◇ 云南 周必輝
數(shù)列因規(guī)律性強、題型多樣、方法靈活等特點,成為高考命題的重點,其中給出遞推關系求通項公式問題是有效考查考生化歸轉(zhuǎn)化能力、推理論證能力的重要題型.本文以2020年全國卷Ⅲ數(shù)列解答題為例,探究根據(jù)遞推關系求通項公式的方法.
例(2020年全國卷Ⅲ)設數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.
(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;
(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.
數(shù)列的遞推關系在人教版教材中雖然是以選學內(nèi)容出現(xiàn),但在高考中以遞推關系為背景的命題卻屢見不鮮.本題第(1)問考查考生根據(jù)遞推關系求通項公式,所給的遞推關系類型是an=Aan-1+f(n).下面對這類問題的求解方法進行總結(jié),并應用這些方法解答此題.
根據(jù)不同的遞推關系類型,常用的解題方法主要有如下4種.
1)疊加法
對于an-an-1=f(n)的形式,可利用疊加法求通項公式,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n)+f(n-1)+…+f(2)+a1.
2)疊乘法
3)構(gòu)造法
此方法適用的類型較多,構(gòu)造的原理是將所給的遞推關系進行變形,將其構(gòu)造為等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式.
4)歸納法
通過觀察數(shù)列前幾項,猜想出其通項公式,再進行證明.
在某些問題的求解中,往往需要綜合應用多種方法.本題第(1)問旨在考查利用歸納法求通項公式,下面從多種視角進行解法探究.
解析
方法1由a1=3,an+1=3an-4n,可得a2=3a1-4=5,a3=3a2-4×2=7,a4=3a3-4×3=9,猜想an=2n+1.
證明:當n=1時,a1=2×1+1=3.設當n=k時,ak=2k+1,則當n=k+1時,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1,所以{an}的通項公式為an=2n+1.
點評
應用此方法求數(shù)列的通項公式時,要準確識別條件中隱含的關系,平時學習中要注意積累一些特殊的關系,如奇數(shù)、偶數(shù)、正整數(shù)的平方與立方等.
方法2將an+1=3an-4n兩邊同時除以3n+1,得,即進而由疊加法可得
兩式相減得
點評
本解法通過對所給遞推關系進行變形,將其轉(zhuǎn)化為可利用疊加法求解的形式,再利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式求得結(jié)論.
方法3設bn=an+λ n+μ,則an=bn-λ n-μ,代入an+1=3an-4n中,得bn+1-λ(n+1)-μ=3(bn-λ n-μ)-4n,即bn+1=3bn- (2λ+4)n+λ-2μ.
點評
本解法是通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列bn,而由已知可求得b1=0,所以{bn}為常數(shù)列,各項均為0,進而求得數(shù)列{an}的通項公式.
方法4由an+1=3an-4n,得an+2=3an+1-4(n+1),兩式相減得an+2-an+1=3(an+1-an)-4.
令bn=an+1-an,則bn+1=3bn-4.
設bn+1+λ=3(bn+λ),即bn+1=3bn+2λ,由2λ=-4得λ=-2,所以數(shù)列{bn-2}的首項為b1-2=a2-a1-2=5-3-2=0,且知b2=2,所以{bn}為常數(shù)列,bn=an+1-an=2,即數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.
點評
在得出an+1=pan+q(p≠0,q≠1)的遞推關系后,可利用待定系數(shù)法,即引入?yún)?shù)λ,令an+1+λ=p(an+λ),將其展開后與原遞推關系對照,求得λ值,從而構(gòu)造{an+λ}為等比數(shù)列.
由第(1)問知an=2n+1,則2nan=(2n+1)2n,進而可利用“錯位相減法”求其前n項和.第(2)問較為簡單,在此不再贅述.
綜上所述,給出遞推關系求數(shù)列通項公式的過程其實就是轉(zhuǎn)化的過程,即將一般化特殊、將陌生化熟悉.教學中我們只學了兩類特殊的數(shù)列,即等差數(shù)列和等比數(shù)列,因此所求問題最終都要轉(zhuǎn)化為與等差或等比數(shù)列相關的問題來求解.