖5所示。
圖4 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)Fig.4 Clustering coefficients of IEEE 57，118 and 300 node networks
圖5 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)Fig.5 Node degrees of IEEE 57，118 and 300node networks
從圖4不難發(fā)現(xiàn)，在三種標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲杏幸恍┕?jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)為0，即這樣的節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)相連的邊數(shù)非常少，從而也印證了這樣節(jié)點(diǎn)的外部連接非常弱、魯棒性較差，最好不要作為電源節(jié)點(diǎn)，特別是當(dāng)將其作為重要的供電電源節(jié)點(diǎn)時(shí)，一旦受到攻擊，風(fēng)險(xiǎn)較大。反之，擁有高聚類(lèi)系數(shù)的節(jié)點(diǎn)，說(shuō)明該節(jié)點(diǎn)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)聯(lián)系緊密，當(dāng)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中此類(lèi)節(jié)點(diǎn)受到攻擊，可以通過(guò)與它有密切彼此聯(lián)系節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行，相對(duì)比較適合選作電網(wǎng)的樞紐點(diǎn)，能有效提升系統(tǒng)供電可靠性。當(dāng)然，當(dāng)分布式能源出力過(guò)大，還可考慮將分布式電源產(chǎn)生的多余能量，利用鉛酸、鋰電池等儲(chǔ)能設(shè)備先將它們儲(chǔ)存起來(lái)，然后在系統(tǒng)負(fù)荷高峰時(shí)，進(jìn)行放電補(bǔ)充電網(wǎng)缺口，從而達(dá)到系統(tǒng)可靠供電。
同理，在圖5中，也存在一些節(jié)點(diǎn)的度分布值比較高，這些度分布值較高的節(jié)點(diǎn)也是其電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行中的“重要節(jié)點(diǎn)”，從系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行角度出發(fā)，可選作為主要供電電源或重要用電負(fù)荷的安放點(diǎn)。
2.3 模型可靠性分析
電力系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中故障、運(yùn)行調(diào)度等將會(huì)使一些節(jié)點(diǎn)與系統(tǒng)解列，即刪除節(jié)點(diǎn)。為此，為分析在電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化過(guò)程中，概率p3刪除節(jié)點(diǎn)變化對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞倪\(yùn)行特性的影響大小，下面詳細(xì)闡述。
依然以IEEE 57、IEEE118、IEEE162和IEEE300節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)為例，圖6、7、8、9分別是IEEE 57、118、162和300標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)的總邊數(shù)、網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度、網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)及總節(jié)點(diǎn)度數(shù)等4個(gè)指標(biāo)的變化趨勢(shì)曲線(xiàn)，按照概率p3刪除節(jié)點(diǎn)，分析其變化趨勢(shì)。
從圖6～圖9，不難發(fā)現(xiàn)：
（1）由圖6知，刪除概率p3值越大，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)就越少；反之，如果刪除概率p3值越小，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)相對(duì)較多，刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)對(duì)其影響相對(duì)較小。
圖6 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)隨p3變化情況Fig.6 Changes in the total number of edges in IEEE standard test example withp3
圖7 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的平均路徑長(zhǎng)度隨p3變化情況Fig.7 Changes in average path length of IEEE standard test example withp3
圖8 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的聚類(lèi)系數(shù)隨p3變化情況Fig.8 Changes in clustering coefficient of IEEE standard test example withp3
圖9 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試算例的總節(jié)點(diǎn)度數(shù)隨p3變化情況Fig.9 Changes in total node degree of IEEE standard test example withp3
（2）從圖6還可知，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)數(shù)越多，它的斜率比節(jié)點(diǎn)數(shù)少電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的斜率要大，其主要原因是最終節(jié)點(diǎn)數(shù)多的網(wǎng)絡(luò)，它的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)會(huì)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)有相對(duì)較多的相連，從而會(huì)得到更大的度分布值。說(shuō)明刪除節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆绊懘蟆?/p>
（3）從圖7可知，刪除節(jié)點(diǎn)的概率p3值越大，網(wǎng)絡(luò)中平均路徑長(zhǎng)度越短，但其曲線(xiàn)的波動(dòng)范圍相對(duì)較小，表明網(wǎng)絡(luò)中刪除節(jié)點(diǎn)，對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑距離影響相對(duì)小。
（4）從圖8可知，概率p3的刪除節(jié)點(diǎn)變化對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)的影響并無(wú)明顯規(guī)律，是一種毫無(wú)明顯特征的波動(dòng)曲線(xiàn)，僅僅呈現(xiàn)一定的波動(dòng)規(guī)律，即電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)越多，其曲線(xiàn)波動(dòng)相對(duì)較小，因此說(shuō)明：節(jié)點(diǎn)總數(shù)較大的電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對(duì)比較復(fù)雜，此時(shí)一些節(jié)點(diǎn)的刪除或者退出運(yùn)行對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲泄?jié)點(diǎn)之間的交叉聯(lián)系影響不大，也印證了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)越復(fù)雜，一旦節(jié)點(diǎn)失電，實(shí)現(xiàn)對(duì)該節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供電概率相對(duì)越高。
進(jìn)一步，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的專(zhuān)家和學(xué)者們通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)刪除概率p3值不能無(wú)限擴(kuò)大至1（全部刪掉，系統(tǒng)停運(yùn)），其上限應(yīng)小于0.32，即p3＜0.32，一旦刪除節(jié)點(diǎn)概率值大于0.32，網(wǎng)絡(luò)解裂的速度就會(huì)大于連接的速度，將會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)崩潰，此時(shí)無(wú)論電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多復(fù)雜，其最終結(jié)果將是系統(tǒng)的不穩(wěn)定，從而也印證了作為剛性特點(diǎn)的電力系統(tǒng)，其穩(wěn)定是有邊界的。
當(dāng)然，電力系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中一般擁有一定面對(duì)多類(lèi)型故障的承受和自愈能力，即電力系統(tǒng)的魯棒性。進(jìn)一步，結(jié)合現(xiàn)在電力物聯(lián)網(wǎng)的特點(diǎn)，下面從系統(tǒng)抗隨機(jī)故障、抗主動(dòng)攻擊等兩個(gè)維度，應(yīng)用本文所提出的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型來(lái)分析系統(tǒng)的魯棒性。分別模擬系統(tǒng)抗隨機(jī)故障和抗主動(dòng)攻擊兩種故障類(lèi)型，計(jì)算IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)中受影響節(jié)點(diǎn)數(shù)量，其曲線(xiàn)如圖10所示。
圖10 隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊對(duì)IEEE標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的影響Fig.10 Effects of random failures and active attacks on nodes of IEEE standard test systems
從圖10不難發(fā)現(xiàn)。
（1）主動(dòng)攻擊的對(duì)象選取最大度數(shù)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為最佳，一旦此類(lèi)電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)受到攻擊，與其連接的節(jié)點(diǎn)變?yōu)閯h除節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)的整體魯棒性大大降低。因此，在實(shí)際電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)搭建過(guò)程中，在這些關(guān)鍵網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上配置冗余和保護(hù)機(jī)制，可有效提升系統(tǒng)可靠性。
（2）隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊相比，系統(tǒng)的魯棒性更強(qiáng)。其主要原因是隨機(jī)故障具有強(qiáng)突發(fā)性，故障點(diǎn)大概率發(fā)生在一些非重要節(jié)點(diǎn)，此時(shí)對(duì)電力系統(tǒng)的影響有限。這也印證了電力系統(tǒng)具有一定的彈性。
（3）隨著IEEE 57、IEEE118和IEEE300節(jié)點(diǎn)總數(shù)增多，其網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒性會(huì)相應(yīng)的增強(qiáng)，這與2.3節(jié)中刪除節(jié)點(diǎn)對(duì)電力系統(tǒng)影響的作用所獲得的結(jié)論基本一致，從而也印證了互聯(lián)互通的復(fù)雜電力系統(tǒng)穩(wěn)定性更強(qiáng)。
（4）在電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的規(guī)劃和設(shè)計(jì)階段，應(yīng)盡可能減少對(duì)個(gè)別重要節(jié)點(diǎn)的依賴(lài)作用，通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)之間的互聯(lián)互通，形成電力系統(tǒng)多個(gè)樞紐節(jié)點(diǎn)共存態(tài)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)可靠性提升。
（5）本文所提模型可定量分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)對(duì)可靠性的作用。根據(jù)計(jì)算結(jié)果對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)安裝設(shè)備和加強(qiáng)保護(hù)，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)整體運(yùn)行的安全性提升，并節(jié)約了投資建設(shè)成本。
3 結(jié)語(yǔ)
本文提出了一種基于定位概率和收縮機(jī)制的的新型網(wǎng)絡(luò)建模方法，通過(guò)采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度量來(lái)評(píng)估和揭示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞年P(guān)鍵統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。所提出的動(dòng)態(tài)演化建模方法可從拓?fù)浣嵌葘?duì)電力系統(tǒng)的演化特征和復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行分析。此外，所提出的網(wǎng)絡(luò)模型，也可以對(duì)電網(wǎng)的系統(tǒng)魯棒性和脆弱性進(jìn)行系統(tǒng)化的評(píng)價(jià)和分析。
著眼未來(lái)，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫蒲菽Ｐ涂芍貜囊韵聝蓚€(gè)方面進(jìn)行開(kāi)展深入研究：一方面是基于真實(shí)的電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)對(duì)所提出的模型進(jìn)行驗(yàn)證和分析；另一方面，可將電網(wǎng)的可靠性分析和級(jí)聯(lián)故障傳播機(jī)制納入所提出的模型，從而有效提升電網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃的有效性和運(yùn)行的可靠性。
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