馬浩君，韓 鵬，高 東，鄭建華

(1.中國科學(xué)院 國家空間科學(xué)中心，北京 100190； 2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

無拖曳衛(wèi)星采用位于星體內(nèi)部的質(zhì)量塊作為理想的寧靜參考源，通過測量質(zhì)量塊與衛(wèi)星之間的狀態(tài)偏差實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星的超高精度控制[1-2].由于幾乎消除了作用在質(zhì)量塊上的外部非保守力擾動，無拖曳控制技術(shù)逐漸成為地球重力場測量、空間引力波探測等超高精度空間科學(xué)衛(wèi)星的首選方案[3].

質(zhì)量塊是保證衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)超穩(wěn)超靜的關(guān)鍵部件[4].對于多質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星，由于質(zhì)量塊總自由度數(shù)遠(yuǎn)多于衛(wèi)星的自由度數(shù)[5]，使得多質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星的控制策略更為復(fù)雜.無拖曳控制器是實(shí)現(xiàn)無拖曳衛(wèi)星極低的殘余加速度要求的基礎(chǔ).對于執(zhí)行深空任務(wù)的無拖曳衛(wèi)星，因?yàn)榭臻g環(huán)境較近地更為干凈，其殘余加速度要求也更為嚴(yán)格[6].例如對運(yùn)行在日地L1點(diǎn)的LISA Pathfinder衛(wèi)星，殘余加速度要求為30×10-15m·s-2·Hz-1/2[7].而在如LISA、太極計(jì)劃等空間引力波探測任務(wù)中，殘余加速度要求達(dá)到前所未有的3×10-15m·s-2·Hz-1/2[8].這給控制器的設(shè)計(jì)帶來了極大挑戰(zhàn)，也是目前深空探測無拖曳衛(wèi)星的研究重點(diǎn).

深空探測無拖曳衛(wèi)星一般用于超高精度的空間科學(xué)任務(wù)，例如空間引力波探測任務(wù)，通常包含多個(gè)質(zhì)量塊，模型復(fù)雜且控制難度大.文獻(xiàn)[9]基于魯棒控制設(shè)計(jì)了LISA Pathfinder衛(wèi)星的無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)(drag-free and attitude control system, DFACS)，在軌運(yùn)行結(jié)果表明控制器具有充足的穩(wěn)定裕度和良好的抗干擾能力.文獻(xiàn)[10]則基于PID控制的原理設(shè)計(jì)了LISA Pathfinder衛(wèi)星的干擾抑制系統(tǒng)(disturbance reduction system, DRS).該方案需要分別調(diào)試15個(gè)控制回路的PID控制參數(shù)以及高階衰減濾波器，且難以有效利用頻域信息.文獻(xiàn)[11]介紹了在頻域利用定量反饋理論(quantitative feedback theory, QFT)設(shè)計(jì)LISA Pathfinder構(gòu)型衛(wèi)星無拖曳控制系統(tǒng)的方法.該方法利用QFT技術(shù)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)從而實(shí)現(xiàn)性能與穩(wěn)定性之間的平衡.文獻(xiàn)[12]則利用自抗擾控制技術(shù)(active disturbance rejection control, ADRC)設(shè)計(jì)了相同構(gòu)型衛(wèi)星的無拖曳與懸浮控制器，控制器階數(shù)較低，但需要調(diào)節(jié)的參數(shù)較多，且噪聲抑制能力在部分回路較弱.

由于無拖曳衛(wèi)星的各項(xiàng)控制指標(biāo)均在頻域給出，基于頻域的控制器設(shè)計(jì)方法可以充分利用各項(xiàng)性能指標(biāo)，從而高效率地設(shè)計(jì)出符合要求的無拖曳控制器.基于H∞范數(shù)的H∞控制理論一直在魯棒控制中占據(jù)重要地位，具有魯棒性以及抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[13].此外，H∞控制器可以在頻域中進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理意義明確，很適合用于無拖曳衛(wèi)星的控制器設(shè)計(jì).因此，本文通過在頻域推導(dǎo)的一系列靈敏度函數(shù)與補(bǔ)靈敏度函數(shù)約束，基于H∞魯棒控制理論提出了一種無拖曳控制系統(tǒng)的快速設(shè)計(jì)方法，避免了經(jīng)驗(yàn)試湊，大大降低了設(shè)計(jì)的復(fù)雜度.首先，本文考慮深空環(huán)境下的雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星，將控制系統(tǒng)劃分為3個(gè)控制回路，并制定了各回路的解耦與控制策略；再基于衛(wèi)星的頻域科學(xué)指標(biāo)與擾動和噪聲的頻譜模型構(gòu)建了每個(gè)回路的靈敏度函數(shù)與補(bǔ)靈敏度函數(shù)設(shè)計(jì)約束，避免了混合靈敏度問題中加權(quán)函數(shù)陣難以選取的缺點(diǎn)，從而快速且準(zhǔn)確地設(shè)計(jì)出既具有魯棒穩(wěn)定性又符合抗干擾要求的無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)；最后的仿真結(jié)果證明了所提出的設(shè)計(jì)方法的有效性.

1 雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星動力學(xué)模型

圖1展示了本文研究的無拖曳衛(wèi)星的構(gòu)型示意圖.衛(wèi)星內(nèi)含有兩個(gè)測試質(zhì)量塊，左側(cè)為TM1，右側(cè)為TM2.慣性傳感器將質(zhì)量塊與外界隔離，用于測量質(zhì)量塊相對于衛(wèi)星的位置和姿態(tài)，同時(shí)還作為驅(qū)動質(zhì)量塊的執(zhí)行機(jī)構(gòu).衛(wèi)星(除兩個(gè)質(zhì)量塊以外部分，下同)上裝配有微推力器和星敏感器，分別用于驅(qū)動衛(wèi)星跟隨質(zhì)量塊運(yùn)動以及測量衛(wèi)星的姿態(tài).

衛(wèi)星運(yùn)行在黃道面內(nèi)的日心圓軌道上，軌道半徑為1 AU.科學(xué)模式下，衛(wèi)星本體系的Z軸指向太陽，保持對日定向的姿態(tài).

圖1 雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星布局示意

參照LISA Pathfinder任務(wù)，兩質(zhì)量塊之間連線為激光干涉鏈路，即敏感軸方向.總的科學(xué)指標(biāo)要求為在測量頻段1 mHz≤f≤30 mHz上，沿TM1的x1軸方向的殘余加速度為

1.1 雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星動力學(xué)建模

引力波探測等科學(xué)任務(wù)對超穩(wěn)超靜的要求，決定了衛(wèi)星工作時(shí)不能使用太陽能帆板以及反作用飛輪、陀螺等運(yùn)動機(jī)構(gòu).此外，衛(wèi)星的溫控精度極高，可以忽略熱膨脹影響.因此可以使用剛體動力學(xué)理論來對衛(wèi)星進(jìn)行建模.圖2以單個(gè)質(zhì)量塊為例，對建模過程中使用到的坐標(biāo)系和向量進(jìn)行了說明.

1.1.1 軌道與姿態(tài)動力學(xué)模型

根據(jù)牛頓第二定律，衛(wèi)星和質(zhì)量塊在日心慣性系下的運(yùn)動方程為：

(1)

圖2 坐標(biāo)系與向量示意

由歐拉動力學(xué)方程，在衛(wèi)星和質(zhì)量塊的本體系下有：

(2)

式中：IB、IM1、IM2分別為衛(wèi)星、質(zhì)量塊1和質(zhì)量塊2的轉(zhuǎn)動慣量；MSP、MT、MN_T分別為太陽光壓力矩、微推力器的控制力矩以及推力矩噪聲；MH1_M1、MH2_M2、MN_H1、MN_H2分別為電極籠子施加給質(zhì)量塊的靜電控制力矩以及噪聲；MMu_M1、MMu_M2分別為靜電控制力對衛(wèi)星的反作用力引起的力矩；MM1-B=-MB-M1、MM2-B=-MB-M2為質(zhì)量塊與衛(wèi)星之間的耦合；MDIS_B、MDIS_M1、MDIS_M2為衛(wèi)星和質(zhì)量塊受到的其他直接擾動力矩.

1.1.2 相對運(yùn)動學(xué)模型

無拖曳衛(wèi)星的慣性傳感器一般固連在衛(wèi)星上，因此慣性傳感器相對于衛(wèi)星的角速度ωH=0.以其中一個(gè)質(zhì)量塊為例，其絕對角速度在慣性系下可以表示為

(3)

式中：ωB為衛(wèi)星相對于慣性系的角速度在衛(wèi)星本體系下的表示；ωM為質(zhì)量塊相對于慣性傳感器的角速度在質(zhì)量塊本體系下的表示；TXY為坐標(biāo)系Y到X的坐標(biāo)變換矩陣.再利用坐標(biāo)變化，得到質(zhì)量塊絕對角速度在質(zhì)量塊本體系下的表示

(4)

然后，分別對式(3)和(4)求導(dǎo)得到

(5)

(6)

由圖2所示的幾何關(guān)系，可以得到質(zhì)量塊在慣性系下的位置表示

(7)

對式(7)在慣性系下求導(dǎo)，分別得到質(zhì)量塊相對于慣性系的速度以及加速度

(8)

(9)

將式(3)～(9)分別代入式(1)和式(2)對應(yīng)項(xiàng)中，并加以整理即可完成雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星動力學(xué)模型的建立，如式(10)所示：

(10)

上述動力學(xué)模型建立方法具有通用性.對于不同構(gòu)型的無拖曳衛(wèi)星僅需改變質(zhì)量塊個(gè)數(shù)以及相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣.

1.2 動力學(xué)方程線性化

質(zhì)量塊相對于衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動為小量，則有

式中,E3×3為三維單位陣.

無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)涉及到的動力學(xué)模型包括衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動以及質(zhì)量塊的相對運(yùn)動.因此，結(jié)合上述近似并且忽略狀態(tài)變量的二階小項(xiàng)，可以將式(10)所示的非線性模型簡化為如下形式：

(11)

其中,

(12)

(13)

2 雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星控制策略設(shè)計(jì)

2.1 無拖曳與懸浮控制自由度選擇

由于衛(wèi)星只有6個(gè)自由度，根據(jù)無拖曳技術(shù)的原理，衛(wèi)星最多能實(shí)現(xiàn)6個(gè)方向的無拖曳控制.因此，對于存在多個(gè)質(zhì)量塊的無拖曳衛(wèi)星，在設(shè)計(jì)控制器之前，首先要確定無拖曳控制自由度以及懸浮控制自由度.

本研究中設(shè)計(jì)TM1為完全無拖曳控制，TM2為完全靜電懸浮控制.因此可定義如式(14)所示的選擇矩陣，將控制系統(tǒng)劃分為衛(wèi)星姿態(tài)控制回路、無拖曳控制回路以及靜電懸浮控制回路.

(14)

從而得到無拖曳控制坐標(biāo)和懸浮控制坐標(biāo)

(15)

再將式(11)中的各外力和外力矩作用展開，可以得到3個(gè)控制回路的動力學(xué)模型：

(16)

式中：uTHR、uESDF、uESSUS分別為微推進(jìn)器對衛(wèi)星的推力加速度以及無拖曳和懸浮控制自由度上的靜電控制加速度；nTHR、nESDF、nESSUS分別為微推進(jìn)器噪聲、無拖曳和懸浮控制自由度上的電容噪聲；dB、dDF、dSUS分別為衛(wèi)星、無拖曳和懸浮控制自由度上受到其他擾動加速度；-ki·xi為衛(wèi)星和質(zhì)量塊之間的耦合加速度且ki<0[14].

2.2 動力學(xué)解耦

從式(16)可以看出，無拖曳控制回路的6個(gè)自由度之間互相耦合.對于雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星，由于輸入數(shù)量遠(yuǎn)多于控制量，無法采取傳統(tǒng)的解耦控制方式.因此，采用輸入解耦的方式，定義如下關(guān)系

(17)

則式(16)可以重新整理為

(18)

從而實(shí)現(xiàn)了無拖曳回路上的解耦.再對上式進(jìn)行拉式變換有

(19)

2.3 反饋控制策略

從式(19)中可以看到，無拖曳控制與衛(wèi)星姿態(tài)控制共有9個(gè)自由度，而微推力器只能提供6個(gè)方向的控制.若兩個(gè)控制回路均采用微推力器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，則會造成低頻時(shí)無拖曳控制器與姿態(tài)控制器的沖突.對此，文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了式(20)所示的反饋控制器結(jié)構(gòu)

(20)

該反饋控制結(jié)構(gòu)可以解釋為：

1)無拖曳控制器CDF通過微推力器反饋控制無拖曳自由度；

2)靜電懸浮控制器CSUS通過懸浮自由度上的靜電驅(qū)動裝置反饋控制懸浮自由度；

3)姿態(tài)控制器CATT通過無拖曳自由度上的靜電驅(qū)動裝置控制TM1的姿態(tài)，再通過無拖曳控制回路間接實(shí)現(xiàn)對衛(wèi)星姿態(tài)的控制.

至此，整個(gè)衛(wèi)星的控制系統(tǒng)劃分為了質(zhì)量塊的無拖曳控制回路和懸浮控制回路以及衛(wèi)星的姿態(tài)控制回路，共包含15個(gè)解耦的閉環(huán)回路.對該閉環(huán)模型具有如下說明：

1)無拖曳回路由6個(gè)解耦的無阻尼二階系統(tǒng)構(gòu)成，完全由微推進(jìn)系統(tǒng)控制；懸浮控制回路完全由相應(yīng)自由度上的靜電驅(qū)動裝置實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制；

2)衛(wèi)星的姿態(tài)控制回路則以TM1自由度上的靜電驅(qū)動器為執(zhí)行機(jī)構(gòu).當(dāng)星敏感器測量到衛(wèi)星的姿態(tài)偏差時(shí)，誤差信號反饋給姿態(tài)控制器，通過靜電驅(qū)動裝置輸出靜電力直接控制TM1的姿態(tài).隨后無拖曳控制回路再實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星對TM1的跟蹤，從而間接實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星的姿態(tài)控制；

3)由于姿態(tài)控制器的輸出會直接作用在處于無拖曳狀態(tài)的TM1上，因此必須保證姿態(tài)控制器的帶寬遠(yuǎn)低于無拖曳控制器的帶寬.這樣既保證了敏感軸在測量帶寬上的信號讀出不受影響，又在頻域上實(shí)現(xiàn)了無拖曳控制與姿態(tài)控制的解耦.

2.4 擾動與噪聲的頻譜模型

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，對于深空任務(wù)的無拖曳衛(wèi)星，衛(wèi)星受到的擾動主要是微推進(jìn)器的噪聲和太陽光壓.質(zhì)量塊則受到多種直接擾動，本文只考慮其中的主導(dǎo)項(xiàng)，包括衛(wèi)星與質(zhì)量塊之間的耦合以及慣性傳感器的驅(qū)動噪聲.此外還考慮了各測量機(jī)構(gòu)的測量噪聲.

圖3 閉環(huán)回路示意

(21)

將單位白噪聲通過低通濾波器，可以對上述擾動與噪聲的頻域特性進(jìn)行建模.為使本文研究更具有實(shí)際意義，參考目前最先進(jìn)的無拖曳衛(wèi)星LISA Pathfinder任務(wù)公開的噪聲水平，給出了各擾動與噪聲的幅值譜密度.

慣性傳感器各軸的測量噪聲見圖4.星敏感器測量噪聲的幅值譜密度為1×10-4rad·Hz-1/2，在頻譜圖中為一條直線，不在這里給出.

圖4 慣性傳感器各軸的測量噪聲

質(zhì)量塊各軸受到的靜電驅(qū)動噪聲見圖5.微推力器推力噪聲的頻域特性見圖6.衛(wèi)星受到的太陽光壓波動力的頻域特性見圖7，其常值分量假設(shè)已被微推力器的常值輸出抵消.

3 性能指標(biāo)與控制約束設(shè)計(jì)

3.1 控制性能指標(biāo)

為設(shè)計(jì)出符合無拖曳水平要求的控制系統(tǒng)，需要將總殘余加速度指標(biāo)分解為對質(zhì)量塊各軸的性能指標(biāo)要求[9-10]，見表1.

同時(shí)，在測量頻段以下(f≤1 mHz)，對于質(zhì)量塊的平動最大值約束為Xmax≤±10 μm；轉(zhuǎn)動的最大值約束分別為Xmax≤±1 mrad.

因此，無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使所設(shè)計(jì)的15個(gè)自由度上的控制器能夠抑制各類擾動與噪聲的作用，達(dá)到上述控制性能指標(biāo)要求.

圖5 質(zhì)量塊各軸受到的力和力矩噪聲

圖6 微推力器噪聲模型

圖7 太陽光壓噪聲模型

表1 測量頻段內(nèi)的頻譜性能指標(biāo)

3.2 控制器約束設(shè)計(jì)

對于單輸入單輸出(single-input single-output,SISO)系統(tǒng)，靈敏度函數(shù)S(s)與補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)的定義如式(22)和式(23)所示：

(22)

(23)

式中,G(s)為被控對象的傳遞函數(shù)，C(s)為控制器.

對于傳遞函數(shù)為H(s)的系統(tǒng)，若輸入信號的幅值譜密度為X(f)，則輸出信號的幅值譜密度Y(f)可以表示為

Y(f)=|H(j2πf)|X(f).

(24)

式中,H(j2πf)為系統(tǒng)的頻率特性.特別地，當(dāng)輸入信號為單位功率譜密度的白噪聲時(shí)有

Y(f)=|H(j2πf)|.

(25)

結(jié)合表1在頻域給出的性能指標(biāo)要求、工程設(shè)計(jì)準(zhǔn)則、穩(wěn)定裕度要求以及式(22)～(25)，可以推得對每個(gè)SISO控制回路上的靈敏度函數(shù)Sspec和補(bǔ)靈敏度函數(shù)Tspec約束.這些約束將成為H∞控制器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).

由于，對于每個(gè)控制回路均有穩(wěn)定裕度與魯棒性的要求，從而在15個(gè)控制自由度上有

Sspec≤3 dB,

(26)

Tspec≤3 dB.

(27)

3.2.1 無拖曳控制回路約束設(shè)計(jì)

圖8展示了解耦后的無拖曳控制單輸入單輸出回路.ld和lη為單位功率譜密度的白噪聲；Wd和Wη分別為圖4～7中所示的擾動與噪聲的成形濾波器.nd和nη表示加權(quán)后的實(shí)際擾動與噪聲.

圖8 帶有噪聲成形濾波器的無拖曳單輸入單輸出回路

1)Sspec:擾動噪聲抑制.結(jié)合式(21)所示的閉環(huán)傳遞函數(shù)，作用在無拖曳控制回路上的擾動力主要為微推力器噪聲、太陽光壓以及無拖曳控制回路上的靜電驅(qū)動噪聲.由圖8可以得到擾動作用到無拖曳回路上的輸出為

|GDFSDF(nT+dSC+nESDF)|=|xd|.

(28)

xd必須小于表1中回路輸出約束xreq，于是可以得到靈敏度函數(shù)約束為

(29)

2)Tspec1:測量噪聲抑制.測量噪聲對于無拖曳回路的影響主要來自慣性傳感器的測量噪聲，可以表示為

|TDFηDF|≤|xreq|.

(30)

因此可以得到補(bǔ)靈敏度函數(shù)約束為

(31)

3)Tspec2:微推力器連續(xù)兩次控制最大推力變化限制.測量噪聲會引起控制輸出的跳變.在工程上，對于單個(gè)微推力器，兩次指令之間的推力最大變化不得超過30 μN(yùn).根據(jù)文獻(xiàn)[11]可以將其轉(zhuǎn)換為如下補(bǔ)靈敏度函數(shù)約束

(32)

3.2.2 懸浮控制回路約束設(shè)計(jì)

1)Sspec1:擾動噪聲抑制.對于懸浮自由度，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分析表明,起主導(dǎo)作用的噪聲來自靜電驅(qū)動噪聲和微推力器噪聲，因此可以得到

(33)

2)Sspec2:測量頻段以下的擾動噪聲抑制.在測量頻段以下，質(zhì)量塊的相對位移與相對姿態(tài)均有最大值限制，于是有

(34)

3)Tspec1:測量噪聲抑制.閉環(huán)傳遞函數(shù)分析表明無拖曳方向的測量噪聲對于懸浮控制回路的影響遠(yuǎn)小于懸浮方向的測量噪聲，于是有

(35)

4)Tspec2:測量噪聲引起的懸浮控制回路控制輸出的限制.測量噪聲引起的控制器輸出可以表示為

|CSUSSSUSηSUS|=|ud|.

(36)

根據(jù)表1中靜電驅(qū)動裝置的輸出限制可以得到補(bǔ)靈敏度函數(shù)約束為

(37)

5)Tspec3:測量頻段以下的測量噪聲抑制為

(38)

6)Tspec4:擾動噪聲引起的懸浮控制回路控制輸出的限制為

(39)

3.2.3 姿態(tài)控制回路約束設(shè)計(jì)

衛(wèi)星的姿態(tài)在測量帶寬內(nèi)的性能指標(biāo)由無拖曳回路質(zhì)量塊的性能指標(biāo)推導(dǎo)而來[11]，即

(40)

1)Sspec:擾動噪聲抑制.對于衛(wèi)星姿態(tài)，微推進(jìn)器的噪聲已經(jīng)被無拖曳回路抑制，主要的擾動來源為靜電驅(qū)動噪聲，從而姿態(tài)控制回路上的靈敏度函數(shù)約束為

(41)

2)Tspec1:測量噪聲抑制.測量噪聲主要來自星敏感器，慣性傳感器的讀出噪聲已經(jīng)被無拖曳回路抑制，從而有

(42)

3)Tspec2:測量噪聲引起的姿態(tài)控制回路控制輸出的限制

(43)

4 控制器設(shè)計(jì)

無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目的是抑制各類擾動與噪聲的作用，在實(shí)現(xiàn)魯棒穩(wěn)定性的同時(shí)達(dá)到高精度的性能要求.混合靈敏度H∞控制器十分適合此類控制任務(wù)設(shè)計(jì).但是其設(shè)計(jì)過程存在加權(quán)函數(shù)陣難以選取，且需要大量經(jīng)驗(yàn)以及理論知識去調(diào)試的缺點(diǎn)[17-19].利用上述Sspec和Tspec設(shè)計(jì)規(guī)范可以快速指導(dǎo)權(quán)函數(shù)陣選取，提高了控制器設(shè)計(jì)效率.

S/T和KS/T混合靈敏度問題常常會產(chǎn)生零極點(diǎn)對消問題，使得小擾動輸入導(dǎo)致系統(tǒng)輸出的大改變.GS/T加權(quán)方式則可以避免這一問題[20].采用輸入解耦的方式，式(21)已經(jīng)將系統(tǒng)解耦成了15個(gè)SISO回路.在此基礎(chǔ)上，可以將控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為如圖9所示的GS/T混合靈敏度問題.

圖9 GS/T混合靈敏度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

(44)

圖10 整理成標(biāo)準(zhǔn)二端口形式

式中：G(s)S(s)為擾動輸入到對象輸出的傳遞函數(shù)，W1(s)G(s)S(s)代表擾動的衰減特性,W2(s)T(s)代表了乘性不確定性下的魯棒穩(wěn)定性約束.

H∞混合靈敏度設(shè)計(jì)的難點(diǎn)在于權(quán)函數(shù)的選取.利用上節(jié)推導(dǎo)的一系列控制約束，可以快速對加權(quán)函數(shù)陣進(jìn)行選取，避免了經(jīng)驗(yàn)整定權(quán)函數(shù)參數(shù)，提高了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)效率.根據(jù)魯棒控制第一定理有

(45)

(46)

式中：min{|Sspec|,1 mHz≤f≤30 mHz}為各回路推導(dǎo)的一系列靈敏度函數(shù)約束在測量頻段上的最小值；min{|Tspec|,1 mHz≤f≤30 mHz}為各回路推導(dǎo)的一系列補(bǔ)靈敏度函數(shù)的最小值.

結(jié)合式(45)和式(46)即可得到W1(s)和W2(s)的設(shè)計(jì)初值，如式(47)所示，避免了一般性經(jīng)驗(yàn)的試湊.

(47)

對于無拖曳控制回路，min{Sspec}和min{Tspec}分別為Sspec和Tspec1.但是表示測量噪聲抑制能力的Tspec1的幅值在測量頻段上大于1，因此在這里不起決定作用，可以考慮將補(bǔ)靈敏度函數(shù)的加權(quán)因子設(shè)計(jì)為空，這樣同時(shí)可以降低控制器階數(shù).由此可以設(shè)計(jì)加權(quán)函數(shù)陣的初值見式(48).

(48)

再進(jìn)一步依據(jù)Tspec2在1 Hz處確定的補(bǔ)靈敏度函數(shù)幅值上界，調(diào)節(jié)W10DF的截止頻率，實(shí)現(xiàn)推力跳變限制約束.最后為使得到的設(shè)計(jì)結(jié)果盡可能滿足3 dB的穩(wěn)定裕度限制，可以進(jìn)一步調(diào)節(jié)在靠近3 dB約束時(shí)W10DF的下降斜率.最終的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖11所示.

懸浮控制回路與姿態(tài)控制回路可以類似設(shè)計(jì)得到.根據(jù)上述分析，依據(jù)Sspec和Tspec可以很容易調(diào)節(jié)加權(quán)函數(shù)實(shí)現(xiàn)約束、穩(wěn)定裕度以及控制器復(fù)雜度之間的折衷.總的來說，在設(shè)計(jì)加權(quán)函數(shù)陣時(shí)，要在測量帶寬上盡可能滿足所有的約束.同時(shí)盡量降低W1(s)和W2(s)的階數(shù)，使得最終設(shè)計(jì)的控制器的階數(shù)不至于過高.

從圖3中可以看出，各控制回路之間仍有耦合.如無拖曳回路的控制輸出會前饋耦合到懸浮控制回路；姿態(tài)控制回路與無拖曳控制之間也需要在頻域上進(jìn)一步解耦.因此，有必要按照下述順序設(shè)計(jì)各個(gè)回路的控制器.

1)不考慮姿態(tài)回路的耦合，首先設(shè)計(jì)最重要的無拖曳控制器.

2)考慮無拖曳回路控制信號的耦合，設(shè)計(jì)6個(gè)懸浮回路自由度上的控制器；由于耦合的存在，設(shè)計(jì)W1(s)在低頻段的幅值盡可能大，從而確保懸浮控制器具有足夠的抗干擾能力.

3)姿態(tài)控制要求相對較低，最后進(jìn)行設(shè)計(jì).但要保證姿態(tài)控制回路的帶寬遠(yuǎn)低于無拖曳控制回路，從而避免姿態(tài)控制對于無拖曳輸出的影響.本研究中，姿態(tài)控制帶寬約為0.7 mHz，無拖曳控制帶寬約為2.1 Hz，從而使得步驟1)的假設(shè)是合理的.

5 仿真校驗(yàn)

圖13所示為搭建的無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真平臺.左側(cè)模塊為各擾動和噪聲的加權(quán)函數(shù)，右側(cè)模塊分別為姿態(tài)控制回路、無拖曳控制回路以及懸浮控制回路.

圖13 無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真平臺

為充分表現(xiàn)TM1和TM2的相對運(yùn)動演化規(guī)律并繪制準(zhǔn)確的功率譜密度曲線，設(shè)置仿真時(shí)間為120 h.其余仿真參數(shù)見表2.

表2 仿真參數(shù)設(shè)置

TM1和TM2相對運(yùn)動的時(shí)域演化規(guī)律見圖14～15.可以看出，在設(shè)計(jì)的無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)作用下，TM1和TM2均處于穩(wěn)定狀態(tài).不論是無拖曳控制的TM1還是懸浮控制的TM2的相對運(yùn)動均未超出最大值限制.表明質(zhì)量塊在控制系統(tǒng)的作用下很好地抵消了擾動與噪聲的作用，沒有與包覆質(zhì)量塊的慣性傳感器相撞，具有相應(yīng)的微重力水平.

圖14 無拖曳控制回路的相對運(yùn)動

圖15 懸浮控制回路的相對運(yùn)動

圖16和圖17所示為TM1和TM2狀態(tài)響應(yīng)的幅度譜密度曲線.紅色虛線為表1所述測量帶寬內(nèi)各軸的性能指標(biāo)，藍(lán)色曲線為狀態(tài)響應(yīng)的幅度譜密度.可以看出，無拖曳各軸的頻域特性距離性能指標(biāo)均存在一定裕度.要求最為嚴(yán)苛的敏感軸x1方向也通過配置Sctr實(shí)現(xiàn)了低頻段的抗干擾能力.

圖17 懸浮控制性能指標(biāo)仿真結(jié)果

懸浮控制回路y2和z2軸在低頻段的頻域性能超出了約束.由于懸浮控制回路對于系統(tǒng)噪聲的敏感，使得無法通過提高控制器帶寬的方式來改善性能.但是該方向只會通過交叉耦合的方式對敏感軸的殘余加速度造成影響，所以y2和z2軸的結(jié)果是容許的.

依據(jù)式(1)可以計(jì)算敏感軸x1方向殘余加速度的仿真結(jié)果.圖18中紅色虛線為殘余加速度要求，可以看出，以表1所示的分解指標(biāo)為參考而設(shè)計(jì)的無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了本研究要求的3×10-14(1+[f/3 mHz]2)m·s-2·Hz-1/2的無拖曳水平.

圖18 敏感軸方向殘余加速度仿真結(jié)果

圖13所示的仿真平臺是依據(jù)閉環(huán)全系統(tǒng)模型搭建的，考慮了各回路間的耦合.最后的仿真結(jié)果符合指標(biāo)要求，表明本文在設(shè)計(jì)過程中提出的解耦分析與假設(shè)是合理的，進(jìn)行的解耦設(shè)計(jì)過程是有效的.

最后，根據(jù)設(shè)計(jì)的無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)，進(jìn)一步分析了實(shí)現(xiàn)中國科學(xué)院空間引力波探測太極計(jì)劃要求的3×10-15(1+[f/8 mHz]4)m·s-2·Hz-1/2殘余加速度的可能性.

通過閉環(huán)傳遞函數(shù)分析，圖19所示為在控制器作用下，各擾動和噪聲對敏感軸x1方向相對位移的影響.可以看出，在測量帶寬以內(nèi)，主要的影響來自于微推力器噪聲，其次是慣性傳感器的讀出噪聲.因此，考慮將微推力器噪聲減小1個(gè)數(shù)量級，并且沿敏感軸方向采用測量噪聲更低的激光干涉測量方式.此外，禁止電容系統(tǒng)在x1方向施加任何力，從而消除該軸上的驅(qū)動噪聲.利用圖13所示仿真平臺，再次進(jìn)行仿真，得到了圖20所示的殘余加速度水平.

圖19 沿敏感軸方向的傳遞函數(shù)分析

圖20 減小微推力器噪聲后的敏感軸殘余加速度

根據(jù)仿真結(jié)果可以說明，若在未來的工程設(shè)計(jì)中，能夠在目前微推力器的噪聲水平上繼續(xù)下降1個(gè)數(shù)量級，即根據(jù)圖6，達(dá)到1 μN(yùn)·Hz-1/2@1 mHz的水平并且不激活沿敏感軸方向的電極片，采用激光干涉測量敏感軸方向的相對狀態(tài)偏差，將有可能實(shí)現(xiàn)空間引力波探測太極計(jì)劃要求的殘余加速度水平.

6 結(jié) 論

本文以深空環(huán)境下的雙質(zhì)量塊無拖曳衛(wèi)星為研究對象，基于構(gòu)建的頻域設(shè)計(jì)規(guī)范快速且有效地解決了其復(fù)雜多變量高精度控制問題.通過將15個(gè)自由度劃分成3個(gè)控制回路，并結(jié)合噪聲的頻譜模型以及頻域科學(xué)指標(biāo)構(gòu)建了每個(gè)控制回路的靈敏度函數(shù)與補(bǔ)靈敏度函數(shù)設(shè)計(jì)約束，準(zhǔn)確地指導(dǎo)了混合靈敏度GS/T問題中的加權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)，完成了衛(wèi)星無拖曳與姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì).仿真校驗(yàn)結(jié)果表明基于頻域規(guī)范設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)不僅具有魯棒穩(wěn)定性并且實(shí)現(xiàn)了深空探測無拖曳衛(wèi)星的抗干擾性要求，滿足各項(xiàng)無拖曳水平要求.

此外，利用所設(shè)計(jì)的無拖曳控制系統(tǒng)，進(jìn)一步通過傳遞函數(shù)分析發(fā)現(xiàn)了影響敏感軸無拖曳性能的主要擾動來源.給出了未來實(shí)現(xiàn)空間引力波探測太極計(jì)劃要求的殘余加速度水平的工程建議.

本文介紹的建模與控制器設(shè)計(jì)方法雖然針對LISA Pathfinder任務(wù)類別的無拖曳衛(wèi)星，但也可以推廣到任意構(gòu)型的無拖曳衛(wèi)星，具有通用性.