范青竹， 張成毅， 羅雙華

（1.西安工程大學理學院，西安 710048； 2.西安交通大學經(jīng)濟與金融學院，西安 710049）

在金融市場中，指數(shù)型基金的管理變得日益重要. 為了更加有效地研究投資組合問題，許多學者越來越關(guān)注指數(shù)追蹤［1］和超越指數(shù)追蹤［2］. 相比較指數(shù)追蹤，超越指數(shù)追蹤能夠在保證追蹤組合的收益率與標的指數(shù)收益率盡量一致的條件下給投資者帶來超額收益，即戰(zhàn)勝市場.

對于超越指數(shù)追蹤模型的建立和求解，國內(nèi)外許多學者已經(jīng)做了很多有意義的工作. Dose等［3］建立并求解追蹤誤差與超額收益的加權(quán)超越指數(shù)模型；Beasley等［4-5］建立一個混合整數(shù)規(guī)劃的超越指數(shù)模型，對模型采用兩階段逼近和三階段逼近求解模型；Lejeune等［6］和Guastaroba等［7］分別建立了一個凸二次錐規(guī)劃的超越指數(shù)模型和混合整數(shù)規(guī)劃的超越指數(shù)模型；胡春萍等［8］建立了時間加權(quán)SVM的指數(shù)優(yōu)化復(fù)制模型，并利用OR-Library 中的5 個市場指數(shù)歷史數(shù)據(jù)進行實證檢驗；在利用元啟發(fā)智能算法求解模型方面，差分進化算法、免疫算法、混合遺傳算法給出了很好的求解思路［9-11］；馬景義等［12］構(gòu)建了一個可以調(diào)節(jié)追蹤誤差和超額收益的超越指數(shù)模型，并給出了廣義最小角度回歸算法；趙志華等［13］提出了交替二次罰算法的稀疏超越指數(shù)追蹤模型，該模型用二次罰算法（AQP）求解.

由上可知，超越指數(shù)追蹤已經(jīng)取得了長足的進步，這主要得益于稀疏優(yōu)化［14-16］的發(fā)展. 目前對超越指數(shù)追蹤問題的研究大多是基于均值回歸的最小二乘模型，但由于風險資產(chǎn)收益數(shù)據(jù)的非對稱性和尖峰厚尾的非正態(tài)分布特征，使得超越指數(shù)追蹤的投資組合穩(wěn)定性較差. 為了解決這一問題，引入分位數(shù)回歸模型，分位數(shù)回歸由Koenker和Basset［17］提出，基于分位數(shù)回歸模型的靈活性及能夠?qū)憫?yīng)變量的條件分布作出全面描述而且不會受到異常值的影響，因此更加穩(wěn)健也更加有效［18-20］. 利用分位數(shù)回歸模型研究超越指數(shù)追蹤問題具有重要的理論意義和應(yīng)用價值.

1 稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型

1.1 超越指數(shù)追蹤

超越指數(shù)追蹤是在金融市場的N 個資產(chǎn)中選取其中的r 個構(gòu)建成一個投資組合，超越指數(shù)的目標函數(shù)是最小化跟蹤誤差（TE）和最大化超額回報（ER），表示為

其中：R ∈?M×N和I ∈?M分別是N 個資產(chǎn)的收益率矩陣和每一個周期所有資產(chǎn)的收益率組成的向量；ω ∈?N是投資組合的權(quán)重向量；T 是選取總資產(chǎn)的期數(shù)；e 是一個全一向量；eT是e 的轉(zhuǎn)置. 因此，超越指數(shù)始終是TE 和ER 之間的權(quán)衡. 通過權(quán)衡參數(shù)給出混合單目標函數(shù)

其中：a 是追蹤組合與指數(shù)之間收益率差異的懲罰參數(shù)，a ∈( 0,1) .

1.2 分位數(shù)回歸模型

設(shè)定Xn×m=( x1,…,xm)是包含解釋變量的設(shè)計矩陣，我們要研究的線性模型是

其中：I 每一個周期所有資產(chǎn)的收益率所得到的中位數(shù)組成的向量；β 是回歸系數(shù)向量；ε 是隨機誤差項.

分位數(shù)回歸主要是最小化目標函數(shù)

其中：

對于任意的實數(shù)s 都成立，其中q 是分位數(shù)，q ∈( 0,1) .

考慮模型（1）式構(gòu)造分位數(shù)回歸的超越指數(shù)追蹤模型

其中

1.3 稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型

稀疏優(yōu)化模型能夠用盡可能少的股票獲得盡可能高的超額收益. 用L1/2正則化模型構(gòu)造分位數(shù)回歸的超越指數(shù)追蹤模型是因為L1/2正則化能夠產(chǎn)生更稀疏的解，在同等效果下能減少交易費用和交易成本.

因此建立一個稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型，模型如下：

其中：λ 是正則化系數(shù)，λ ＞0.

2 HSS-Half閾值算法

利用凸優(yōu)化中拉格朗日方法求解模型（2）為以下目標函數(shù)

對于上式，分別對u，β 求導(dǎo)可得

其中：u 是拉格朗日乘子；β 是回歸系數(shù)向量；a 是懲罰參數(shù)；ρq是損失函數(shù)；R 是收益率矩陣；I 是每一個周期所有資產(chǎn)的收益率所得到的中位數(shù)組成的向量；e 是一個全一向量；λ 是正則化系數(shù)；r 表示股票收益率向量.

函數(shù)ρq的次微分為

把u，β 求導(dǎo)后寫成矩陣的形式：

其中：

令

不改變A 的大小作如下變換得

所以（4）式可表示為

可推出：

由上述等式可構(gòu)造HSS迭代格式如下：

其中：k 是迭代次數(shù). 對于迭代（6）式

令

則有

定義變量

對（9）式做變換有以下迭代格式

因此有以下迭代格式

其中：

是Half閾值算子，

被稱為Half閾值函數(shù)，

所以，HSS-Half算法的迭代（6）式為

和

這樣就簡化了HSS-Half算法中（6）式的迭代格式，并得到新的等價迭代格式

3 實證分析

在本節(jié)選擇與文獻［13］中的稀疏超越指數(shù)追蹤模型進行對比，把稀疏超越指數(shù)追蹤模型記為模型A，把稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型記為模型B. 不比較兩種算法的快慢，只比較模型的優(yōu)越性和樣本內(nèi)外的一致性.

實證分析的數(shù)據(jù)包括金融數(shù)據(jù)庫OR-Library 中的恒生指數(shù)（香港），DAX 100 指數(shù)（德國），F(xiàn)TSE 100 指數(shù)（英國），S&P 100 指數(shù)（美國）1992—1997 年的290 個周收盤價構(gòu)成數(shù)據(jù)集. 對于相應(yīng)的指數(shù)和股票的290 周每周收益率，將前145周作為訓練數(shù)據(jù)集也就是樣本內(nèi)數(shù)據(jù)集，后145周作為測試數(shù)據(jù)集也就是樣本外數(shù)據(jù)集. 對稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型進實證分析. 具體計算中，投資規(guī)模r 分別取5，10，15，20，25五種情況，懲罰參數(shù)a=0.8，分位數(shù)q=0.4，將兩種模型在樣本內(nèi)外的一致性和優(yōu)越性上進行比較.

為了度量樣本內(nèi)外性質(zhì)和樣本內(nèi)外的一致性，引入以下兩個標準.

1）一致性. 定義A 產(chǎn)生的投資組合的樣本內(nèi)和樣本外追蹤誤差的一致性為

其中：TEIA和TEOA分別為模型A 的投資組合的樣本內(nèi)和樣本外的追蹤誤差. Cons( A) 的值越小，說明模型A 產(chǎn)生的投資組合樣本內(nèi)和樣本外追蹤誤差的一致性越好.

2）樣本外優(yōu)越性. 我們定義

其中：TEOA和TEOB分別是模型A 和模型B 對組合的樣本外追蹤誤差. 如果SupO( A,B )＜0，則TEOB小于TEOA，即模型B 的投資組合在樣本外追蹤誤差方面優(yōu)于模型A .

表1、2、3中N 是數(shù)據(jù)集中資產(chǎn)數(shù)目，ERI，ERO 分別表示樣本內(nèi)超額收益和樣本外超額收益.

表1 兩個模型在樣本內(nèi)外誤差的對比Tab.1 Comparison of in-sample and out-of-sample errors between the two models

表2 兩個模型在樣本內(nèi)外收益的對比Tab.2 Comparison of in-sample and out-of-sample returns between the two models

表3 兩個模型在樣本內(nèi)外的一致性和優(yōu)越性的對比Tab.3 Comparison of consistency and superiority of the two models with in-sample and out-of-sample

表1是兩個模型分別在樣本外和樣本內(nèi)的追蹤誤差，可以看出模型B 比模型A 在樣本內(nèi)和樣本外的誤差更小. 表2是兩個模型分別在樣本外和樣本內(nèi)的超額收益，可以看出模型B 比模型A 在樣本內(nèi)和樣本外的超額收益更大. 從表3可以看出：①模型B 在樣本內(nèi)外誤差之間的一致性比模型A 更好，因為90%（18/20）實例的Cons( B )＜Cons( A) ；②模型B 的投資組合在樣本外追蹤誤差方面優(yōu)于模型A，因為85%（17/20）實例的SupO( A,B )＜0，這證明了模型B 在測試集上的表現(xiàn)更好.

綜上所述，稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型與稀疏超越指數(shù)追蹤模型相比，不僅誤差風險更小，并且能夠獲得更好的超額收益.

4 結(jié)語

在超越指數(shù)追蹤模型的基礎(chǔ)上進行優(yōu)化擴展，通過引入分位數(shù)回歸模型和L1/2正則化理論建立了稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型，其求解算法HSS-Half閾值算法具有良好求解能力. 稀疏超越指數(shù)追蹤的分位數(shù)回歸模型具有較好的穩(wěn)健性和適應(yīng)未來風險的能力.