張峪維，束永平

(東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 上海 201620)

板殼式薄壁構(gòu)件是許多工程結(jié)構(gòu)如壓力容器、管道、潛艇船體、飛機(jī)的機(jī)翼和機(jī)身、火箭、導(dǎo)彈以及機(jī)器的外殼等最常用的結(jié)構(gòu)元素。殼體的受力主要取決于它的曲率，在保持殼體的厚度和材料不變的條件下改變殼體的曲率，可獲得不同的殼體承載能力。因此，曲率、厚度和邊界條件等參數(shù)是影響甚至決定殼體性能的重要因素。殼體結(jié)構(gòu)的行為特殊性、分析難度以及應(yīng)用廣泛性，引起學(xué)者對(duì)殼體分析的廣泛興趣。Love[1]通過總結(jié)并拓展Rayleigh的工作，構(gòu)建了Love殼體振動(dòng)的基本理論。Warburton[2-3]研究了圓柱殼的受迫振動(dòng)問題，為受徑向周期力的殼體求得了強(qiáng)迫振動(dòng)的模態(tài)廣義坐標(biāo)。Leissa等[4]基于Novozhilov理論，討論了圓柱殼受到正弦波激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問題。但是由于模態(tài)耦合的問題，共振響應(yīng)的峰值和阻尼并不是完全成反比，而是存在微小偏差。Kraus等[5]對(duì)均勻薄圓柱殼在諧波徑向力作用下的響應(yīng)進(jìn)行研究。Liao等[6]得出了圓柱殼對(duì)諧波徑向力響應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，預(yù)測(cè)了圓柱殼在共振時(shí)的無限響應(yīng)。Lu[7]研究了無限長(zhǎng)圓柱殼在徑向力和黏滯阻尼理論下的響應(yīng)。

在各種殼體結(jié)構(gòu)中，封閉圓柱薄殼結(jié)構(gòu)被研究得最多。由于圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程以及邊界條件比梁和薄板復(fù)雜得多，因此要得到圓柱殼的解析解是非常困難的，其主要難點(diǎn)在于如何簡(jiǎn)化和求解這些方程[8]。對(duì)于開口圓柱殼的研究主要集中在自由振動(dòng)(模態(tài)和振型)[9]方面，目前文獻(xiàn)中尚未見到關(guān)于具有阻尼的開口圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)分析。

本文利用解析法分析了四邊簡(jiǎn)支開口圓柱殼在簡(jiǎn)諧激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，給出殼體在3種不同阻尼下不同位置的徑向振幅隨激勵(lì)頻率的變化情況。對(duì)其與7種開口圓柱殼在前10階模態(tài)頻率處的共振響應(yīng)以及隨模態(tài)數(shù)增加的收斂性進(jìn)行分析，探究了長(zhǎng)徑比、厚徑比、開口角度對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。本文提供的開口圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)和精度可用于近似求解結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)和精度。

1 開口圓柱殼的計(jì)算模型

開口圓柱殼的示意圖如圖1所示。采用薄殼基本假設(shè)[10]：(1)變形前垂直于中面的直線在變形后仍保持直線，并垂直于中面；(2)相對(duì)于其他應(yīng)力分量，沿中面垂直方向的法向應(yīng)力可忽略不計(jì)；(3)忽略殼體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(4)法向撓度沿中面法線上各點(diǎn)是不變的；(5)殼體是等厚度的薄殼，其厚度小于殼體長(zhǎng)度和曲率半徑的10%。

設(shè)殼的厚度為h，中面半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，開口角度為θ0，在柱坐標(biāo)系中坐標(biāo)原點(diǎn)O位于圓柱殼的前端面圓心處，x軸與圓柱殼的軸線重合，z軸沿圓柱殼的徑向，切向θ為周向偏轉(zhuǎn)角，u、v和w分別為中面上任意一點(diǎn)P沿軸向、切向和徑向的位移。

2 固有頻率求解

開口圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程[10]為

(1)

(2)

設(shè)四邊簡(jiǎn)支開口圓柱殼的振型解[10]為

(3)

式中：下標(biāo)m和n表示相應(yīng)振型沿軸向有m個(gè)半波、沿周向有n個(gè)半波，對(duì)應(yīng)一組(m,n)有3個(gè)頻率(i=1, 2, 3)，代表U、V和W彼此的比值不同，但均有m個(gè)軸向半波和n個(gè)周向半波。3個(gè)頻率中最低頻率對(duì)應(yīng)徑向位移較大而軸向位移和周向位移都較小的振動(dòng)(i=1)，其他兩個(gè)頻率值要比其高一個(gè)數(shù)量級(jí)；中間頻率對(duì)應(yīng)軸向位移分量最大而其他兩個(gè)位移較小的運(yùn)動(dòng)(i=2)；最高頻率對(duì)應(yīng)周向位移最大而其他位移較小的運(yùn)動(dòng)(i=3)。ωimn為固有圓頻率[10]。

將此解代入動(dòng)力學(xué)方程得：

(4)

令系數(shù)行列式等于零可求解出固有頻率系數(shù)，再代入式(4)可求得方程組的通解為

C1mn、A2mn、B3mn未知。

3 響應(yīng)求解

設(shè)在殼體中面上一點(diǎn)(ξ,η)處有簡(jiǎn)諧力作用，其外載荷：qx=0為軸向外載荷，qθ=0為周向外載荷，qz=Poiδ(x-ξ)δ(y-η)ejωt為徑向外載荷，其中Poi為徑向外載荷幅值。令Poi=1，則式(1)的位移響應(yīng)解為

(5)

式中：ω為外載荷圓頻率；M、N為位移響應(yīng)疊加量，均為無窮大正整數(shù)。

將式(5)代入式(1)，整理得：

(6)

(7)

整理式(7)可得：

(8)

將式(8)兩邊分別乘以相應(yīng)陣型(9)，并對(duì)開口圓柱殼的中面進(jìn)行面積分，整理得式(10)。

(9)

(10)

求解方程組(10)即可得出響應(yīng)值系數(shù)Aimn、Bimn和Cimn。

4 計(jì)算實(shí)例與分析

7種開口圓柱殼的材料參數(shù)均為E=2.1×1011Pa，泊松比υ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m2；復(fù)阻尼系數(shù)γ分別取0.01、 0.05和0.20。開口圓柱殼的材料參數(shù)與尺寸參數(shù)如表1所示，其中，L/R為長(zhǎng)徑比，h/R為厚徑比，θ為開口角度。

表1 開口圓柱殼的材料參數(shù)與尺寸參數(shù)

由于m、n為偶數(shù)時(shí)其對(duì)共振響應(yīng)的貢獻(xiàn)很小，因此本文在算例中僅取對(duì)共振響應(yīng)貢獻(xiàn)較大的前10個(gè)模態(tài)進(jìn)行計(jì)算對(duì)比。表1中殼體Ⅰ在點(diǎn)(L/2,θ/2)處激勵(lì)頻率分別等于前10階模態(tài)頻率時(shí)，簡(jiǎn)諧激勵(lì)在點(diǎn)(L/2,θ/2)處復(fù)阻尼系數(shù)分別為0.01、 0.05和0.20情況下的共振響應(yīng)數(shù)據(jù)，以及級(jí)數(shù)解中包含不同模態(tài)階數(shù)的結(jié)果與外載荷激勵(lì)頻率等于零時(shí)(靜態(tài))的結(jié)果如表2所示。其中：A表示只考慮激勵(lì)頻率等于當(dāng)前m/n計(jì)算得到的固有頻率的響應(yīng)；B表示N=5、M=15時(shí)的響應(yīng)級(jí)數(shù)解，N、M均為位移響應(yīng)收斂解疊加的項(xiàng)數(shù)；C表示N=19、M=25時(shí)的響應(yīng)級(jí)數(shù)解，此時(shí)級(jí)數(shù)解已收斂，對(duì)比計(jì)算可知其相對(duì)誤差小于0.1%；D表示N=30、M=30時(shí)的響應(yīng)級(jí)數(shù)解。靜態(tài)響應(yīng)與復(fù)阻尼系數(shù)之間的關(guān)系很小，因此，非靜態(tài)共振響應(yīng)的峰值隨著復(fù)阻尼系數(shù)增加而減小。

表2 開口圓柱殼Ⅰ在點(diǎn)(L/2, θ/2)處的響應(yīng)

開口圓柱殼Ⅰ在點(diǎn)(L/2,θ/2)處外激勵(lì)頻率與m=19、n=1固有頻率相等時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)級(jí)數(shù)解與M、N之間的關(guān)系如圖2所示，其中，縱軸標(biāo)題|w(L/2,θ/2)ER/P|×10-3表示無量綱位移響應(yīng)幅值。

由圖2可知，隨著M、N的增加，響應(yīng)級(jí)數(shù)解值逐漸趨于平穩(wěn)收斂，并且M值對(duì)響應(yīng)級(jí)數(shù)解的影響較大，而N對(duì)響應(yīng)級(jí)數(shù)解的影響較小。通過計(jì)算可知，當(dāng)N=19、M=25時(shí)響應(yīng)級(jí)數(shù)解收斂。

開口圓柱殼Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ響應(yīng)值的變化特性與長(zhǎng)徑比之間的關(guān)系如圖3所示。由圖3可知：響應(yīng)值隨外載荷頻率的增加而減??；隨長(zhǎng)徑比的增加，共振點(diǎn)的峰值減小，相鄰固有頻率之間的間距減小，共振峰間距減小，而遠(yuǎn)離共振峰的響應(yīng)基本未發(fā)生變化，即長(zhǎng)徑比的大小對(duì)遠(yuǎn)離共振峰的響應(yīng)影響較小。

開口圓柱殼Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ響應(yīng)值的變化特性與厚徑比之間的關(guān)系如圖4所示。由圖4可知：隨著厚徑比的增大，遠(yuǎn)離共振點(diǎn)和共振點(diǎn)附近響應(yīng)值明顯減小；隨著厚徑比的變化，共振點(diǎn)的位置發(fā)生大幅度偏移，并且相鄰共振峰之間的間距隨著厚徑比的增大而增大。

開口圓柱殼Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ響應(yīng)值的變化特性與開口角度之間的關(guān)系如圖5所示。由圖5可知：隨著開口角度的增大，一階固有頻率減小，共振峰的峰值增大，相鄰共振峰之間的距離增加；開口角度對(duì)遠(yuǎn)離共振峰的響應(yīng)值也有一定的影響，但隨著開口角度的增大，其影響程度逐漸降低。

開口圓柱殼Ⅰ在3種不同復(fù)阻尼系數(shù)下，在點(diǎn)(L/8,θ/2)、(L/4,θ/2)和(L/2,θ/2)處施加集中簡(jiǎn)諧力的無量綱響應(yīng)與外載荷頻率系數(shù)的變化關(guān)系如圖6所示，其中，每幅圖的上橫軸標(biāo)記了對(duì)應(yīng)的固有頻率階數(shù)(m/n)的位置。

由圖6(a)可知：當(dāng)γ=0.01時(shí)，m/n=1/1的峰值小于3/1時(shí)的峰值；隨外激勵(lì)頻率的增加，響應(yīng)峰值出現(xiàn)波動(dòng)。這是由開口圓柱殼振動(dòng)過程中軸向不同位置的響應(yīng)變化規(guī)律不同所引起的。隨阻尼系數(shù)γ的增大，間距較小的兩個(gè)峰值間出現(xiàn)共振峰合并現(xiàn)象。當(dāng)γ=0.05時(shí)，m/n=1/1的共振峰被吸收，無明顯的峰值；γ=0.20時(shí)，除第1個(gè)共振峰被清晰地顯示出來外，其他的共振峰均明顯受到了抑制，并隨固有頻率的增大逐漸趨于平穩(wěn)。

由圖6(b)可知：當(dāng)γ=0.01和0.05時(shí)，隨外激勵(lì)頻率的增加，響應(yīng)峰值逐漸減??；隨著阻尼的增大，間距較小的兩個(gè)峰值間也出現(xiàn)了共振峰合并現(xiàn)象。當(dāng)γ=0.20時(shí)，所有共振峰均無明顯的峰值，且響應(yīng)隨著固有頻率的增大逐漸趨于平穩(wěn)。

由圖6(c)可知：當(dāng)γ=0.01和0.05時(shí)，隨外激勵(lì)頻率的增加，響應(yīng)峰值逐漸減?。浑S阻尼的增大，未出現(xiàn)共振峰合并現(xiàn)象。當(dāng)γ=0.20時(shí)，除m/n=1/1時(shí)共振峰明顯的峰值未被抑制外，其余均被抑制，且響應(yīng)隨固有頻率的增大逐漸趨于平穩(wěn)。

圖6表明，共振峰不僅與固有頻率有關(guān)，還與阻尼大小有關(guān)，且隨阻尼的增大，共振峰的峰值逐漸減小。當(dāng)距共振峰較遠(yuǎn)時(shí)，復(fù)阻尼系數(shù)γ=0.01和0.05的響應(yīng)曲線在非共振位置是無法區(qū)分開的，在這種情況下一般默認(rèn)選用γ=0.05對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線。

5 結(jié) 語

本文從圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，考慮復(fù)阻尼的影響，確定了在徑向簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，四邊簡(jiǎn)支開口圓柱殼在7種不同結(jié)構(gòu)參數(shù)和3種復(fù)阻尼系數(shù)的響應(yīng)，討論結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)、激振點(diǎn)與位移響應(yīng)的關(guān)系。主要結(jié)論總結(jié)如下：

(1) 開口圓柱殼的厚徑比、長(zhǎng)徑比和開口角度對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響較大，選擇合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于解決不同工程中的振動(dòng)問題而言是非常重要的；

(2) 開口圓柱殼的長(zhǎng)徑比、厚徑比、開口角度不僅對(duì)振動(dòng)響應(yīng)幅值有影響，也對(duì)振動(dòng)固有頻率有很大影響，因此在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)根據(jù)工況中載荷頻率的范圍來確定開口圓柱殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)；

(3) 于同一位置施加載荷的不同則位置的振動(dòng)響應(yīng)有所不同，在考慮去除最大共振對(duì)于開口圓柱殼的影響時(shí)，應(yīng)考慮殼體不同點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)；

(4) 隨復(fù)阻尼系數(shù)的增大，開口圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)幅值逐漸減小。