王海峰

提起數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，不少教師腦海中會浮現(xiàn)出這樣的場景：老師在臺上講得聲情并茂、聲嘶力竭；學(xué)生在臺下學(xué)得無精打采、無動于衷。復(fù)習(xí)課上習(xí)題一道道、試卷一張張，但最后的結(jié)果往往是：一堂課下來，學(xué)生原本會的還會，原本不會的還不會，復(fù)習(xí)課只是例行公事、走走過場般的“炒冷飯”。上述現(xiàn)象或許并非普遍存在，但復(fù)習(xí)課收效甚微的問題確實成為不少教師心中的痛。

華東師范大學(xué)崔允漷教授認為，學(xué)習(xí)有四種值：一是動力值，即學(xué)生想學(xué)習(xí)的愿望；二是方法值，即學(xué)生會學(xué)習(xí)的方法；三是知能值，即學(xué)生所學(xué)到的知識與技能；四是意義值，即學(xué)生學(xué)到的東西是有意義或受用的。他還說，必須至少有一種值增加（即學(xué)后值與學(xué)前值之差為正量），沒有增值的課堂沒有意義。筆者深表贊同，沒有增值的課堂就是在浪費學(xué)生的時間和生命。進一步講，不只是新授課要實現(xiàn)至少一種值的增加（新授課要實現(xiàn)增值可以說輕而易舉），復(fù)習(xí)課也應(yīng)如此。下面，筆者以蘇教版五上《多邊形面積計算的復(fù)習(xí)》的教學(xué)為例，談?wù)勅绾尉劢拐n堂增值，讓復(fù)習(xí)課“炒冷飯”的現(xiàn)象得以改變，真正做到溫故知新。

一、開門見山對話，讓學(xué)生既明目標又悟價值，實現(xiàn)意義值的增值

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種常見且重要的課型，上好復(fù)習(xí)課，對于學(xué)生夯實所學(xué)知識點，將知識點系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，提升思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用。但學(xué)生對復(fù)習(xí)課的意義與價值未必了解，甚至可能從來就沒思考過這樣的問題，只是按部就班地完成教師在復(fù)習(xí)課上布置的一個又一個任務(wù)，學(xué)習(xí)熱情不高帶來的結(jié)果就是學(xué)習(xí)效果不理想。因此，本節(jié)課伊始，教師和學(xué)生有了如下的對話。

師：今天這節(jié)課，我們一起來復(fù)習(xí)多邊形的面積計算。（板書課題：多邊形面積計算的復(fù)習(xí)）同學(xué)們想一想，復(fù)習(xí)課和我們平時上的新課有什么不同？

生：復(fù)習(xí)課講的都是我們已經(jīng)學(xué)過的知識，新課講的都是我們沒有學(xué)過的知識。

師：既然都已經(jīng)學(xué)過了，大家都會了，為什么還要上復(fù)習(xí)課呢？

生1：復(fù)習(xí)課可以讓我們對原來學(xué)過的知識加深印象，這樣做題目更熟練。

生2：復(fù)習(xí)課可以讓我們對一個單元學(xué)的知識理解得更清楚，尤其是前后幾個知識點之間的聯(lián)系。

生3：孔子說“溫故而知新”，我覺得復(fù)習(xí)課可以讓我們通過復(fù)習(xí)學(xué)到新的知識。

師：同學(xué)們說得真好！下面就讓我們一起來邊溫故邊知新。（板書：溫故而知新）

復(fù)習(xí)課與新授課有什么不同？課始，教師把這個問題拋給學(xué)生，“逼迫”學(xué)生在復(fù)習(xí)課的開端就思考這一本源性問題，大家在交流碰撞中逐步明晰復(fù)習(xí)課的意義與價值。開門見山式的訪談直抵學(xué)生內(nèi)心，促進他們思考“要不要學(xué)”“想不想學(xué)”，讓學(xué)生在內(nèi)省的過程中實現(xiàn)復(fù)習(xí)課意義值的增值。

二、自主操作交流，讓學(xué)生既知結(jié)論又懂過程，實現(xiàn)知能值的增值

學(xué)習(xí)了幾種多邊形的面積計算公式之后，學(xué)生在平時的練習(xí)中遇到更多的是運用公式解決面積計算的實際問題，而對面積計算公式是如何得到的往往會忽略、淡忘。只有知其所以然，才能更長久地知其然。因此，在課的前半部分，教師要讓學(xué)生充分操作、交流，讓原先對公式掌握不熟練的學(xué)生熟練掌握公式（結(jié)論），讓原先對公式推導(dǎo)過程淡忘的學(xué)生進一步理解推導(dǎo)過程，使每一位學(xué)生在原有基礎(chǔ)上實現(xiàn)知能值的增值。

師：我們已經(jīng)學(xué)會了計算哪些多邊形的面積？（根據(jù)學(xué)生的回答，出示長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形）給出這些多邊形的數(shù)據(jù)，你會計算它們的面積嗎？（課件出示標有字母數(shù)據(jù)的幾種多邊形）

師：剛才大家所說的其實就是多邊形的面積計算公式。（根據(jù)學(xué)生的回答，在黑板上貼出多邊形，上面寫其面積計算字母公式）

師：回憶出面積計算公式是什么，是我們今天復(fù)習(xí)的初級水平，我們還要想想這些公式是怎么得到的。老師給每個小組準備了一個信封，里面有各種多邊形紙片，請前后四人一組，每人選擇一到兩種，在小組內(nèi)說說這個圖形的面積計算公式是如何推導(dǎo)出來的?？梢栽趫D形上畫一畫、寫一寫，也可以剪一剪、拼一拼。

師：在打開信封之前，我先問一問大家，你希望信封里每種多邊形各有幾個？

生：我希望長方形紙片、正方形紙片和平行四邊形紙片可以只有一個，但三角形紙片、梯形紙片能有兩個，而且兩個完全相同。

師：其他同學(xué)也是這么想的嗎？老師還真給大部分小組都準備了兩個完全一樣的三角形紙片和梯形紙片，但有少數(shù)小組老師可能一時疏忽，只準備了一個三角形紙片和一個梯形紙片，如果哪個小組拿到只有一個的，你們就中獎了，老師也對你們提出更高的要求了——能不能只用一個三角形紙片或者一個梯形紙片，就推導(dǎo)出它們的面積計算公式？

學(xué)生小組活動，探索、交流多邊形面積的推導(dǎo)過程。

本環(huán)節(jié)，教師為學(xué)生準備好探索面積計算公式所需的學(xué)具，讓學(xué)生充分畫、剪、拼、說，把書本上靜態(tài)的結(jié)論性公式變成動態(tài)的獲得公式的過程。學(xué)生在自主操作交流的過程中，對每個計算公式理解得更為透徹。教師在本環(huán)節(jié)特意設(shè)置了三角形紙片、梯形紙片個數(shù)不足的障礙，為學(xué)生后續(xù)更深入的探討埋下伏筆。

三、“花式”推導(dǎo)驗證，讓學(xué)生既開眼界又促思考，實現(xiàn)方法值的增值

關(guān)于多邊形的面積計算，經(jīng)過兩個階段的學(xué)習(xí)和練習(xí)，學(xué)生似乎對此已經(jīng)司空見慣，沒有新的疑問和驚奇，其實不然。在復(fù)習(xí)了每個公式的常規(guī)推導(dǎo)過程之后，教師尋找學(xué)生已有知識經(jīng)驗的生長點，借助前面設(shè)置的多邊形紙片個數(shù)的障礙，“逼迫”學(xué)生思考三角形與梯形不同的面積推導(dǎo)方法，讓學(xué)生在“花式”推導(dǎo)驗證的過程中開闊眼界、拓寬思路、促進思維，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)方法值的增值。

師：剛剛有的小組只拿到了一個三角形紙片和一個梯形紙片，用一個三角形紙片和一個梯形紙片能推導(dǎo)出三角形、梯形的面積計算公式嗎？請其他小組也在組內(nèi)討論思考這個問題。

生1（邊演示邊交流）：我在書上“你知道嗎”看到過用一個三角形推導(dǎo)三角形面積計算公式的方法。將三角形從一條邊的中點向下作高、剪下，旋轉(zhuǎn)拼到上面，另一邊也這樣操作，就可以把三角形轉(zhuǎn)化成長方形，三角形的底的一半是長方形的寬，三角形的高是長方形的長，所以三角形的面積=底×高÷2。

師：講得真好，這就是《九章算術(shù)》中“半廣以乘正從”的方法。（課件出示推導(dǎo)圖，如圖1）還有不同的推導(dǎo)方法嗎？

生2（邊演示邊交流，如圖2）：將三角形沿兩條邊的中點剪下，旋轉(zhuǎn)拼到下面，可以將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。三角形的底等于平行四邊形的底，三角形的高等于平行四邊形高的一半，所以三角形的面積=底×高÷2。

（圖1）

（圖2）

生3：這種方法也可以用一句話來概括——“正廣以乘半從”。（教室里掌聲雷動）

師：同學(xué)們的創(chuàng)意出乎我的意料！但我還不滿足，你們能用一個梯形推導(dǎo)出它的面積計算公式嗎？

生1：可以連接梯形的對角線，將梯形分成兩個三角形。一個三角形的面積是上底乘高除以2，另一個三角形的面積是下底乘高除以2，梯形的面積=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。

師：真好！把梯形轉(zhuǎn)化成三角形，也能推導(dǎo)出它的面積計算公式。

生2：其實，也可以仿照剛才推導(dǎo)三角形面積計算公式的過程，把梯形轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形，推導(dǎo)出梯形的面積計算公式。

師：想法太棒了，課上時間有限，課后大家可以用這個思路試一試。

復(fù)習(xí)課也應(yīng)努力尋找學(xué)生思維水平發(fā)展的新生長點，不斷給學(xué)生創(chuàng)造錘煉思維、提升素養(yǎng)的機會，讓學(xué)生在思維挑戰(zhàn)中獲得更好的發(fā)展。在設(shè)計這節(jié)課時，筆者的初衷是給學(xué)生創(chuàng)造更多思維創(chuàng)新的機會，沒想到在實際教學(xué)過程中，學(xué)生還真把三角形、梯形面積推導(dǎo)的多種方法創(chuàng)造出來了。課件中預(yù)先做好的用于啟發(fā)學(xué)生思維的推導(dǎo)過程圖，成為學(xué)生推導(dǎo)成功后的總結(jié)概括圖。

四、多維溝通聯(lián)系，讓學(xué)生既見樹木又見森林，實現(xiàn)動力值的增值

由于課時劃分等原因，在日常新授課的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生學(xué)到的知識往往是孤立的、零碎的，對于各知識點之間聯(lián)系的體會不深刻，難以從整體上結(jié)構(gòu)化地理解知識塊。復(fù)習(xí)課恰恰可以幫助學(xué)生溝通知識點之間的聯(lián)系，讓學(xué)生既見樹木（各個知識點），又見森林（整體知識塊）。當學(xué)生對所學(xué)的知識點從更高維度有了更透徹的理解之后，一定會在很大程度上激發(fā)起他們的學(xué)習(xí)熱情，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)動力值的增值。

師：從剛才大家交流這些公式的推導(dǎo)過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些公式之間有內(nèi)在聯(lián)系。你能根據(jù)公式之間的聯(lián)系，調(diào)整一下黑板上這五個多邊形的位置，用箭頭連一連，讓人一眼就能看出五個面積計算公式之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生的反饋如下圖3～圖5所示。

師：大家看，我們在研究正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式時，都是把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題。轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思想方法。（板書：轉(zhuǎn)化）

在弄清幾種多邊形面積計算公式之間的關(guān)系之后，教師繼續(xù)乘勝追擊。

師：這些公式中，你覺得哪個公式最復(fù)雜？

生（異口同聲）：梯形面積計算公式最復(fù)雜。

師：其實，這個最復(fù)雜的公式也可以用來計算其他多邊形的面積。

師（課件出示將梯形上底逐漸延長變成長方形的過程）：如果把現(xiàn)在這個長方形還看作梯形，梯形上底是多少？下底呢？用梯形面積計算公式計算這個長方形的面積，與用長方形面積計算公式計算得到的結(jié)果一樣嗎？

師（課件出示梯形上底不斷縮短直至變成三角形的過程）：如果把這個三角形還看作梯形，梯形的上底變成了多少？用梯形面積計算公式計算這個三角形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

…………

課末，教師帶領(lǐng)學(xué)生交流本節(jié)復(fù)習(xí)課的收獲之后，教師在學(xué)生現(xiàn)有知識框架之上再次拋出新問題：普通四邊形的面積如何計算？為什么后面不再學(xué)習(xí)五邊形、六邊形等其他多邊形的面積計算公式？

無論是讓學(xué)生擺多邊形的面積計算結(jié)構(gòu)圖，還是引導(dǎo)他們嘗試用最復(fù)雜（最一般）的梯形面積計算公式去計算其他多邊形的面積，抑或是課的最后啟發(fā)學(xué)生思考“為什么學(xué)完這五種多邊形的面積計算之后，教材不再安排學(xué)習(xí)其他多邊形的面積計算（進一步強化轉(zhuǎn)化的思想）”，都旨在讓學(xué)生的視線跳出一個個單體的多邊形，站到更宏觀的視角對所學(xué)知識進行系統(tǒng)的觀察和定位，用聯(lián)系的視角建構(gòu)起多邊形面積計算的知識體系。在多維溝通聯(lián)系的過程中，學(xué)生的眼界更加高遠，思維更加通透，學(xué)習(xí)的熱情也隨之升華，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)動力值的增值。

正如馮衛(wèi)東先生所說：為“真學(xué)”而教，也為學(xué)生獲得而教；如果不為獲得，還要教與學(xué)做什么。學(xué)生有獲得，能增值，他的學(xué)習(xí)則是成長性學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課就應(yīng)該以這樣的理念為指導(dǎo)，勇于向司空見慣的復(fù)習(xí)課“炒冷飯”說不，重視夯實每個知識點，重視將知識點串成知識鏈、織成知識網(wǎng)，立足兒童立場，聚焦兒童增值，讓每一位兒童都能在復(fù)習(xí)課上有所得。