李燕

數(shù)學(xué)教材中的例題都是經(jīng)過精心挑選的，具有典型性和示范性。若同學(xué)們能在學(xué)習(xí)的過程中認(rèn)真理清例題的解題方法和所用知識(shí)點(diǎn)，并加以拓展，將是實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的有效途徑。下面以蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊第25頁的例題為例，談?wù)劺}的學(xué)習(xí)與拓展。

【原題呈現(xiàn)】不畫圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點(diǎn)。

【分析】例題是根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用一元二次方程根的判別式，得到方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。即對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，二次函數(shù)的圖像與x軸有唯一的公共點(diǎn)（即頂點(diǎn)）;當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)。

解：因?yàn)橐辉畏匠?x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）=

-7<0，

所以方程-x2+5x-8=0沒有實(shí)數(shù)根，

所以二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)。

【點(diǎn)評(píng)】將函數(shù)圖像問題代數(shù)化，化繁為簡，巧妙地體現(xiàn)出二次函數(shù)圖像與一元二次方程是“形”與“數(shù)”的有機(jī)結(jié)合。

思考一、根據(jù)二次函數(shù)確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

變式1 若關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+x-a+[94]與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________ 。

【解析】根據(jù)題意，得判別式Δ=1-4×（-a+[94]）>0，解得a>2。

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以確定字母系數(shù)的取值范圍，其方法是根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，推出b2-4ac值的性質(zhì)，即列出關(guān)于字母系數(shù)的方程（或不等式），通過方程（或不等式）求解。

延伸1 已知二次函數(shù)y=x2+x+m，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0，則m的取值范圍是__________ 。

【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+x+m的圖像開口向上，又當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0，所以b2-4ac=1-4m<0，解得m>[14]。

【點(diǎn)評(píng)】題面中沒有涉及函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但條件y>0巧妙地把“數(shù)與形”結(jié)合在一起，增強(qiáng)了知識(shí)聯(lián)系及延伸，增加了題目深度。

延伸2 已知函數(shù)y=（k-3）x2+2x+1的圖像與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是__________ 。

【解析】當(dāng)k-3=0，即k=3時(shí)，函數(shù)為y=2x+1，此一次函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)k-3≠0時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，當(dāng)b2-4ac=4-4（k-3）≥0，即k≤4且k≠3時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)k≤4時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)。

【點(diǎn)評(píng)】由于題中沒有明確函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，因此要分k-3=0和k-3≠0兩種情況進(jìn)行討論。

思考二、根據(jù)二次函數(shù)求一元二次方程中的解及參數(shù)

變式2 二次函數(shù)y=x2+x-m的部分圖像如圖1所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解。

【解析】由圖知x2+x-m=0的一個(gè)根為1，所以12+1-m=0，即m=2，故一元二次方程為x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2，所以一元二次方程x2+x-m=0的解為x1=1，x2=-2。

【點(diǎn)評(píng)】此題還可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求得此拋物線的對(duì)稱軸為直線x=[-12]，由圖知二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，易求該二次函數(shù)圖像與x軸的另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2。

延伸1 已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（-1，5），且無論m為何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，求一元二次方程ax2+bx+c=5的解。

【解析】因?yàn)椴坏仁絘+b≥am2+bm恒成立，所以a+b+c≥am2+bm+c恒成立，所以點(diǎn)（1，a+b+c）是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)（-1，5）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為（3，5）。

當(dāng)y=5時(shí)，x=-1或3，所以一元二次方程ax2+bx+c=5的解為x1=-1，x2=3。

故答案為x1=-1，x2=3。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及拋物線對(duì)稱性，找到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵。

延伸2 二次函數(shù)y=x2+bx的對(duì)稱軸為直線x=1，若關(guān)于x的方程x2+bx-t=0（t為實(shí)數(shù)）在-1

【解析】二次函數(shù)y=x2+bx的對(duì)稱軸為直線x=1，則x=[-b2a]=[-b2]=1，解得b=-2，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x，頂點(diǎn)為（1，-1）。

當(dāng)x=-1時(shí)，y=4;當(dāng)x=4時(shí)，y=8。

t的取值范圍為頂點(diǎn)至y=8之間的區(qū)域，即-1≤t<8。

【點(diǎn)評(píng)】把二次函數(shù)與不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題求解，是解題的突破口，如果能作出圖形會(huì)顯得更為直觀。

思考三、根據(jù)二次函數(shù)確定不等式中的參數(shù)取值范圍

變式3 拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的圖像如圖2所示，則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是__________ 。

【解析】圖像與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x=-1與x=2，由圖像又知當(dāng)-1

【點(diǎn)評(píng)】利用函數(shù)圖像解不等式。當(dāng)函數(shù)值y>0時(shí)，圖像上的點(diǎn)在x軸的上方;當(dāng)函數(shù)值y<0時(shí)，圖像上的點(diǎn)在x軸的下方。充分利用數(shù)形結(jié)合思想，能直觀地解決類似問題。

延伸1 拋物線y=a（x-h）2+k（a>0）經(jīng)過（-1，2），（5，2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式a（x-h-1）2+k≤2的解集為__________ 。

【解析】因?yàn)閽佄锞€y=a（x-h）2+k（a>0）經(jīng)過（-1，2），（5，2）兩點(diǎn)，所以大致圖像如圖3所示：

所以y=a（x-h-1）2+k（a>0）經(jīng)過（0，2），（6，2）兩點(diǎn)，

所以關(guān)于x的不等式a（x-h-1）2+k≤2的解集為0≤x≤6。

故答案為0≤x≤6。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)與不等式的知識(shí)。正確理解數(shù)形結(jié)合，合理分析是解題的關(guān)鍵。

延伸2 一元二次方程ax2-2ax+c=0有一個(gè)根為x=3，且y=ax2-2ax+c過點(diǎn)（2，-3），則不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解為__________。

【解析】把點(diǎn)（2，-3）代入y=ax2-2ax+c，得4a-4a+c=-3，即c=-3。

把x=3代入ax2-2ax+c=0，得9a-6a+c=0，則3a-3=0，解得a=1，所以拋物線為y=x2-2x-3。

解方程x2-2x-3=-x-1，得x1=-1，x2=2，所以拋物線y=x2-2x-3與直線y=-x-1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1和2，即不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解集為-1≤x≤2。

故答案為-1≤x≤2。

【點(diǎn)評(píng)】本題是利用兩個(gè)函數(shù)的圖像在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系，求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)求解，也可把兩個(gè)函數(shù)列成不等式求解。

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)城東分校）