毛向德,羅 軍

1(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院,渭南 714025)

2(中國鐵路西安局集團(tuán)有限公司 寶雞供電段,寶雞 721015)

弓網(wǎng)系統(tǒng)之間接觸壓力的波動(dòng)直接影響著高速列車受流能力,接觸壓力過大將增大弓網(wǎng)的磨耗,過小將造成弓網(wǎng)之間的離網(wǎng)使機(jī)車斷電,壓力的波動(dòng)將增大弓網(wǎng)的離網(wǎng)率.為了提高高速列車的受流能力降低離網(wǎng)率,傳統(tǒng)的解決方法是提高接觸網(wǎng)的剛度增加接觸線的張力,但是此類方法成本過高不易實(shí)施,近幾年國內(nèi)外很多學(xué)者開始研究受電弓的主動(dòng)控制,利用先進(jìn)的控制算法使受電弓在適當(dāng)?shù)膲毫Ψ秶鷥?nèi)進(jìn)行自適應(yīng)控制,以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,改善高速列車的動(dòng)態(tài)受流能力[1].在受電弓的主動(dòng)控制中弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)要求有較高的魯棒性和動(dòng)態(tài)性能,因此采用線性二次型最優(yōu)控制(Linear Quadratic Regulator,LQR).在控制器的設(shè)計(jì)中只需要設(shè)定適合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的狀態(tài)變量和接觸壓力的加權(quán)矩陣,最終得出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制率,進(jìn)一步提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[2].但在LQR 設(shè)計(jì)過程中,權(quán)矩陣Q和R的計(jì)算往往是設(shè)計(jì)者根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)采用嘗試法來確定[2-4].

近幾年在LQR 的設(shè)計(jì)過程中提到了很多改進(jìn)策略,文獻(xiàn)[5]通過提高系統(tǒng)的可控范圍和動(dòng)態(tài)性能,結(jié)果過于局限,應(yīng)用于其他系統(tǒng)效果不理想,文獻(xiàn)[6]通過對(duì)Q和R進(jìn)行粒子群理論的優(yōu)化,導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)局部過小得不到全局最優(yōu)的目的.本文選擇一種高效的全局搜索算法即遺傳算法(Genetic Algorithm,GA),通過弓網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能設(shè)計(jì)合適的目標(biāo)函數(shù),得出全局優(yōu)化的權(quán)矩陣Q和R,進(jìn)一步算出適合系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制率K,通過Matlab/Simulink 仿真對(duì)數(shù)據(jù)分析得出該方法的正確性與有效性.

1 弓網(wǎng)耦合動(dòng)力學(xué)模型

弓網(wǎng)耦合動(dòng)力模型[7]是研究受電弓主動(dòng)控制的必要條件,由于弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)模型的構(gòu)建與計(jì)算很復(fù)雜,因此在研究受電弓主動(dòng)控制時(shí),接觸網(wǎng)模型的建立采用有限元法,受電弓模型的建立采用歸算質(zhì)量法[8].

1.1 接觸網(wǎng)模型

采用我國經(jīng)常使用的接觸網(wǎng)類型簡單鏈型懸掛方式,接觸網(wǎng)模型的建立關(guān)鍵在于其剛度的計(jì)算,由于隨著機(jī)車速度的變化兩根接觸網(wǎng)柱之間以及接觸網(wǎng)柱附近的接觸網(wǎng)剛度都在不斷地變化,因此為了簡化便于模型的建立,文獻(xiàn)[9]將接觸網(wǎng)作為變剛度彈性系統(tǒng),通過有限元方法計(jì)算出實(shí)際剛度曲線,利用最小二乘法對(duì)剛度曲線進(jìn)行擬合運(yùn)算,最終得到簡化后的接觸網(wǎng)剛度公式：

其中,k0為接觸網(wǎng)的平均剛度,單位為N·m-1,v為機(jī)車的運(yùn)行速度,單位為m/s,H為兩根接觸網(wǎng)柱之間的距離,即為跨距,單位為m,H1為接觸網(wǎng)中相鄰兩個(gè)吊弦之間的距離,單位為m,εi(i=1,2,3,4,5)接觸網(wǎng)的剛度系數(shù),由式(1)可知,在接觸網(wǎng)參數(shù)確定的條件下,接觸網(wǎng)剛度隨著機(jī)車運(yùn)行速度的變化而變化,因此根據(jù)文獻(xiàn)[9]接觸網(wǎng)參數(shù)的選取如表1所示.

表1 接觸網(wǎng)參數(shù)

通過Matlab/Simulink 軟件仿真分析,機(jī)車在不同運(yùn)行速度下接觸網(wǎng)的剛度變化曲線如圖1所示.仿真分析得知,在機(jī)車速度一定的條件下,接觸網(wǎng)的剛度數(shù)值在一個(gè)跨距的變化趨勢(shì)為由大到小再到大的過程,這是因?yàn)橐粋€(gè)跨距兩端由于支柱和限位器的作用使接觸網(wǎng)線處于繃緊狀態(tài),此時(shí)接觸網(wǎng)剛度值呈現(xiàn)較大的數(shù)值,隨著跨距的距離增大接觸網(wǎng)線由于其重力和側(cè)拉力的作用出現(xiàn)松動(dòng)現(xiàn)象,此時(shí)接觸網(wǎng)剛度值呈現(xiàn)降低趨勢(shì),在跨距中間點(diǎn)處接觸網(wǎng)剛度值達(dá)到最小,仿真結(jié)果符合實(shí)際情況.

圖1 接觸網(wǎng)剛度變化

隨著機(jī)車速度的提高,機(jī)車通過一個(gè)跨距的時(shí)間縮短,接觸網(wǎng)剛度值變化的周期也逐漸縮短,表2列出了機(jī)車在不同速度下接觸網(wǎng)剛度值的評(píng)價(jià)性能指標(biāo),其數(shù)值也各不相同,說明接觸網(wǎng)的剛度值與機(jī)車速度成非線性關(guān)系.

表2 不同速度剛度值評(píng)價(jià)性能指標(biāo)

1.2 弓網(wǎng)系統(tǒng)模型

對(duì)受電弓建立模型時(shí),由于其是一個(gè)系數(shù)可變的非線性系統(tǒng)[9,10],為了簡化模型的建立,通常采用歸算質(zhì)量法,也就是將受電弓作為線性處理,根據(jù)受電弓中重要的質(zhì)量模塊分為一元質(zhì)量模型、二元質(zhì)量模型、三元質(zhì)量模型,一般質(zhì)量模塊越多對(duì)受電弓模型的建立越精確,往往在線性模型建立的過程中取受電弓三個(gè)部位的質(zhì)量參數(shù),即三元質(zhì)量模型,如圖2所示.

圖2 受電弓三元質(zhì)量模型

根據(jù)受電弓的三元質(zhì)量模型及其受力分析得到弓網(wǎng)系統(tǒng)的微分方程：

根據(jù)質(zhì)量模型理論,m1,m2,m3分別為受電弓等效三元質(zhì)量模型中的弓頭質(zhì)量,上框架質(zhì)量,下框架質(zhì)量；ki(i=1,2),ci(i=1,2,3)分別表示弓頭與上框架以及下框架的等效剛度及其阻尼值；受電弓的靜抬升力為F,zr機(jī)車對(duì)受電弓的干擾與振動(dòng),在此可以模擬為噪聲信號(hào).接觸網(wǎng)的等效剛度值為k(t).弓網(wǎng)系統(tǒng)的微分方程是一個(gè)時(shí)變參激振動(dòng)系統(tǒng),為了便于分析與仿真,將其寫成狀態(tài)方程的形式,其狀態(tài)變量為：

則,狀態(tài)方程有：

其中,

根據(jù)弓網(wǎng)系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)方程,以DSA350 型受電弓為研究對(duì)象,其參數(shù)如表3所示,設(shè)定列車在不同速度下,以100 N 的靜態(tài)升力為參考數(shù)值,通過Matlab/Simulink 軟件仿真弓網(wǎng)系統(tǒng)中影響受電弓主動(dòng)控制的兩個(gè)重要?jiǎng)討B(tài)性能參數(shù),即弓頭位移和接觸壓力的變化.

表3 DSA350 型受電弓參數(shù)

圖3、圖4分別為列車在速度200 km/h 下受電弓弓頭的位移和接觸壓力的變化曲線仿真結(jié)果.通過仿真結(jié)果得出接觸壓力在100 N 的靜抬升力附近波動(dòng),其波動(dòng)范圍為(0,271),弓頭隨著接觸壓力的波動(dòng)而持續(xù)波動(dòng),其波動(dòng)范圍(0,0.108),對(duì)速度120 km/h、200 km/h、250 km/h 仿真結(jié)果,列出其接觸網(wǎng)壓力以及弓頭位移評(píng)價(jià)性能參數(shù),如表4、表5所示,以及相對(duì)應(yīng)的柱狀對(duì)比圖如圖5,圖6所示.由表4可知隨著速度的增大接觸壓力逐漸增大.由表5可知弓頭的移動(dòng)位移逐漸增大,當(dāng)達(dá)到250 km/h 時(shí)弓頭的波動(dòng)位移減小.

2 最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)

由圖3、圖4仿真結(jié)果可知,機(jī)車在運(yùn)行時(shí)隨著速度的不斷提高弓網(wǎng)之間接觸壓力與弓頭位移的波動(dòng)逐漸加大,導(dǎo)致弓網(wǎng)離線率升高,最終影響機(jī)車的正常運(yùn)行,為了減小波動(dòng)的幅值與頻率降低離網(wǎng)率,提高高速列車的受流能力,在受電弓主動(dòng)控制中引入最優(yōu)控制器利用系統(tǒng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型,采用線性二次型最優(yōu)控制理論(LQR)設(shè)計(jì)受電弓主動(dòng)控制器.

圖3 接觸網(wǎng)壓力的變化

圖4 弓頭位移的變化

表4 接觸網(wǎng)壓力評(píng)價(jià)性能參數(shù)

圖5 接觸壓力參數(shù)柱狀圖比較

表5 弓頭位移評(píng)價(jià)性能參數(shù)

圖6 弓頭位移參數(shù)柱狀圖比較

最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)[11]的目的就是系統(tǒng)利用恒定的靜抬升力來控制系統(tǒng)最終的狀態(tài)值,使系統(tǒng)最終的接觸壓力與弓頭位移的誤差和能量最小化.因此LQR 的設(shè)計(jì)應(yīng)首先確定性能指標(biāo),系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

一般情況下,控制的目標(biāo)是使系統(tǒng)性能指標(biāo)達(dá)到最小化,那么設(shè)定一個(gè)狀態(tài)反饋規(guī)律：

即弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)輸入最優(yōu)控制力為：

式中,P為Riccati 方程的解,即：

?PA?ATP+PBR?1BTP?Q=0

式中,Q,R分別為權(quán)矩陣；K為反饋矩陣.

根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論[12],結(jié)合弓網(wǎng)耦合動(dòng)力學(xué)模型,隨著列車速度的提高,相應(yīng)的受電弓各質(zhì)量部件運(yùn)動(dòng)速度也不斷提高.為了限制弓頭質(zhì)量模塊和框架質(zhì)量模塊的運(yùn)動(dòng)速度,應(yīng)當(dāng)在加權(quán)矩陣相應(yīng)的位置選取較大的數(shù)值來抑制其運(yùn)行的速度,而隨著列車運(yùn)行過程中由于線路等工況使弓頭和框架隨著接觸網(wǎng)高度的變化而變化,因此其位移的變化要具有一定的靈活性,在加權(quán)矩陣相應(yīng)的位置不需要設(shè)置加權(quán)數(shù)值,即不需要對(duì)其進(jìn)行抑制.

以DSA350 型受電弓參數(shù)為基礎(chǔ),根據(jù)LQR 結(jié)構(gòu)框圖如圖7所示,得出計(jì)算反饋矩陣K的步驟：

(1)選擇參數(shù)矩陣Q,R；

(2)求解Riccati 方程得到矩陣P；

K=R?1BTP

(3)計(jì)算；

依據(jù)以上求解過程及其LQR 結(jié)構(gòu)圖,通過Matlab/Simulink 軟件仿真得到受電弓在最優(yōu)主動(dòng)控制器作用下弓網(wǎng)系統(tǒng)接觸壓力與弓頭位移波動(dòng)變化曲線,如圖8,圖9所示,通過仿真波形的分析得出接觸壓力和弓頭位移的波動(dòng)程度得到降低.

圖7 LQR 結(jié)構(gòu)圖

圖8 基于LQR 接觸網(wǎng)壓力波動(dòng)曲線

圖9 基于LQR 弓頭位移波動(dòng)曲線

由表6可知,基于LQR 控制器的弓網(wǎng)系統(tǒng)與無主動(dòng)控制器的弓網(wǎng)系統(tǒng)相比接觸壓力最大值標(biāo)準(zhǔn)差值分別減小27.1%與19.75%,平均值增大9.9%,表明接觸壓力的波動(dòng)范圍減小,弓頭位移最大值、平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差分別減小25%,3.3%,40.5%,表明弓頭位移的波動(dòng)范圍也減小,說明LQR 控制器有效地抑制了接觸網(wǎng)壓力與弓頭位移的波動(dòng),穩(wěn)定性得到提高,由于在弓網(wǎng)模型中加入了噪聲的擾動(dòng),說明控制系統(tǒng)對(duì)噪聲有一定的魯棒性.

表6 與無主動(dòng)控制LQR 各參數(shù)對(duì)比

3 基于GA 對(duì)加權(quán)矩陣的優(yōu)化

根據(jù)LQR 控制器對(duì)受電弓的主動(dòng)控制仿真圖分析可知,接觸網(wǎng)壓力與弓頭位移的波動(dòng)幅度減小程度效果不明顯,主要是由于LQR 的求解過程中加權(quán)矩陣Q和R的計(jì)算是建立在經(jīng)驗(yàn)嘗試的基礎(chǔ)之上[13,14],使得結(jié)果呈現(xiàn)局部最優(yōu)解,因此為了達(dá)到更好抑制系統(tǒng)接觸力與弓頭位移波動(dòng),利用GA 理論的全局最優(yōu)搜索能力,來確定加權(quán)矩陣,最終提高控制器的效率與性能.由弓網(wǎng)耦合動(dòng)力學(xué)模型可知,該系統(tǒng)有6 個(gè)狀態(tài)變量,屬于多變量系統(tǒng),根據(jù)受電弓弓網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能參數(shù),選取R=10-6,Qii∈(0,1),通過上述對(duì)權(quán)矩陣的設(shè)置方法的敘述,規(guī)定權(quán)矩陣的形式如下：

在進(jìn)行GA-LQR 算法求解加權(quán)矩陣時(shí),需要引入約束處理?xiàng)l件[15],即加權(quán)系數(shù)適應(yīng)度函數(shù)值,由于受電弓主動(dòng)控制過程中,接觸力和弓頭位移是影響弓網(wǎng)系統(tǒng)的兩個(gè)主要因素,因此在設(shè)定適應(yīng)度函數(shù)值時(shí),只需要對(duì)接觸力和弓頭位移進(jìn)行條件約束,加權(quán)系數(shù)適應(yīng)度函數(shù)值：

其中,JY,GT分別代表了弓網(wǎng)之間的接觸力和弓頭位移的均方根,JYpas,GTpas為弓網(wǎng)系統(tǒng)相應(yīng)的性能.

基于GA 對(duì)加權(quán)矩陣Q的優(yōu)化步驟如圖10所示.

圖10 GA-LQR 程序結(jié)構(gòu)

依據(jù)以上求解過程及其GA-LQR 算法步驟結(jié)構(gòu)圖,通過Matlab/Simulink 軟件仿真得出Q值：

通過LQR 的運(yùn)算程序,計(jì)算得到K值：

從而得到受電弓在最優(yōu)主動(dòng)控制器作用下弓網(wǎng)系統(tǒng)接觸壓力與弓頭位移波動(dòng)變化曲線,如圖11,圖12所示,通過仿真波形的分析得出接觸壓力和弓頭位移的波動(dòng)范圍小于優(yōu)化之前的控制器,說明GA-LQR 控制算法的穩(wěn)定性在弓網(wǎng)系統(tǒng)中優(yōu)于LQR.

圖11 基于GA-LQR 接觸網(wǎng)壓力波動(dòng)曲線

通過表7得出對(duì)于基于GA-LQR 控制器的弓網(wǎng)系統(tǒng)與LQR 主動(dòng)控制器的弓網(wǎng)系統(tǒng)相比接觸壓力最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差值分別減小14.3%、8.83%、11.53%,弓頭位移最大值、平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差分別減小13.58%,7.31%,10%,表明基于GA-LQR 主動(dòng)控制器的弓網(wǎng)系統(tǒng)接觸壓力與弓頭位移的波動(dòng)范圍較LQR 主動(dòng)控制器均減小,說明GA-LQR 控制器克服了LQR 的缺點(diǎn),更加有效地提高了弓網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒性.

圖12 基于GA-LQR 弓頭位移波動(dòng)曲線

表7 與LQR 相比GA-LQR 各參數(shù)對(duì)比

3種模式下接觸網(wǎng)壓力與弓頭位移的波動(dòng)參數(shù)對(duì)比如表8所示,隨著主動(dòng)控制算法的引入與改進(jìn),弓網(wǎng)系統(tǒng)之間的接觸網(wǎng)壓力與弓頭位移的標(biāo)準(zhǔn)差減小,波動(dòng)程度受到了抑制,弓網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒性得到提高.

表8 接觸網(wǎng)壓力與弓頭位移的波動(dòng)參數(shù)對(duì)比

由表5(v2數(shù)據(jù))、表6、表7繪制3 種方法的對(duì)比效果圖如圖13、圖14所示.根據(jù)柱狀圖對(duì)比分析,可知將LQR 主動(dòng)控制器用于弓網(wǎng)系統(tǒng),減小了曲線的波動(dòng)范圍,有效地提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,GALQR 主動(dòng)控制器比LQR 主動(dòng)控制器更加有效地抑制了接觸壓力和弓頭位移的波動(dòng)范圍,說明GA-LQR 比LQR 主動(dòng)控制器的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性更好.

圖13 200 km/h 時(shí)基于3 種方法的接觸壓力對(duì)比

4 結(jié)論

本文以受電弓為控制研究對(duì)象,利用三元質(zhì)量模型建立弓網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,設(shè)計(jì)基于GA 算法優(yōu)化的LQR 主動(dòng)控制器,通過仿真數(shù)據(jù)對(duì)比分析,經(jīng)過優(yōu)化的LQR 主動(dòng)控制器能夠很大程度地降低弓網(wǎng)系統(tǒng)中接觸壓力和弓頭位移的波動(dòng),提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性,極大程度地降低了弓網(wǎng)的離線率,提高了高速列車的受流質(zhì)量.