張文卓, 李 明

(西安科技大學(xué)力學(xué)系，西安 710054)

由于風(fēng)浪的影響，船舶在航行時(shí)易于平衡位置附近發(fā)生周期性的縱搖、垂蕩和橫搖等牽連運(yùn)動(dòng)[1-2]，這些牽連運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)船舶動(dòng)力裝置運(yùn)行的穩(wěn)定性造成影響。為保證船舶能夠安全、穩(wěn)定的航行，對(duì)船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)減振方面的研究十分必要。而氣囊-浮筏隔振裝置因其構(gòu)造緊湊，以及優(yōu)異的低頻振動(dòng)抑制效果，已廣泛應(yīng)用于船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)控制問(wèn)題[3]。

目前，關(guān)于牽連運(yùn)動(dòng)下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究工作還處于發(fā)展階段。文獻(xiàn)[4]利用第二類Lagrange方程建立了飛行器作機(jī)動(dòng)飛行時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一般模型，研究了機(jī)動(dòng)飛行條件下發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為，且與試飛數(shù)據(jù)具有較好的一致性；而文獻(xiàn)[5]基于Hamilton原理，討論了機(jī)動(dòng)飛行條件下直升機(jī)尾傳動(dòng)軸的振動(dòng)方程，并研究了機(jī)動(dòng)飛行條件下直升機(jī)尾斜軸橫向彎曲的動(dòng)力學(xué)行為；文獻(xiàn)[6]則通過(guò)引入基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)速度，推導(dǎo)出一種改進(jìn)的滑動(dòng)軸承油膜力模型，并研究了基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的振幅和頻率變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。文獻(xiàn)[7]基于短軸承理論，討論了船舶垂蕩運(yùn)動(dòng)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)變化規(guī)律，結(jié)果表明垂蕩運(yùn)動(dòng)改變了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)入混沌的路徑。

而在關(guān)于浮筏隔振裝置的非線性動(dòng)力學(xué)行為和振動(dòng)控制的相關(guān)研究中，文獻(xiàn)[8]考慮了浮筏和基礎(chǔ)板的彈性變形，建立了浮筏動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，并通過(guò)數(shù)值方法研究了浮筏隔振器的剛度變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響；而文獻(xiàn)[9]基于長(zhǎng)軸承理論，推導(dǎo)了附加氣囊支撐浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，并通過(guò)數(shù)值方法討論了該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)變化規(guī)律；文獻(xiàn)[10]則研究了具有雙層QZS(quasi-zero-stiffness)構(gòu)造的隔振浮筏系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)的振動(dòng)抑制性能進(jìn)行了系統(tǒng)分析，結(jié)果顯示，兩自由度QZS裝置在隔振方面更具優(yōu)勢(shì)，QZS裝置對(duì)阻尼比敏感，質(zhì)量比是低頻隔振設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵參數(shù)。文獻(xiàn)[11]根據(jù)振動(dòng)機(jī)械到浮筏彈性基礎(chǔ)上的最小動(dòng)力傳遞準(zhǔn)則，通過(guò)代價(jià)函數(shù)研究了慣性致動(dòng)器在浮筏上的最佳安裝位置，從而對(duì)振動(dòng)機(jī)械進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制。

以上研究集中在分析牽連運(yùn)動(dòng)下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性振動(dòng)規(guī)律，以及浮筏隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和振動(dòng)抑制問(wèn)題。而目前關(guān)于牽連運(yùn)動(dòng)下轉(zhuǎn)子-隔振系統(tǒng)振動(dòng)特性和動(dòng)力學(xué)控制方面的研究較少。現(xiàn)基于氣囊的強(qiáng)非線性特征，討論船舶垂蕩運(yùn)動(dòng)條件下具有立方剛度和線性阻尼的氣囊-浮筏隔振裝置耦合轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分岔規(guī)律，并研究氣囊-浮筏隔振裝置對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的抑制效果，以期為船用轉(zhuǎn)子-隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和振動(dòng)控制提供理論依據(jù)和分析方法。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1為船體垂蕩運(yùn)動(dòng)形式及具有氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖。為方便動(dòng)力學(xué)模型的建立，設(shè)R0(x0,y0,z0)為固連于地面的慣性參考系，R1(x1,y1,z1)和R2(x2,y2,z2)為固連于船體分別用來(lái)描述轉(zhuǎn)子和浮筏運(yùn)動(dòng)的非慣性參考系，而固連于圓盤的R(x,y,z)為局部坐標(biāo)系。將船體在慣性參考系R0(x0,y0,z0)中沿x0軸平移的垂蕩運(yùn)動(dòng)規(guī)律簡(jiǎn)化為xh=ahsin(Ω0t)，其中ah和Ω0分別為垂蕩運(yùn)動(dòng)幅值和角頻率。

圖1 垂蕩作用下具有氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotor-bearing system with additional the air bag-floating raft vibration isolator under heaving motion

將浮筏和軸承基座簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量單元，而氣囊基于其強(qiáng)非線性特征簡(jiǎn)化為具有立方剛度和線性阻尼的彈簧，如圖2所示。

圖2 氣囊-浮筏隔振裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of the air bag-floating raft vibration isolator

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得船體垂蕩運(yùn)動(dòng)條件下，具有氣囊-浮筏隔振裝置的船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式(1)中：m1為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；m2為浮筏及基座質(zhì)量；e和Ω分別為轉(zhuǎn)子偏心距和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；Fx和Fy為作用于轉(zhuǎn)子的軸承非線性油膜力[12-13]；k和d分別為氣囊剛度及阻尼；g為重力加速度。

1.2 油膜力模型

滑動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)如圖3所示。軸頸和軸瓦被潤(rùn)滑油分開而不發(fā)生接觸，油膜使軸頸具有承載能力，還能大幅度減少轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的表面磨損。

O為軸承幾何中心，Om為轉(zhuǎn)子質(zhì)量中心圖3 滑動(dòng)軸承示意圖Fig.3 Diagram of sliding bearing

基于長(zhǎng)軸承理論，即軸承直徑比其長(zhǎng)度小得多，則油膜壓力沿軸向的變化遠(yuǎn)比其沿周向的變化小[12]。根據(jù)這一假設(shè)，雷諾方程可表示為

廬山西海位于江西省西北部,地處九江和南昌之間,區(qū)位優(yōu)勢(shì)明顯。廬山西海距九江和南昌較近大約都在100公里以內(nèi),而且南北都有機(jī)場(chǎng)，距離大約都在80公里以內(nèi),并且有多條交通線路經(jīng)過(guò)（如京九鐵路、昌九高速公路、105國(guó)道等線路）,區(qū)位優(yōu)勢(shì)十分明顯。

(2)

式(2)中：p和R分別為油膜壓力和軸承半徑；φ、β分別為偏位角與周向方位角；e0、c和μ分別為軸承偏心距、油膜間隙和潤(rùn)滑油黏度；h為油膜厚度，h=c(1+εcosβ)，ε為偏心率，ε=e0/c。

基于Gümbel邊界條件將油膜壓力分布函數(shù)p沿軸承表面進(jìn)行兩次積分?？傻梅蔷€性油膜力的徑向分力Fr和周向分力Fτ的表達(dá)式[13]為

(3)

將油膜力通過(guò)坐標(biāo)變換投影到x和y方向?yàn)?/p>

(4)

1.3 無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程

(5)

表1 無(wú)量綱參數(shù)表達(dá)式

(6)

2 結(jié)果與討論

式(6)是一個(gè)具有4自由度的強(qiáng)非線性微分方程組，對(duì)其進(jìn)行解析研究較為困難，故利用4～5階Runge-Kutta法求解，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)曲線等以分析隔振裝置的減振性能以及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為[14]。

2.1 隔振系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的抑制

為凸顯氣囊-浮筏隔振裝置對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的抑制效果，給出圖4所示的不考慮隔振裝置時(shí)船舶垂蕩運(yùn)動(dòng)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖作為對(duì)比，取系統(tǒng)參數(shù)結(jié)合圖4、圖5可以分析氣囊-浮筏隔振裝置對(duì)轉(zhuǎn)子振幅的抑制效果，其結(jié)果如表2所示。

為σ=3，Ah=120，υ=[30,70]。而圖5為船舶垂蕩運(yùn)動(dòng)下附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖，此時(shí)為參數(shù)σ=3，υ=[30,70]，Ah=120，n=7.5，K=9，D=0.2。

圖6為α=0.1時(shí)，船舶垂蕩運(yùn)動(dòng)下不考慮隔振裝置時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分岔圖及對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)曲線。而圖7為參數(shù)α=0.1時(shí)，附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在船舶垂蕩運(yùn)動(dòng)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)(LLE)曲線。

對(duì)比圖6、圖7可得出氣囊-浮筏隔振裝置對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分岔特性的影響，將相關(guān)分析結(jié)果在表3中列出。

圖4 垂蕩運(yùn)動(dòng)下無(wú)隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of rotor system without vibration isolator under heaving motion

圖5 垂蕩運(yùn)動(dòng)下氣囊-浮筏隔振裝置耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of rotor system with air bag-floating raft vibration isolator under heaving motion

表2 隔振裝置對(duì)轉(zhuǎn)子振幅的抑制分析

圖6 垂蕩運(yùn)動(dòng)下無(wú)隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在α=0.1時(shí)的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)Fig.6 Bifurcation diagram and largest Lyapunov exponents of rotor system without vibration isolator under heaving motion when α=0.1

圖7 垂蕩運(yùn)動(dòng)下附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在α=0.1時(shí)的分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)Fig.7 Bifurcation diagram and largest Lyapunov exponents of rotor system with air bag-floating raft vibration isolator under heaving motion when α=0.1

表3 隔振裝置對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分岔特性的影響

2.2 隔振裝置耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

圖8為參數(shù)α=0.1，σ=3，ν=[30,70]，Ah=120，n=7.5，K=9，D=0.2時(shí)，附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在船體垂蕩運(yùn)動(dòng)下的軸心軌跡。由圖8可見，初始時(shí)隨著轉(zhuǎn)速不斷增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位移不斷增大；而在ω從0.95到1.3時(shí)，轉(zhuǎn)子的位移增大趨勢(shì)不再明顯，但轉(zhuǎn)子的軸心軌跡重合程度較低，且占據(jù)很大范圍，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜；而在高轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子軸心軌跡的重合程度有所提高，預(yù)示著轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜程度有所降低。

圖9為船體垂蕩運(yùn)動(dòng)下附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速變化時(shí)結(jié)合多種方法分析的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。結(jié)合對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)(LLE)將分析結(jié)果在表4中列出。

圖8 不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的軸心軌跡Fig.8 The rotor orbit at different speeds

圖9 轉(zhuǎn)子-隔振系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.9 The steady-state response of rotor-vibration isolation system when

表4 隔振裝置耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

3 結(jié)論

建立了船體垂蕩運(yùn)動(dòng)條件下，具有氣囊-浮筏隔振裝置的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)用數(shù)值方法討論了該系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性，并分析了氣囊-浮筏隔振裝置對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的抑制效果。結(jié)果表明：轉(zhuǎn)速較低時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)，隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)交替出現(xiàn)擬周期和混沌運(yùn)動(dòng)，在高轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)返回?cái)M周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在較寬的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，氣囊-浮筏隔振裝置對(duì)系統(tǒng)振幅的增加具有明顯的限制和滯后效果。且在中、高轉(zhuǎn)速時(shí)，氣囊-浮筏隔振裝置能夠延后和限制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。以上結(jié)論有助于揭示垂蕩運(yùn)動(dòng)下，氣囊-浮筏隔振裝置耦合轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并為船用轉(zhuǎn)子-隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和振動(dòng)控制提供理論依據(jù)和研究方法。