范 駿，楊隨先，白青松

（四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065）

1 引言

自1965 年Stewart 平臺問世以來，并聯(lián)機(jī)構(gòu)（parallel mechanisms，PM）得到了學(xué)術(shù)領(lǐng)域和工業(yè)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，其擁有諸如高精度、高速度、高剛度、低慣性和反向運(yùn)動學(xué)求解簡單等優(yōu)點(diǎn)。在具有上述優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)（spherical parallel mechanisms，SPMs）的末端執(zhí)行器還可以在一個球面上進(jìn)行運(yùn)動。目前典型的球面機(jī)構(gòu)包括過約束和非過約束兩種類型。前者如3-RRR（R 表示轉(zhuǎn)動副）結(jié)構(gòu)的the Agile eyes[1]；后者早期包括文獻(xiàn)提出的 3-RRRRR 結(jié)構(gòu)[2]，Di Gregorio 的 3-RRS（S 表示球面副）結(jié)構(gòu)[3]等。上述球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有移動或旋轉(zhuǎn)奇異點(diǎn)，在此之后提出的結(jié)構(gòu)在工作空間之內(nèi)大都避開了奇異點(diǎn)，如雙三角結(jié)構(gòu)[4-5]等。球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于包括指向設(shè)備、太陽能電池板、天線、航海模擬機(jī)構(gòu)、內(nèi)窺鏡和攝像設(shè)備等方面[6]。而近來球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在醫(yī)療仿生領(lǐng)域的得到大量應(yīng)用，如法國國家研究局（Agence Nationale de Recherche，ANR）主導(dǎo)了一系列將將球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于微創(chuàng)手術(shù)（minimally invasive surgery，MIS）的研究[7]，國內(nèi)也有學(xué)者利用不同的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)對人體肩部關(guān)節(jié)進(jìn)行仿生設(shè)計(jì)[8-9]。目前得到應(yīng)用的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)以過約束為主，對加工和裝配的精度要求極高。因此，提出一種對加工和精度要求不高并且計(jì)算簡單的球面機(jī)構(gòu)具有重大意義。

目前球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析通常采用以下方法：利用幾何約束建立由三角函數(shù)構(gòu)成的約束方程，對約束方程進(jìn)行求導(dǎo)從而推導(dǎo)出速度方程和加速度方程[10]；利用坐標(biāo)系中各關(guān)節(jié)速度旋量之間的關(guān)系直接構(gòu)造出速度公式或雅可比矩陣[11]261-264；直接根據(jù)末端執(zhí)行器角速度和主被動關(guān)節(jié)變量的關(guān)系推導(dǎo)得出速度方程并再次求導(dǎo)分析加速度[12]4-6，[13]4-5；利用各分支端點(diǎn)運(yùn)動空間的布爾運(yùn)算求交集來得到運(yùn)動平臺即末端執(zhí)行器的方向工作空間，并利用CAD 建模軟件輔助分析，目前僅用于位置運(yùn)動學(xué)[14]。

論文提出了一類新型三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，相比現(xiàn)有球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其對于制造和裝配精度要求較低，反向運(yùn)動學(xué)求解更簡單并且在工作空間中不含任何形式的奇異點(diǎn)。然后根據(jù)末端執(zhí)行器角速度和主被動關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系，選擇合適的關(guān)節(jié)向量構(gòu)造了特殊向量來建立和簡化了機(jī)構(gòu)的速度和加速度模型，進(jìn)而得到了運(yùn)動雅可比矩陣并據(jù)此分析了機(jī)構(gòu)的奇異性。最后，針對兩種特定軌跡，根據(jù)速度和加速度模型利用Matlab 和ADAMS兩款軟件進(jìn)行計(jì)算仿真得到了各分支主動關(guān)節(jié)角速度和角加速度變化曲線。

2 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及其位置運(yùn)動學(xué)

2.1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)

圖1 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic Structures of the SPMs

提出的一類三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，如圖1 所示。機(jī)架由三個互相固連的弧形滑動導(dǎo)軌條組成，其半徑均相等，圓心位于同一點(diǎn)O，并且所在平面互相垂直。固定滑軌條上的交錯滑塊移動時，同時也帶動移動弧形滑軌，弧形滑軌的半徑也相同，圓心也落在O 點(diǎn)。移動與固定的滑軌在滑塊處的切線保持垂直。移動滑軌的末端與末端執(zhí)行器通過運(yùn)動副相連接，根據(jù)連接方式不同分為三類：（1）通過轉(zhuǎn)動副連接，記為3-PcPcR，其中，Pc—移動副在一條弧線上進(jìn)行運(yùn)動；R—轉(zhuǎn)動副，此時三處轉(zhuǎn)動副的軸線必須同時經(jīng)過O 點(diǎn)；（2）先通過轉(zhuǎn)動副，再通過萬向節(jié)連接，記為3-PcPcRU，其中，U—萬向節(jié)，此時對轉(zhuǎn)動副的軸線方向沒有要求；（3）通過球面副連接，記為3-PcPcS，S—球面副。其中，3-PcPcR 機(jī)構(gòu)為過約束結(jié)構(gòu)，雖然結(jié)構(gòu)簡單但對加工和裝配精度要求極高，3-PcPcRU 和3-PcPcS 機(jī)構(gòu)同為非過約束結(jié)構(gòu)，對裝配精度要求不高，但是球面副的加工精度和加工成本較高。三種機(jī)構(gòu)具有相同的自由度（三個方向的轉(zhuǎn)動自由度）以及相同的運(yùn)動學(xué)模型。在末端執(zhí)行器上安裝Z 軸方向（Z 軸與末端執(zhí)行器主平面垂直）的模組并帶動加工刀具，根據(jù)安裝的方向，機(jī)構(gòu)可以對不同半徑的內(nèi)外球面進(jìn)行加工，或者按照復(fù)雜的空間曲線軌跡行進(jìn)。

以3-PcPcR 機(jī)構(gòu)為例，其結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1（b）所示。在實(shí)際使用過程中，可以將原動機(jī)固定在滑塊上利用齒輪嚙合進(jìn)行，并且在此基礎(chǔ)上配合減速器使用可以進(jìn)一步增加機(jī)構(gòu)的負(fù)載能力。3-PcPcRU 機(jī)構(gòu)的具體應(yīng)用方案，如圖2 所示。

圖2 3-PcPcRU 機(jī)構(gòu)的應(yīng)用方案CAD 模型Fig.2 CAD Model of the Application Scheme of the 3-PcPcRU Mechanism

2.2 機(jī)構(gòu)的位置運(yùn)動學(xué)

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動模型中需要用到的向量和角度，如圖3 所示。O點(diǎn)到末端執(zhí)行器連接點(diǎn)所形成的單位向量分別為t1，t2和t3，到末端執(zhí)行器中心點(diǎn)的單位向量為te。其中，ti（i=1，2，3）之間的夾角記為δ，ti與te之間的夾角記為Δγ，這兩個角度由加工制造確定。在保持當(dāng)前方向te的前提下，末端執(zhí)行器還可繞自身中心旋轉(zhuǎn)Δθ。αi和βi分別是機(jī)構(gòu)主、被動關(guān)節(jié)角度值。

圖3 運(yùn)動模型中的向量與角度Fig.3 Vectors and Angles in the Kinematic Model

對于正向位置運(yùn)動學(xué)問題，根據(jù)Euler-Rodrigues 參數(shù)寫出ti關(guān)于主被動關(guān)節(jié)角度值的表達(dá)式，利用ti之間夾角一定的幾何條件可以建立約束方程，對方程進(jìn)行三角代換后利用Bezout 消元法可以得到一個16 階多項(xiàng)式方程，找到唯一可行解后可以計(jì)算出對應(yīng)的被動關(guān)節(jié)的角度值，進(jìn)而得到ti的具體形式，其單位合向量即為te。而對于反向問題，根據(jù)te和Δθ 得到ti的具體形式，僅需對ti中部分元素進(jìn)行反三角計(jì)算就可以得到主被動關(guān)節(jié)角度值。利用正向求解方法得到的3-PcPcR 機(jī)構(gòu)工作空間，如圖4 所示。為了簡化計(jì)算，所有計(jì)算都將末端執(zhí)行器的工作空間設(shè)定在一個單位球上，在不考慮干涉的條件下是一個八分之一球面。

3 機(jī)構(gòu)的速度與奇異性分析

3.1 機(jī)構(gòu)的速度分析

ti可認(rèn)為是相應(yīng)的坐標(biāo)軸上的單位向量繞wi旋轉(zhuǎn)αi至ri，再由ri繞si旋轉(zhuǎn)βi的結(jié)果，其中αi為主動關(guān)節(jié)輸入變量。對于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，不需要討論坐標(biāo)系的移動而只需要討論角速度和角加速度。

根據(jù)末端執(zhí)行器的角速度向量和主被動關(guān)節(jié)變量導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，有如下矩陣方程：

當(dāng) Δθ=0 時，使 τi同時垂直于 si與 ti。當(dāng) Δθ≠0 時，ti≠tmi，記τi＝tι×tmi，其中 tmi為在對應(yīng)方位下當(dāng) Δθ=0 時 ti應(yīng)處于的位置，其幾何意義，如圖5 所示。

圖5 tmi 的幾何意義Fig.5 Geometrical Meaning of tmi

定義te基于各個分支的表達(dá)形式為tei和tmi，則每一組tei對應(yīng)一組 αei和 βei。

為消除被動關(guān)節(jié)影響，在式（1）兩邊同時乘以（si×τi）T可得：

寫成矩陣形式，有如下速度關(guān)系：

進(jìn)而可以得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動雅可比矩陣：

需要注意的是，利用各關(guān)節(jié)速度旋量之間的幾何關(guān)系，可以直接構(gòu)造出基于速度旋量的速度方程。對于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，只需要考慮旋量副部，同樣可以得到形如式（4）～式（7）的速度方程和雅可比矩陣。這個方法在文獻(xiàn)[11]中得到應(yīng)用并且在文獻(xiàn)[15]中得到總結(jié)。但利用旋量構(gòu)造加速度方程在計(jì)算上有難度，并且在確定部分中間變量的值時需要用到上述過程中的向量，文獻(xiàn)[11]利用這樣的方法也僅僅討論了機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。因此論文采用與文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]中同樣的方法如上文所示。

3.2 機(jī)構(gòu)的奇異性分析

根據(jù)運(yùn)動雅可比矩陣，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異性分為三類：

（1）B 缺秩：這種奇異性被稱為第一類奇異性。在這種奇異構(gòu)型之下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間中的一個或多個方向上失去了運(yùn)動的能力，亦即驅(qū)動器在某一個方向上無法令運(yùn)動平臺產(chǎn)生位移。對應(yīng)為幾何意義為si，τi和wi必須共面，利用反證法進(jìn)行證明：若Δθ≠0，則｛ti，si，wi｝或｛tmi，si，wi｝必須互相垂直。然而可證ti·wi≠0并且tmi·si≠0，條件相矛盾；若Δθ=0，則同樣條件相矛盾。因此易知，對于涉及的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)第一類奇異點(diǎn)不存在。

（2）Ar缺秩：這種奇異性被稱為第二類奇異性。在這種奇異構(gòu)型下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)在一個或者一個以上方向上運(yùn)動不可控。從運(yùn)動學(xué)的角度上說，存在一個非零的向量ts，使得當(dāng)q˙α=0 時，有Arts=0（此時ts被稱為Ar的零空間）。此時，機(jī)構(gòu)在外部力旋量的作用下容易發(fā)生破壞。若Δθ≠0，此時Ar可以寫成兩個非零矩陣的乘積，因此；若 Δθ＝0，此時 Ar=-［t1，t2，t3］T一定保持滿秩。因此，第二類奇異點(diǎn)也不會出現(xiàn)在此類機(jī)構(gòu)中。

（3）Ar和B 同時缺秩，此類奇異性被稱為第三類奇異性。此時并聯(lián)機(jī)構(gòu)在失去一個或一個以上方向上的運(yùn)動能力的同時，在一個或一個以上的方向上運(yùn)動不可控。對于涉及的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這一類奇異點(diǎn)也不會出現(xiàn)。

因此，在工作空間中，即 αi，βi∈（0，π/2）的范圍內(nèi)，機(jī)構(gòu)不存在上述形式的奇異點(diǎn)。

4 機(jī)構(gòu)的加速度分析

將式（1）對時間求導(dǎo)，可得：

為了消除非主動關(guān)節(jié)變量的二階導(dǎo)數(shù)的影響，在式（8）左右兩邊同時左乘（si×τ）iT可消除被動關(guān)節(jié)二階參數(shù)影響，并帶入之前的結(jié)果：

其中，Ar和 B 的形式與式（4）中保持一致［c1c2c3］T，并且：

5 軌跡仿真

式（4）和式（9）所示的速度和加速度方程既可以用于利用驅(qū)動輸入端的具體參數(shù)確定末端執(zhí)行器的角速度和角加速度，也可以根據(jù)末端執(zhí)行器角速度和角加速度特性反向求出相應(yīng)的驅(qū)動輸入?yún)?shù)。下面對與兩種運(yùn)行軌跡進(jìn)行計(jì)算仿真，求出其角速度和角加速度運(yùn)動特性曲線：（1）末端執(zhí)行器與向量t0=［0.5773，0.5773，0.5774］T保持 π/12 的夾角和 Δθ＝0 以 π/5rad/s 的角速度旋轉(zhuǎn)一圈，此時末端執(zhí)行器的中點(diǎn)的軌跡為一個圓形；（2）末端執(zhí)行器的歐拉角以如下運(yùn)動形式變化其中t 表示時間，此時末端執(zhí)行器中點(diǎn)的軌跡為一個空間二次曲線。同時，將制造確定的角度δ 設(shè)定為π/18，此時Δγ≈0.1008。對于結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1 所示。在利用虛擬樣機(jī)軟件ADAMS 進(jìn)行仿真時不便添加和分析運(yùn)動副，因此需要建立一個等效機(jī)構(gòu)，如圖6 所示。其中所有的直線狀的連桿僅為輔助添加運(yùn)動副和測量組件的等效連桿。

圖6 仿真等效機(jī)構(gòu)Fig.6 Simulation Equivalent Mechanism

圖7 軌跡（1）下主動關(guān)節(jié)變化曲線Fig.7 Active Joint Curves under Track 1

軌跡（1）的主動關(guān)節(jié)角速度與角加速度變化，如圖7 所示。MATLAB1-3 和ADAMS1-3 分別表示主動關(guān)節(jié)1～3 的計(jì)算結(jié)果和仿真數(shù)據(jù)，用實(shí)線和離散點(diǎn)加以區(qū)分。保持Δθ＝0，則機(jī)構(gòu)的速度與加速度分析和計(jì)算較為簡單。

軌跡（2）中，Δθ 持續(xù)變化且可能出現(xiàn) Δθ＝0 的情況，末端執(zhí)行器可自轉(zhuǎn)，此時主動關(guān)節(jié)角速度和角加速度，如圖8 所示。通過比較，ADMAS 的驗(yàn)證結(jié)果與MATLAB 的計(jì)算結(jié)果相比，速度誤差極小。值得注意的是在Δθ＝0 附近，角加速度可能會產(chǎn)生突變。

圖8 軌跡（2）下主動關(guān)節(jié)變化曲線Fig.8 Active Joint Curves under Track 2

6 結(jié)論

（1）提出了一類具有相同運(yùn)動學(xué)模型的三自由度新型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，涵蓋過約束和非過約束兩種類型，其在工作空間之內(nèi)沒有任何形式的奇異點(diǎn)。

（2）根據(jù)末端執(zhí)行器角速度和主被動關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系，利用關(guān)節(jié)向量構(gòu)造特殊向量，簡化了機(jī)構(gòu)速度分析模型的建立，并簡便地獲得了機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣并分析了機(jī)構(gòu)的奇異性，結(jié)合約束條件對速度模型進(jìn)行求導(dǎo)進(jìn)一步得到了機(jī)構(gòu)的加速度模型。

（3）根據(jù)機(jī)構(gòu)的速度和加速度模型，對于兩種特定的軌跡進(jìn)行了分析計(jì)算和機(jī)構(gòu)仿真，給出了機(jī)構(gòu)各分支主動關(guān)節(jié)角速度和角加速度變化曲線，對速度和加速度模型進(jìn)行了驗(yàn)證。