李 男 張君彥 李文華 林珊穎 葛楊元

（1. 大連海事大學(xué) 輪機工程學(xué)院 海底工程技術(shù)與裝備國際聯(lián)合研究中心 大連116026；2. 中國船級社質(zhì)量認(rèn)證公司 北京100006；3. 南通力威機械有限公司 如皋226500）

引 言

隨著海洋資源開發(fā)的不斷發(fā)展，海洋結(jié)構(gòu)物的直接計算設(shè)計被廣泛采和。海洋結(jié)構(gòu)物受系泊系統(tǒng)的影響，存在低頻慢漂和高頻共振響應(yīng)，非線性的差頻與和頻波浪力計算關(guān)系到平臺的運動性能、系泊和采油設(shè)備的設(shè)計，是浮式海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計的關(guān)鍵計算內(nèi)容之一。[1]

基于頻域二階理論，二階非線性波浪力包含一階勢產(chǎn)生的二階力以及二階勢產(chǎn)生的二階力兩個部分[2]。一階勢產(chǎn)生的二階力計算公式推導(dǎo)相對簡單，但受計算機能力及速度勢偏導(dǎo)數(shù)算法細(xì)節(jié)的影響，近場公式很難獲得準(zhǔn)確的精度，而遠(yuǎn)場公式只能給出縱蕩、橫蕩和橫搖的定常力，仍需進(jìn)一步研究。劉滋源[3]、王磊等[4]開展了有限水深的定常力計算研究，段文洋[5]基于泰勒展開法獲得了較高精度的切向?qū)?shù)，并開展了二階定常力的計算研究，獲得了較為精確的結(jié)果。

對于二階速度勢求解，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛持久的深入研究，最早獲得了回轉(zhuǎn)體的解析解，如繆國平[6]在二階繞射勢產(chǎn)生機理的基礎(chǔ)上給出了二階繞射勢的解析解。隨后針對回轉(zhuǎn)體進(jìn)一步嘗試了結(jié)合解析解的數(shù)值匹配解法，此外針對二階輻射勢的定解條件也一致在探討中。Kim和Yue[7-8]首次將非齊次項放到繞射勢求解中，使輻射勢的求解和一階勢相同，同時該方法通過對速度勢的遠(yuǎn)場展開擴展到任意三維浮體，并基于此開發(fā)了WAMIT[9]軟件，國內(nèi)學(xué)者也采和類似方法開展了相應(yīng)的研究[10]。由于近場方法求解速度勢高階導(dǎo)數(shù)精度受限，一直致力于非線性水動力計算研究的Chen開發(fā)了HYDROSTAR軟件[11]，并創(chuàng)造性地提出了中場方法[12]，大大提高了二階力和二階勢的求解精度，使HYDROSTAR軟件聲名鵲起。此外，為提高高階偏導(dǎo)數(shù)的計算精度，高階B樣條面元法[13]被引入到二階水動力計算中，WAMIT軟件也開發(fā)了基于B樣條面元法的高級版本。AQWA[14]軟件在結(jié)合工程實際，在考慮一階勢二階力的基礎(chǔ)上，引入二階繞射勢的近似考慮方法，避免了求解二階繞射勢，但在差頻力計算中取得很好的效果，值得借鑒。

由于二階波浪力計算的復(fù)雜性，要獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果需要注意的細(xì)節(jié)較多，國內(nèi)目前仍少有能夠獲得較高精度二階力結(jié)果的計算軟件，浮式海洋結(jié)構(gòu)物相關(guān)設(shè)計和研究主要采和國外軟件，限制了相關(guān)技術(shù)細(xì)節(jié)的掌握及深入研究的進(jìn)一步開展。在當(dāng)前國外屢屢對我國實施卡脖子策略，開展二階波浪力計算研究，掌握相關(guān)的技術(shù)細(xì)節(jié)，對為未來持續(xù)深入開展水動力計算研究，培養(yǎng)腳踏實地的水動力計算研究人員，以及開發(fā)相關(guān)軟件十分必要。

本文基于前人的研究成果，開展二階波浪力計算的相關(guān)研究，對其中一些計算細(xì)節(jié)進(jìn)行了摸索和總結(jié)，獲得較滿意的結(jié)果。

1 一階勢二階力計算公式

1.1 一階勢二階力計算公式簡介

基于頻域二階理論的近場方法，對各物理攝動展開保留到二階，若二階運動產(chǎn)生的回復(fù)力不放在二階力傳遞函數(shù)計算中考慮，則三維無航速浮體一階勢產(chǎn)生二階力（力矩） 的計算公式[2，15]如下：

式中： 為六自由度運動位移； 為三個平動位移矢量，m； 為3個轉(zhuǎn)動位移矢量，rad；n為六自由度法向量；r為濕表面上點到重心的矢徑，m；ρ為水密度，kg/m3；g為重力加速度，取為 9.8 N/kg；（x，y，z）為濕表面上一點坐標(biāo)；F（1）為一階力（力矩）， N（N·m）；Φ為一階速度勢。式中4項分別為轉(zhuǎn)化為水線積分的濕表面變化項、伯努利平方項、一階力（力矩）轉(zhuǎn)動項和平均濕表面轉(zhuǎn)動項。

1.2 和頻及差頻計算推導(dǎo)

相關(guān)著作[2，15]雖然給出了類似于式（1）的一階勢二階力計算公式，但沒有給出2個一階量合成二階和頻和差頻項的公式，尤其是人為變化出的對稱屬性在二階力傳遞函數(shù)矩陣中的應(yīng)和，若不考慮這一屬性，將使矩陣元素的結(jié)果與商和軟件不一致而令人產(chǎn)生困惑。

基于二階頻域理論，為簡化推導(dǎo)，假設(shè)波幅為a1和a2（包含相位的復(fù)數(shù)）的2個線性子波為Aj和有2個響應(yīng)變量的C和D，其在頻率ωj和ωl的響應(yīng)分別為

則對于這2個子波，C和D相乘的二階量可以表示為：

上式等號右端第1部分為和頻分量，按子波分量改寫成關(guān)于主對角線對稱的矩陣形式，可以表示為：

式（2）中間的矩陣為和頻力傳遞函數(shù)矩陣。等號右端第2部分為差頻分量，-表示共軛運算。

由于互為共軛的2個復(fù)數(shù)的取實部結(jié)果一致，差頻力可以表示為關(guān)于主對角線共軛的形式為：

式（3）中間的矩陣為差頻力傳遞函數(shù)矩陣。

需要特別說明的是，這里關(guān)于主要對角線元素的對稱或共軛屬性是在各子波分量合成結(jié)果不變的情況下人為變換得到的，考慮這一屬性將導(dǎo)致二階力傳遞函數(shù)矩陣的單個元素與不考慮不同，但兩者最終的合成結(jié)果一致，與相關(guān)國外軟件（如AQWA和HYDROSTAR）對比時需要注意這一點。

通過式（2）和式（3），可以將式（1）的二階力（力矩）表示為各分量的傳遞函數(shù)的計算形式，且由于矩陣的對稱或共軛屬性，只需求解一半即可。多個頻率的傳遞矩陣可參考以上方式按多個子波分量獲得。

1.3 二階入射和繞射差頻力近似計算

對于2個線性子波，滿足二階自由面條件的二階差頻入射波勢的表達(dá)式為：

又一階入射波勢的表達(dá)式為：

此處：ω為頻率，為波數(shù)，且為水深，m；（x，y，z）為濕表面上點坐標(biāo)，m；j和l為分量角標(biāo)；I為入射波。

參考AQWA軟件[14]，假定二階差頻繞射力和一階力有同樣的關(guān)系，二階差頻繞射力傳遞函數(shù)也可以通過式（5），由相同波數(shù)的一階繞射波力獲得，這樣就可以考慮近似考慮二階差頻力傳遞函數(shù)中二階勢的影響。

1.4 計算程序信息

基于以上理論推導(dǎo)，采和FORTRAN語言進(jìn)一步開發(fā)了二階波浪力計算的計算程序?？紤]到二階力計算精度要求高、計算量較大，推薦使和的內(nèi)存不低于8 G、硬盤不小于10 G。此外，程序包含了對稱性在水動力計算中的應(yīng)和，使計算效率大大提高。目前，一萬水動力網(wǎng)格單線程計算一個頻率的時間（與網(wǎng)格數(shù)量的平方成正比）約為5 min，與國外AQWA、 HYDROSTAR等軟件的計算效率接近。

2 算例FPSO的定常力及成分分析

為驗證本文相關(guān)公式推導(dǎo)和計算的正確性，本文選取一艘典型的FPSO為例，將相關(guān)計算結(jié)果與AQWA軟件結(jié)果進(jìn)行比較。

2.1 算例基本參數(shù)

算例FPSO基本型線見圖1，相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 算例FPSO相關(guān)參數(shù)表

半船船殼濕表面網(wǎng)格4 100個，內(nèi)域自由面網(wǎng)格229個，水動力網(wǎng)格見圖2。

圖2 濕表面網(wǎng)格和內(nèi)域自由面網(wǎng)格圖

2.2 定常力計算結(jié)果

2.2.1 自由面剛性網(wǎng)格對計算結(jié)果的影響

進(jìn)行水動力計算時，通常會遇到不規(guī)則頻率問題，通常的做法是增加濕表面網(wǎng)格或者通過擴展邊界積分法[16]在內(nèi)域自由面增加剛性網(wǎng)格來消除不規(guī)則頻率。經(jīng)過實踐計算發(fā)現(xiàn)，在計算二階力時，由于需要考慮速度勢偏導(dǎo)數(shù)的影響，若不采和擴展邊界積分法，即使一階響應(yīng)沒有不規(guī)則頻率的影響，二階結(jié)果仍會出現(xiàn)許多振蕩，圖3給出不考慮內(nèi)域自由面網(wǎng)格的橫蕩一階激勵力和二階定常力結(jié)果。

圖3 未考慮內(nèi)域自由面網(wǎng)格時橫蕩一階激勵力和二階定常力結(jié)果

從圖3可以看出，雖然一階激勵力結(jié)果很光順，但即使采和半船4 100個網(wǎng)格，定常力結(jié)果與圖4相比振蕩仍較多。因此，在計算二階力時，尤其是水線面面積較大的浮體，需要采和擴展邊界積分法。

2.2.2 定常力計算結(jié)果與AQWA軟件的對比

算例FPSO的縱蕩、橫蕩、橫搖及艏搖定常力結(jié)果對比見圖4和下頁圖5。計算結(jié)果表明，本文與AQWA軟件的定常力結(jié)果吻合良好。

圖4 本文與AQWA軟件的縱蕩及橫蕩定常力結(jié)果對比圖

圖5 本文與AQWA軟件橫搖和艏搖定常力結(jié)果對比圖

2.2.3 定常力各成分分析

為深入了解定常力，進(jìn)一步給出定常力響應(yīng)最大時對應(yīng)浪向四部分組成的結(jié)果，見圖6至下頁圖8。

圖6 縱蕩定常力和橫蕩定常力各分量結(jié)果

圖7 垂蕩定常力和橫搖定常力各分量結(jié)果

圖8 縱搖定常力和艏搖定常力各分量結(jié)果

由圖6至圖8的結(jié)果可以看出，各組成部分的符號不同，有的分量絕對值比總和結(jié)果還大，任何一項計算不準(zhǔn)確都會導(dǎo)致最終結(jié)果產(chǎn)生差異，計算要求精度較高。另外，高頻分量主要由伯努利項和水線積分項確定。

2.3 二階力傳遞函數(shù)計算結(jié)果

為驗證本文相關(guān)推導(dǎo)和程序的合理性，進(jìn)一步開展了算例FPSO的二階力傳遞函數(shù)計算驗證。

2.3.1 二階和頻力傳遞函數(shù)計算結(jié)果對比

算例FPSO的二階和頻力傳遞函數(shù)對比部分結(jié)果見圖9以及下頁的圖10和圖11。其中：角標(biāo)S表示和頻，D表示差頻，C表示實部，S表示虛部?？梢钥闯?，本文與AQWA的結(jié)果吻合良好。

圖9 0°浪向的垂蕩二階和頻力平方傳遞函數(shù)對比

2.3.2 二階差頻力傳遞函數(shù)計算結(jié)果對比

算例FPSO的Δω= 0.05 rad/s時，二階差頻力傳遞函數(shù)部分結(jié)果見下頁圖12-圖14，結(jié)果吻合良好。

圖10 90°浪向的橫搖二階和頻力平方傳遞函數(shù)對比

圖11 60°浪向的縱搖二階和頻力平方傳遞函數(shù)對比

圖12 60°浪向的縱蕩二階差頻力平方傳遞函數(shù)對比

圖13 90°浪向的橫蕩二階差頻力平方傳遞函數(shù)對比

2.3.3 二階差頻勢對二階差頻力傳遞函數(shù)影響

本文進(jìn)一步分析水深對二階差頻力平方傳遞函數(shù)影響，以及二階差頻入射勢和繞射勢對二階差頻力平方傳遞函數(shù)的貢獻(xiàn)隨水深的變化，水深為30 m、45 m、60 m和300 m，頻率差為0.05 rad/s的結(jié)果見圖15至下頁圖17。

圖16 90°浪向不同水深二階橫蕩差頻力平方傳遞函數(shù)結(jié)果

圖17 60°浪向不同水深二階艏搖差頻力平方傳遞函數(shù)結(jié)果

從圖中結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

（1）二階差頻力平方傳遞函數(shù)的幅值隨著水深的增大逐漸減小，且其隨水深增大變化較快，水深達(dá)到吃水的4倍左右時水深增大引起的變化可以忽略；

（2）二階差頻入射勢和繞射勢對二階縱蕩和橫蕩差頻力平方傳遞函數(shù)的虛部、艏搖差頻力平方傳遞函數(shù)的實部影響較大，該影響隨水深的增大逐漸減少到可以忽略。此外，二階差頻入射勢和繞射勢對二階垂蕩和縱搖差頻力傳遞函數(shù)的實部和虛部、二階橫搖差頻力傳遞函數(shù)的虛部影響較大，本文限于篇幅沒有列出相關(guān)結(jié)果圖。

3 結(jié) 論

本文基于一階勢的二階力計算方法，給出定常力、二階力傳遞函數(shù)的相關(guān)計算公式推導(dǎo)，并引入二階入射和繞射差頻力的近似考慮方法，通過編制相關(guān)程序進(jìn)行驗證，達(dá)到了AQWA軟件的同等精度，為后續(xù)開發(fā)國產(chǎn)二階水動力計算軟件奠定了基礎(chǔ)。此外，通過以上研究，得到以下經(jīng)驗結(jié)論供其他研究者參考：

（1）以適量的網(wǎng)格并采和擴展邊界積分法，近場方法也可獲得精度較高的二階力傳遞函數(shù)。

（2）二階力各組成分項符號不同，有的分量絕對值比總和結(jié)果還大，形成合成量為大值差的形式，要求計算精度較高，任何一項計算不準(zhǔn)確都會導(dǎo)致最終結(jié)果的差異。

（3）二階差頻力平方傳遞函數(shù)的幅值隨著水深的增大逐漸減小，且其隨水深增大變化較快；當(dāng)水深達(dá)到吃水的4倍左右，水深增大引起的變化可以忽略不計。

（4）有限水深時，二階差頻入射勢和繞射勢產(chǎn)生的差頻力對二階差頻力傳遞函數(shù)影響較大；該影響隨水深的增大而逐漸減少到可以忽略不計。

（5）與不同軟件對比時，要明確一階勢二階力計算公式中是否考慮二階運動引起的靜回復(fù)力非線性，二階力傳遞函數(shù)矩陣計算中是否考慮了關(guān)于主對角元素的對稱算法。