孫博

【摘要】教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過引入數(shù)學(xué)發(fā)展史中一些數(shù)學(xué)家的典故，巧妙地將故事中比較抽象的問題簡化為書面的筆畫（類似幾何）問題，更能激發(fā)學(xué)生在課堂中的學(xué)習(xí)興趣，通過簡化問題，由淺入深，更能使學(xué)生容易理解數(shù)學(xué)中的抽象概念，在教學(xué)中能起到一定的積極作用.

【關(guān)鍵詞】HPM;小初數(shù)學(xué)銜接;圖形初論

一、引 言

HPM（History & Pedagogy of Mathematics）在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用日益凸顯，它對了解數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，掌握知識的來龍去脈，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣方面起著至關(guān)重要的作用.數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的應(yīng)用對學(xué)生的人格成長有啟發(fā)作用.當(dāng)然，僅靠一個數(shù)學(xué)故事或者一本數(shù)學(xué)家傳記就造就一位數(shù)學(xué)家，那是不現(xiàn)實的.但數(shù)學(xué)家的奮斗經(jīng)歷對學(xué)生人格成長的正面啟發(fā)作用是不可否認(rèn)的.充分運用數(shù)學(xué)史的教育功能，會從側(cè)面對學(xué)生的人格的培養(yǎng)產(chǎn)生重要的影響.

數(shù)學(xué)的公式、定理絕不是天外來客，其有誕生背景，有曲折的發(fā)展和完善的過程.教科書中抽象的文字，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能完全展現(xiàn)并讓學(xué)生感知它背后的豐富內(nèi)涵.那么在教學(xué)過程中，教師如何引導(dǎo)學(xué)生理解它們的產(chǎn)生和發(fā)展過程，如何讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)遇到過的困惑，又如何通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生正確看待自己，避免因為遭遇困難而喪失信心.本文就以一節(jié)小初數(shù)學(xué)銜接課“一筆畫”為例，展示利用HPM如何巧妙引入新知識并由淺入深地使學(xué)生理解，而并不是強加給學(xué)生，從而凸顯其必要性，進而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)意愿.

二、史料選擇

看過《圖論趣談——七橋問題和周游世界問題》一文的人，一定會被世界級數(shù)學(xué)大師歐拉的聰明才智和卓越的貢獻所折服.其實，歐拉的貢獻遠(yuǎn)不只如此.他對數(shù)學(xué)的研究非常廣泛，在許多數(shù)學(xué)的分支中都能見到他的名字，并且，他還把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理領(lǐng)域.值得一提的是，歐拉雖然主要從事數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作，但是他對數(shù)學(xué)教育方面的影響深遠(yuǎn)，以下幾點，值得教師借鑒：

首先，身體力行，編寫普及教材和通俗讀物，發(fā)表關(guān)于數(shù)學(xué)游戲的文章，激發(fā)讀者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

其次，注重對數(shù)學(xué)概念的理解和對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)，更注重數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用.他的文章把高深的知識深入淺出地表現(xiàn)出來，嚴(yán)密又利于理解.

再次，大力推行數(shù)學(xué)符號和規(guī)則化學(xué)習(xí).如用R和r分別表示外接圓和內(nèi)切圓半徑;用a，b，c表示三角形三邊等.

最后，積極創(chuàng)造條件扶植后學(xué)，關(guān)心青年數(shù)學(xué)家的教育和成長.如，拉格朗日與歐拉通信討論“等周問題”的一般解法，歐拉盛贊他的成就，并壓下自己同一問題的論文，使拉格朗日一舉成名.

三、教學(xué)過程

（一）一筆畫的認(rèn)識——歐拉與哥尼斯堡七橋問題

1.引出歐拉

你都知道哪些數(shù)學(xué)家？說出他的名字，想好了，站起來就可以說.

（學(xué)生在課前已經(jīng)查找資料，能逐一說出數(shù)學(xué)家的名字）

如果有學(xué)生提到歐拉，教師可以請這名學(xué)生介紹，如果沒有學(xué)生提到，教師就向大家介紹（PPT出示歐拉圖片及其生平簡介）.

2.教師根據(jù)實際情況提出格尼斯堡七橋問題

18世紀(jì)的德國有個城市叫格尼斯堡（現(xiàn)俄羅斯加里寧格勒）.城里有七座橋連接大河兩岸以及河心的兩個小島.一個有趣的問題是一個人一次能既不重復(fù)又不遺漏地經(jīng)過這七座橋并回到出發(fā)點.這個問題看似不難，而且很有趣，一時間成千上萬的市民和游客都想嘗試解決這一問題.可是一段時間過后，大家似乎都找不到正確的答案，甚至有些人想用最直接的方法，即走走看能不能成功，最后都陷入了混沌.消息傳到大數(shù)學(xué)家歐拉的耳朵里，引起了他的思考.他把問題抽象成一筆畫問題，運用數(shù)學(xué)方法進行證明這是一個不能實現(xiàn)的問題.歐拉由此創(chuàng)建了一個新的幾何學(xué)分支——位置幾何學(xué).

補充：這個問題在五百多年前就被提出來了，可是兩百多年過去后，仍然沒有被解決.于是，有人猜想是不是存在這樣一條路.在大數(shù)學(xué)家歐拉知道后，他僅僅用2天時間就在當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)學(xué)報上發(fā)表了一篇論文，把七橋問題與兒童常見的一筆畫問題聯(lián)系起來.歐拉的偉大之處就在于他把陸地看成點，把橋看成是連接兩點的線.因此，七橋問題就轉(zhuǎn)變成這幅畫是否能一筆畫成的問題.

1736年歐拉解決了這個問題，從而也開辟了數(shù)學(xué)上的一個分支，就是剛才提到的“位置幾何學(xué)”，今天叫作“圖論”（板書：圖論）.“圖論”，顧名思義，跟圖有密切的關(guān)系.今天，我們就沿著歐拉的足跡來了解有關(guān)圖論方面的知識.

（屏幕出示課題：沿著歐拉的足跡——圖論初探）

剛才，同學(xué)們提到了“一筆畫”，歐拉利用“一筆畫”很好地解決了七橋問題.那么，同學(xué)們對一筆畫都了解哪些？

[請學(xué)生談對“一筆畫”的了解.教師在學(xué)生的發(fā)言中，重點提煉以下問題：什么是“一筆畫”;什么樣的圖形能一筆畫成？（對于任意兩個頂點都至少有一條線連接或聯(lián)通的圖形.只有奇點的個數(shù)為0或者2時，才可以一筆畫成，否則不可以）什么叫奇點、偶點？連通圖中奇點能是奇數(shù)嗎？]教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言板書：一筆畫辨別方法：奇點的個數(shù)是0或者2;奇點個數(shù)為偶數(shù).

（二）一筆畫的研究——合作中尋找一筆畫的規(guī)律

（教師布置小組合作學(xué)習(xí)的內(nèi)容）

教師準(zhǔn)備幾幅圖，要求學(xué)生按照所了解的內(nèi)容對這些圖的問題進行回答，并且提出新的問題.請一組同學(xué)到前面來匯報算出的每一個圖形的奇偶點及是否能一筆畫成.教師詢問大家還有什么補充.

重點挑戰(zhàn)“五環(huán)圖”：奧運會的五環(huán)怎么能一筆畫出來呢？

重點總結(jié)：圖上全是偶點，從任意一點出發(fā)都能完成一筆畫的任務(wù)再回到原點.如果這幅圖是兩個奇點，應(yīng)該從一個奇點出發(fā)再回到另一個奇點.請學(xué)生試一試.

教師提出：“田字圖”有四個奇點，不能一筆畫成.那么至少用幾筆畫成？如何證明？

引導(dǎo)學(xué)生回答，如學(xué)生回答不上來，教師講解.因為點只有奇點和偶點兩種，如果偶點和偶點之間相連一條線段的話，兩個偶點就會變成兩個奇點，如果奇點和奇點之間相連一條線段的話，兩個奇點就會變成兩個偶點.如果一個奇點和一個偶點之間相連的話，兩個點的奇偶性就會互換，不影響奇偶的總數(shù).奇點和偶點無論增加或者減少，都是成對的.

經(jīng)過大量的研究發(fā)現(xiàn)，一幅畫至少用幾筆，只需要用奇點的個數(shù)除以2.上面同學(xué)們所交流的關(guān)于一筆畫的知識，都是歐拉當(dāng)年寫的論文中提到的，后人稱為一筆畫的原理.由于歐拉的偉大貢獻，后人把像五環(huán)圖這樣的從一個點出發(fā)不重復(fù)、不遺漏地走完所有的線又回到原來點的圖稱為“歐拉圖”，有兩個奇點的圖稱為“半歐拉圖”.

（三）一筆畫的應(yīng)用——中國郵路問題

教師指出：一筆畫在生活中有許多應(yīng)用，誰能給大家講講？

比如灑水車灑水，在灑水時要合理安排好所走的街道路線;郵遞員投遞的路線;外賣員送餐;等等.

教師講解：實際上，最早提出的一筆畫與“圖上作業(yè)”相結(jié)合的是中國人.被圖論史上稱為“Chinese Postman Problem”（板書）誰能翻譯一下？（PPT出示“中國郵路問題”）

教師介紹：一名郵遞員要走遍他負(fù)責(zé)的投遞范圍內(nèi)的每一條街道，完成送信任務(wù)后回到郵局.他應(yīng)按什么路線走才能使總路程最短？最早提出這個問題的是我們國家的數(shù)學(xué)家管梅谷，他原來是山東師范大學(xué)的校長.在1962年他最先向世界上提出這樣的一個問題，作為能和一筆畫結(jié)合在一起的實際應(yīng)用，被世界數(shù)學(xué)史稱為“中國郵路問題”，真的很值得我們驕傲.如果你是郵遞員，你怎么走才能使路程最短呢？下面小組之間討論一下.

學(xué)生小組討論后，請一組學(xué)生到前面匯報，并引導(dǎo)學(xué)生計算出最后結(jié)果.

（四）一筆畫的延伸——哈密爾頓周游世界

教師：同學(xué)們剛才對一筆畫及中國郵路問題已有一定了解.這些知識都是圖論的一部分，在1856年，一位著名的數(shù)學(xué)家哈密爾頓提出了一個新的問題.用正十二面體的20個頂點代表我們這個星球上的20個大城市.從一個城市出發(fā)游遍所有的城市最后回到出發(fā)點所走過的棱不重復(fù).（PPT展示）

（教師拿出事先準(zhǔn)備的正十二面體）我這有一個正十二面體，每個面都是一個正五邊形.如果這上面的頂點是20個大城市，只許從一個點走到另一個點，點不許重復(fù)，棱當(dāng)然也不能重復(fù)，能不能完成走遍所有點的任務(wù)？這是在1856年風(fēng)靡世界的哈密爾頓周游世界問題，也請同學(xué)們課后思考一下！

教師總結(jié)：現(xiàn)在我們可以輕而易舉地判斷一個圖是否是歐拉圖，但是哈密爾頓周游世界問題研究了一百多年至今還沒有解決.由于圖論中有很多懸而未決的問題都跟哈密爾頓周游世界問題的解決有關(guān)系，所以目前還有許多數(shù)學(xué)家正在努力攻克這個問題，我想在座的同學(xué)中也許就有將來解決這個問題的偉人，我期待著這一天！

四、結(jié) 語

本節(jié)課中，數(shù)學(xué)史幫助教師全面地實現(xiàn)了教學(xué)的三維目標(biāo).學(xué)生掌握了“一筆畫原理”，能夠解決簡單的實際問題，感受到數(shù)學(xué)與生活的實際聯(lián)系.介紹數(shù)學(xué)家的故事、滲透數(shù)學(xué)史中的趣聞和名題，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，讓學(xué)生得以在一種更生活化、更輕松的氛圍中學(xué)習(xí)，而且歐拉的故事可以給學(xué)生正能量，這些都促進了“情感與信念”目標(biāo)的達成.小組合作培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識、實踐能力和探索能力，使學(xué)生帶著對數(shù)學(xué)知識的渴望與崇拜之情升入初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這無疑增加了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

五、教學(xué)反思

著名的心理學(xué)家皮亞杰曾說過：“活動是認(rèn)知的基礎(chǔ)，智慧從動作開始.”本節(jié)課雖然引發(fā)了大量學(xué)生的思考，但是并沒有讓學(xué)生從動手、動腦、動口等親自操作感知中入手.沒有讓學(xué)生體驗到五百多年前人們解決不了七橋問題的困頓之感，這樣就不能在學(xué)生的頭腦中形成鮮明的知覺表現(xiàn).

鑒于該問題，筆者又一次將歷史上的一個數(shù)學(xué)問題搬到課堂解決，即圓的面積問題.課前，筆者為學(xué)生準(zhǔn)備了若干彩色圓形卡紙、剪刀、膠水，并在引課階段帶領(lǐng)學(xué)生回憶了小學(xué)所學(xué)的幾何圖形面積的求法.筆者先從長方形入手，介紹面積的定義，進而利用化歸的思想，割補法解決平行四邊形的面積計算方法、三角形面積的計算方法、梯形面積的計算方法，一系列的復(fù)習(xí)鞏固，使學(xué)生認(rèn)識到，解決一個新的數(shù)學(xué)問題，可以化歸成已有的數(shù)學(xué)知識，進而求解.于是，學(xué)生們大膽嘗試，是否能將沒有直線邊的圓，轉(zhuǎn)化為已知的幾何圖形？這時我們可以看到，雖然歷史上偉大的數(shù)學(xué)家給出了精確的計算方式，但是學(xué)生們的大膽猜測也頗具新意.有的學(xué)生將圓的四分之一單獨剪下來，然后再次嘗試將這四分之一的圓繼續(xù)分割成四份，便得到了原始圓形的十六分之一，該生把這個很小的扇形，近似地看成一個三角形，扇形的弧看成是三角形的底，半徑看成是三角形的高，進而求出了原圓形面積的十六分之一，從而求出整個圓的面積.而實際上，教師所提供的材料工具在一定程度上左右著學(xué)生的操作方向，即教師提供的工具一定要用上這個前提.而有一個小組，直接將給的圓形卡紙通過對折再對折再對折的方式，直接得到了一個近似三角形，從而求解.這也是突破了教師的限制的聰明之舉.

然而也有失敗的小組，有些小組通過剪切，形成了一些不規(guī)則的圖形，無法求解.但是在這一過程當(dāng)中，學(xué)生們實際經(jīng)歷了古代數(shù)學(xué)家們所走過的艱辛之路.這時候，在學(xué)生經(jīng)歷了一系列的創(chuàng)作、失敗、再創(chuàng)作后，教師通過一定的提示，使學(xué)生割補成近似的平行四邊形或長方形，題目豁然開朗.接著，教師為學(xué)生講解魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的割圓術(shù)，并利用幾何畫板直接展示“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”的含義，必定使學(xué)生印象深刻，歷久彌新.

而現(xiàn)在的教學(xué)教材，往往為了保持知識的系統(tǒng)性，把數(shù)學(xué)內(nèi)容按定義、定理、證明、推論、例題的順序編排，力求邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和語言的精煉性.這樣就缺乏了自然的思維方式，對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，以及相應(yīng)知識的創(chuàng)造過程介紹得很少，也使學(xué)生面對枯燥的課本，缺乏對知識的渴望和興趣.而數(shù)學(xué)史的引入，特別是在小初銜接過程中，及時適度的補充，可以讓即將進入系統(tǒng)學(xué)習(xí)大量理論知識的學(xué)生們，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣.學(xué)生通過教師講解一些有關(guān)的數(shù)學(xué)知識的由來學(xué)習(xí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識的同時，對相應(yīng)知識的產(chǎn)生過程有一個比較清晰的認(rèn)識，從而培養(yǎng)正確的思維方式.可見，數(shù)學(xué)史是一座寶藏，蘊含了取之不盡、用之不竭的數(shù)學(xué)資源和思想養(yǎng)料，任何知識點的教學(xué)都能從中獲益.

【參考文獻】

[1]徐章韜.面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識：基于數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[2]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（2）：1-5.

[3]汪曉勤.理念與實踐的融通 思想與行動的碰撞：HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（7）：77-82.

[4]朱哲，宋乃慶.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2008，17（4）：11-14.

[5]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

[6]周永鋒.高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)方法研究[J].當(dāng)代教研論叢，2018（5）：54.

[7]楊潤娟.HPM視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究[J].新課程，2019（30）：28-30.