安徽省阜陽市第三中學(xué) (236000) 胡震洪

數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法，通過建立數(shù)學(xué)模型去解決問題[1].數(shù)學(xué)建模是連接學(xué)習(xí)與研究的橋梁，承載著幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題的功能，這三者恰恰指向了三會(huì)(會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看、會(huì)用數(shù)學(xué)思維想、會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界).數(shù)學(xué)建模離不開開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，然而觀摩幾次建?；顒?dòng)課，我發(fā)現(xiàn)執(zhí)教教師雖然選題不錯(cuò)，但建?；顒?dòng)的開展并不順利，主要表現(xiàn)為，教師設(shè)計(jì)的問題過于簡單或者難以回答，不符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，以致建?；顒?dòng)開展的磕磕絆絆，導(dǎo)致建?；顒?dòng)課顯得難以駕馭，為后續(xù)教師開展建?；顒?dòng)課帶來障礙.

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課和一般數(shù)學(xué)課一樣，需要借助合理的、有梯度的問題開展教學(xué).教師在合適的時(shí)間提出合適的問題、在必要的時(shí)候進(jìn)行追問，是上好數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課的基礎(chǔ).這方面，北師大版高中數(shù)學(xué)教材副主編李延林老師執(zhí)教的建?；顒?dòng)課《如何確定站臺(tái)位置》給了我們一個(gè)學(xué)習(xí)的案例，值得一線教師研究、學(xué)習(xí).

一、教學(xué)主要環(huán)節(jié)

問題1 如圖1，學(xué)校準(zhǔn)備為居住較集中的六位乘坐校車的學(xué)生設(shè)置一站，這個(gè)站設(shè)在哪里好？

圖1

師(參與學(xué)生討論后追問)：每個(gè)人對好的理解都不同，你如何理解這里的“好”？請你用文字語言表述，你認(rèn)為好的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

學(xué)生討論后給出以下標(biāo)準(zhǔn)：1.較多的學(xué)生更快的到達(dá)車站，盡可能使大家公平；2.車站到六個(gè)點(diǎn)的距離之和最?。?.所有人到車站的時(shí)間和最?。?.公交車站離每個(gè)人都盡量的近；5.走的最遠(yuǎn)者走的盡量少.

師(追問)：你認(rèn)為上面五種標(biāo)準(zhǔn)中哪種更具有研究的價(jià)值？

學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)無論站臺(tái)設(shè)在何處都不可能實(shí)現(xiàn)絕對公平，所以標(biāo)準(zhǔn)1不可能實(shí)現(xiàn)；標(biāo)準(zhǔn)4不容易評判；標(biāo)準(zhǔn)5實(shí)質(zhì)上是站臺(tái)設(shè)在曲線上點(diǎn)A、F的正中間.通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)2和標(biāo)準(zhǔn)3具有研究的價(jià)值和可行性，這兩種標(biāo)準(zhǔn)也得到大部分同學(xué)的認(rèn)可.

問題2 標(biāo)準(zhǔn)2中，如何表達(dá)車站到六個(gè)點(diǎn)的距離？

師(追問)：如何表達(dá)距離？

學(xué)生：線段的長.

師(追問)：很遺憾，現(xiàn)在沒有線段，怎么辦？學(xué)生：把曲線拉直，曲線拉直成直線(圖2).

圖2

師(追問)：曲線拉直成直線后，得有數(shù)據(jù).我們研究直線上點(diǎn)的距離，可以把直線放在哪里?

學(xué)生：需要建立坐標(biāo)系，一維的坐標(biāo)系是數(shù)軸(圖3).

通過設(shè)點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，P對應(yīng)的數(shù)分別是a，b，c，d，e，f，p，從而得到標(biāo)準(zhǔn)2的數(shù)學(xué)表示——求M(p)=|p-a|+|p-b|+|p-c|+|p-d|+|p-e|+|p-f|的最小值.

問題3 如何求M(p)的最小值？

圖4

(學(xué)生用代數(shù)方法求解遇到了困難)師(追問)：我們嘗試著在數(shù)軸上把點(diǎn)P放在不同位置，猜測一下哪種放法好，如圖4，點(diǎn)P放在P1好還是P2好？

學(xué)生通過討論得到點(diǎn)P放在P2比放在P1時(shí)M(p)小了6|P1P2|.又結(jié)合對稱性，最終學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P放在P4最好，且P4位于線段CD上的任何一點(diǎn)處M(p)都不變.回歸到原問題中，站臺(tái)應(yīng)該設(shè)在曲線CD上.

問題4 標(biāo)準(zhǔn)2和標(biāo)準(zhǔn)3完全相同嗎？

學(xué)生討論后指出：如果學(xué)生步行速度相同，“時(shí)間之和最小”可以等同于“距離之和最小”，但如果學(xué)生步行速度不等，這兩個(gè)模型就存在差異，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)3比標(biāo)準(zhǔn)2復(fù)雜.

問題5 當(dāng)學(xué)生數(shù)增加到7人、8人…，如何研究該問題？如果這6名學(xué)生中有一名學(xué)生因病走路不方便，怎么辦？

學(xué)生討論后提出，當(dāng)人數(shù)為偶數(shù)時(shí)，站臺(tái)設(shè)置在中間兩點(diǎn)之間均可，人數(shù)為奇數(shù)時(shí)，站臺(tái)應(yīng)該設(shè)置在中間點(diǎn)處.

問題6 如果這6名學(xué)生中有一名學(xué)生因病走路不方便，怎么辦？

學(xué)生(毫不猶豫)：“那就把站臺(tái)建在離他最近的地方”.

二、聽課感悟

1.設(shè)計(jì)合理的問題中彰顯出教師的大智慧

本節(jié)課的難點(diǎn)是如何從數(shù)學(xué)的角度解決實(shí)際問題“如何設(shè)置站臺(tái)位置好”.李老師通過6個(gè)主要問題和適時(shí)追問順利的解決該問題，給聽課教師展示了一節(jié)完整的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課，充分反映出李老師的大智慧.縱觀6個(gè)主要問題，我認(rèn)為這些問題有以下特點(diǎn)：

問題1是生活問題數(shù)學(xué)化的過程，這是本節(jié)課的第一次抽象，通過這次抽象，實(shí)際問題“如何設(shè)置站臺(tái)位置好”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題“距離短”、“距離之和最小”、“時(shí)間之和最小”等，這是幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題的過程.

問題2是文字語言符號(hào)化的過程，這是本節(jié)課的第二次抽象，是數(shù)學(xué)內(nèi)部的抽象，這次抽象是符號(hào)化的過程，通過這次抽象，“好”的標(biāo)準(zhǔn)更明確、更清晰.在這個(gè)過程中學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到：1、用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)距離需要將曲線拉成直線；2、為了便于表達(dá)距離需要建立數(shù)軸，通過設(shè)點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，P對應(yīng)的數(shù)分別是a，b，c，d，e，f，p，從而得到標(biāo)準(zhǔn)2的數(shù)學(xué)表示——求M(p)=|p-a|+|p-b|+|p-c|+|p-d|+|p-e|+|p-f|的最小值.這是一個(gè)幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的過程.

問題3是用數(shù)學(xué)的方法解決問題的過程，學(xué)生用代數(shù)方法求M(p)的最小值顯然已經(jīng)超出了高中生的能力范圍.數(shù)缺形時(shí)少直觀，用幾何方法，借助圖形，從一側(cè)開始，逐步分析，期間滲透了分類討論思想，同時(shí)利用對稱性簡化研究過程，考察了學(xué)生的邏輯推理和直觀想象的素養(yǎng)，繼而得到實(shí)際問題的解——站臺(tái)應(yīng)該設(shè)在曲線CD上(含端點(diǎn)).

問題4是一個(gè)反思的過程.教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到假設(shè)的“路無差異、人無差異”實(shí)際上簡化了實(shí)際問題，考慮的情況越多，建模過程就會(huì)越復(fù)雜，比如如果考慮學(xué)生的步行速度不同，就需要用加權(quán)平均數(shù).通過這個(gè)反思，學(xué)生認(rèn)識(shí)到從生活問題抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，也就是合情假設(shè)的過程中，或多或少的要舍棄一些因素，或者說要將問題理想化，理想化因素的多少?zèng)Q定了數(shù)學(xué)問題的難易程度.這部分是提醒學(xué)生，我們從生活問題中發(fā)現(xiàn)并抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法解決并還原到現(xiàn)實(shí)情境中去，往往得到的也是“近似解”，但這個(gè)“近似解”通?？梢詽M足我們的需求.

問題5對問題進(jìn)行了拓展.通過討論學(xué)生認(rèn)識(shí)的到：人數(shù)變化帶來結(jié)果的變化，但變化中又蘊(yùn)含著不變性.

問題6涉及到情感態(tài)度價(jià)值觀的培養(yǎng).李教授在培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的同時(shí)也在培養(yǎng)學(xué)生的愛心，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這個(gè)世界有很多需要我們關(guān)心和幫助的人群，社會(huì)發(fā)展、社會(huì)進(jìn)步的終極目標(biāo)是讓社會(huì)變得更美好！

2.追問同樣重要，有時(shí)更有價(jià)值

本節(jié)課最精彩之處在于李老師的追問，李老師在參與學(xué)生討論的過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生不知道從什么角度回答問題1，于是及時(shí)追問“請你用文字語言表述，你認(rèn)為好的標(biāo)準(zhǔn)是什么”，這樣即限定了學(xué)生的回答方式，又降低了回答的難度，因?yàn)閷Υ蟛糠謱W(xué)生而言該問題用文字語言比數(shù)學(xué)語言更容易回答.

中學(xué)生回答問題的語言很多是不規(guī)范的，李老師通過追問，幫助學(xué)生規(guī)范語言，在問題“點(diǎn)P放在P1好還是P2好”中，學(xué)生的回答是“點(diǎn)P放在P2比放在P1好，好了6|P1P2|”，李老師及時(shí)追問“這里的‘好了’是什么意思”，學(xué)生及時(shí)將口語“好了”換成數(shù)學(xué)用語“少了”.很多老師常常將“數(shù)學(xué)育人”掛在嘴邊，李老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，注重學(xué)生數(shù)學(xué)語言的規(guī)范性，已將“數(shù)學(xué)育人”付諸于行動(dòng)中.

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線之一，不僅能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)技能，更能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考和實(shí)踐，是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體[2].本節(jié)課李老師通過設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光詮釋“如何設(shè)置站臺(tái)位置好”，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力；又通過數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生將曲線“拉”成直線，并建立數(shù)軸，將距離之和最小轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)思維想、會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力.這樣指向“三會(huì)”設(shè)計(jì)合適數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)得以順利開展的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生建模素養(yǎng)的基礎(chǔ).