云南省昆明市第一中學(xué) (650000) 張遠(yuǎn)雄

空間想象能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫(huà)圖和對(duì)圖形的想象能力．識(shí)圖是指觀察、研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫(huà)圖是指將某些文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，以及對(duì)圖形添加輔助圖形、對(duì)圖形進(jìn)行各種變換；對(duì)圖形的想象是指主要包括有圖想圖和無(wú)圖想圖兩種，是空間想象能力的高層次的標(biāo)志．

《考試大綱》具體要求如下：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀圖形；能正確的分析出圖形中的基本元素及相互關(guān)系；能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合與變換；會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象的揭示問(wèn)題的本質(zhì)．回顧近幾年的高考試卷中關(guān)于立體幾何的考題，真實(shí)地反映出對(duì)考綱要求的知識(shí)點(diǎn)的全面考查，又有基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，更有能力考查的體現(xiàn)．

我們?cè)趶?fù)習(xí)備考中，必須精做題、練規(guī)范、廣看題、勤思考、善總結(jié)，做到熟悉各類(lèi)題型的解法，完善各種題型的規(guī)范表述．下面就幾個(gè)重點(diǎn)題型舉例分析，供同學(xué)們參考．

一、通過(guò)識(shí)別三視圖考查組合體的面積與體積

例1 已知某幾何體的俯視圖是長(zhǎng)為8，寬為6的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6，高為4的等腰三角形．

圖1

(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S．

解析：由幾何體的俯視圖是長(zhǎng)為8，寬為6的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6，高為4的等腰三角形．可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為4，頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD如圖1.

評(píng)注：給出幾何體的三視圖，考查幾何體的形狀、表面積、體積等問(wèn)題，首先由三視圖找到原幾何體的相關(guān)數(shù)量，再運(yùn)用面積公式和體積公式來(lái)解決問(wèn)題，在計(jì)算錐體和臺(tái)體的側(cè)面積時(shí)，必須求出側(cè)面的斜高，應(yīng)注意的是三視圖中側(cè)面的高是錐體和臺(tái)體的高，而不是斜高，不能混淆．

二、通過(guò)添加輔助線(xiàn)降低對(duì)幾何圖形的理解難度

例2 在三棱錐P-ABC中，D為AB的中點(diǎn)．(1)若與BC平行的平面PDE交AC于點(diǎn)E，如圖2求證：點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)；(2)若PA=PB，且△PCD為銳角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求證：AB⊥PC．

圖2

圖3

證明：(1)平面PDE交AC于點(diǎn)E，即平面PDE∩平面ABC=DE，而B(niǎo)C∥平面PDE，BC?平面ABC，所以BC∥DE． 在△ABC中，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以E為AC中點(diǎn)．

(2)因?yàn)镻A=PB，D為AB的中點(diǎn)，所以AB⊥PD，因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，在銳角△PCD所在平面內(nèi)作PO⊥CD于點(diǎn)O，如圖3，則PO⊥平面ABC．因?yàn)锳B?平面ABC，所以PO⊥AB，又PO∩PD=P，PO，PD?平面PCD，則AB⊥平面PCD，又PC?平面PCD，所以AB⊥PC．

評(píng)注：有一些題目中給出了某些條件，但這個(gè)條件的作用比較難發(fā)現(xiàn)，我們必須添加一些輔助圖形將條件細(xì)化，使這些條件在解題中能發(fā)揮作用．如本題中由面面垂直很難找到直線(xiàn)與平面垂直，我們就應(yīng)該直接在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，創(chuàng)造出直線(xiàn)與平面垂直．

三、運(yùn)用空間向量解決幾何體中的角的問(wèn)題

例3 如圖4，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=2，點(diǎn)E、F是棱AD、PC的中點(diǎn)，直線(xiàn)PC⊥平面BEF.求平面BEF與平面PAB夾角的大?。?/p>

圖4

評(píng)注：空間向量是解決空間角問(wèn)題的有力武器，同時(shí)也減弱了對(duì)空間幾何體抽象理解，本題抓住直線(xiàn)PC與平面BEF垂直，利用向量運(yùn)算建立方程解決參數(shù)問(wèn)題，這是用空間向量解題的優(yōu)越之處．

四、抓住折疊中的不變量判斷新的線(xiàn)面關(guān)系

圖5

例4 如圖5，ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE和△BEC沿DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P，

(1)求證：PE⊥平面PDC； (2)求二面角P-CD-E的度數(shù)．

圖6

解析：從折疊的過(guò)程可以看出，AD⊥AE，EB⊥BC這兩個(gè)垂直關(guān)系是不變量，而折疊后A、B重合為P，故在立體圖6中有PE⊥PD，PE⊥PC，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可獲解．

證明：(1)由折疊過(guò)程可知PE⊥PD，PE⊥PC，又PE∩PE=P，PD?平面PDC，PC?平面PDC，故PE⊥平面PDC．

評(píng)注：折疊問(wèn)題是比較常見(jiàn)的問(wèn)題，弄清楚給出的已知條件的折疊前后的變化情況是解題的關(guān)鍵，本題中折疊前后的頂點(diǎn)位置和字母名稱(chēng)都改變了，但垂直的關(guān)系沒(méi)有改變，抓住了這一點(diǎn)，就抓住了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)．

五、關(guān)注一些立體幾何中的探索性問(wèn)題

圖7

(2)當(dāng)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1.如圖7，取BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，F(xiàn)D，DE，因?yàn)镈、E、F分別為CC1、AB、BB1的中點(diǎn)，所以EF∥AB1，而AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1；同理可證FE∥平面AB1C1，因?yàn)镋F∩FD=F，所以平面EFD∥平面AB1C1，又DE?平面EFD，所以DE∥平面AB1C1．

評(píng)注：在解決存在性問(wèn)題中，首先對(duì)一個(gè)判斷下結(jié)論，然后在設(shè)法證明你的結(jié)論的正確性．本題中證明直線(xiàn)與平面平行，常用的有兩種方法，即證明平面外一條直線(xiàn)與平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，或證明直線(xiàn)所在的平面與要證的平面平行，而已知中點(diǎn)再找中點(diǎn)是最基本的思路．

六、了解立體幾何在實(shí)際生活中的的應(yīng)用

例6 如圖8，邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5的三角形簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，其中A、B是地面上南北方向兩個(gè)定點(diǎn)，正西方向射出的太陽(yáng)光線(xiàn)與地面成30°角，試問(wèn)：遮陽(yáng)棚ABC與地面成多大角度時(shí)，才能使所遮影面ABD面積最大？最大面積是多少？

圖8

評(píng)注：立體幾何知識(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，解決這樣的問(wèn)題首先需要將應(yīng)用問(wèn)題抽象為某一個(gè)類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題是與立體幾何有關(guān)，然后在建立幾何模型，落實(shí)相關(guān)條件，找到它們之間的聯(lián)系，列出等式是解題的關(guān)鍵，平時(shí)要加強(qiáng)知識(shí)應(yīng)用方面的訓(xùn)練．