朱冬梅 劉偉 劉海平 史志遠(yuǎn) 賀凱

摘 ? 要：針對(duì)含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)的三參數(shù)隔振器諧振頻率會(huì)向高頻移動(dòng)的問(wèn)題，提出一種新型含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器. 采用諧波平衡法建立新型隔振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析模型，并將解析解與時(shí)域數(shù)值解和多體動(dòng)力學(xué)軟件Adams得到的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所建含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器模型的正確性. 基于建立的模型，通過(guò)計(jì)算對(duì)比了新型隔振器與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、三參數(shù)隔振器、含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的力傳遞率曲線(xiàn)，得出含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器可以進(jìn)一步降低諧振處的峰值，且諧振頻率比向低頻發(fā)生移動(dòng). 經(jīng)過(guò)研究得出影響含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器性能的主要參數(shù)為阻尼比、初始夾角、剛度比，與激勵(lì)力幅值以及桿長(zhǎng)無(wú)關(guān);進(jìn)一步分析了阻尼比、初始夾角、剛度比對(duì)隔振系統(tǒng)傳遞特性的影響，得出通過(guò)選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)，可以使含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器在諧振頻率的峰值進(jìn)一步減小，且在高頻處的隔振性能保持不變.

關(guān)鍵詞：隔振器;諧振頻率;n層;X形結(jié)構(gòu);諧波平衡法

中圖分類(lèi)號(hào)：TB123;TH113.1 ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Analysis on Dynamic Performance of a Vibration

Isolator with n-layer X-shaped Structure

ZHU Dongmei1，LIU Wei1，LIU Haiping1?，SHI Zhiyuan2，HE Kai2

（1. College of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China;

2. Mining Products Safety Approval and Certification Center Co，Ltd，Beijing 100013，China）

Abstract：Aiming at the problem that the resonant frequency of a three-parameter vibration isolator with a layer X-shaped structure will move to high frequencies， a new type of n-layer X-shaped structure isolator is proposed. Firstly， the harmonic balance method is used to establish the analytical model of the dynamic response of the new vibration isolation system， and the analytical solution is compared with the simulation data obtained by the time-domain numerical solution and the multi-body dynamics software ADAMS to verify the correctness of the built-up model of the isolator with an n-layer X-shaped structure. Based on the established model， the force transmissibility curves of ， as well as the traditional two-parameter vibration isolator， traditional three-parameter vibration isolator， and a layer X-shaped structure vibration isolator， are calculated and compared. It is concluded that the proposed vibration isolator with n-layer X-shaped structure can further reduce the peak at resonance， and the resonance frequency ratio moves to lower frequency region. At the same time， the main parameters that affect the performance of the X-shaped structure with n-layers are the damping ratios， the initial angle， the stiffness ratios， which are independent of the excitation force amplitude and the rod length. Furthermore， the influence of the damping ratios，the initial angle and the stiffness ratios on the transmission characteristics of the vibration isolation system is further analyzed. The peak at resonance frequency of the vibration isolator with an n-layer X-shaped structure is further reduced when choosing proper design parameters around the resonance frequency， while the dynamic performance is not changed in high-frequency region.

Key words：vibration isolator;resonance frequency;n-layer; X-shaped structure;harmonic balance method

?為了解決傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器高頻隔振性能較差的問(wèn)題，三參數(shù)隔振器（Zener或Ruzicka表征模型）應(yīng)運(yùn)而生. 三參數(shù)隔振器系統(tǒng)可調(diào)性強(qiáng)，在高頻區(qū)域傳遞衰減率為-40 dB/dec，振動(dòng)抑制效果更明顯[1-2]. 因此，具備良好隔振性能的三參數(shù)隔振器廣泛應(yīng)用于振動(dòng)工程隔振系統(tǒng)中[3-7]. 早期，Ruzicka[8]分別建立了包含黏性阻尼以及庫(kù)倫阻尼的三參數(shù)隔振器模型，研究了該隔振器模型在受迫振動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng);Jerome[9]給出三參數(shù)隔振器的傳遞率并討論了部分參數(shù)的相關(guān)性;Davis等[10]將三參數(shù)阻尼器應(yīng)用到衛(wèi)星隔振平臺(tái)并介紹了其工作原理;樓京俊等[11]利用能量守恒定律建立了Ruzicka抗沖系統(tǒng)模型并在某些參數(shù)域具備更加優(yōu)良的抗沖擊性能;王超新等[12]設(shè)計(jì)了一種基于最優(yōu)參數(shù)的三參數(shù)隔振器.

近年，國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于探索可以改善三參數(shù)隔振器減隔振性能的方法，并提出許多新型的改進(jìn)三參數(shù)隔振器模型. Shi等[13]提出一種四參數(shù)Zener模型，極大地改善了高頻段的減隔振性能;Deharo silva等[14]利用非線(xiàn)性立方剛度彈簧替換主彈簧，其傳遞率在諧振頻率以及高頻處得到了顯著改善;Wang等[15]利用非線(xiàn)性立方剛度彈簧替換與阻尼元件串聯(lián)的輔助彈簧，其傳遞率在諧振頻率以及高頻處同樣得到了改善;從這兩種模型的分析結(jié)果可知，在三參數(shù)隔振器中引入非線(xiàn)性立方剛度可以改善該隔振器在諧振頻率以及高頻處的減隔振性能.

為了改善非線(xiàn)性隔振器的剛度與阻尼特性，越來(lái)越多的含X形結(jié)構(gòu)的隔振器相繼出現(xiàn). Liu等[16-17]提出一種混合型杠桿式隔離系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)超低頻隔振，并具有可調(diào)反共振頻率和低頻傳遞率;Bian等[18]提出一種含被動(dòng)水平阻尼的X形隔振系統(tǒng)模型，該系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)諧振頻率阻尼被放大，其他頻段阻尼未發(fā)生變化的效果;Jing等[19]采用多層X(jué)形結(jié)構(gòu)提出一種新型隔振裝置，可以顯著減緩工程機(jī)械對(duì)操作人員的振動(dòng)損傷. 劉國(guó)勇等[20]首次提出一種基于嵌套式X形結(jié)構(gòu)的高阻尼隔振器，可大幅度提高系統(tǒng)輸出阻尼. Liu等[21]基于傳統(tǒng)的三參數(shù)隔振器模型，建立了含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器模型，該隔振器有效抑制隔振系統(tǒng)諧振頻段的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，且保證在高頻區(qū)域的隔振性能不變.

X形結(jié)構(gòu)可以進(jìn)一步改善隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，但其諧振頻率會(huì)向高頻移動(dòng)，由此，本文將多層X(jué)形結(jié)構(gòu)加入傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器，提出一種含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)的隔振器模型. 采用諧波平衡法獲得隔振系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的解析表達(dá)式，利用四階龍格-庫(kù)塔法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證;隨后利用多體動(dòng)力學(xué)軟件Adams建立該隔振系統(tǒng)仿真模型，進(jìn)一步驗(yàn)證所建理論模型的正確性. 將含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)的隔振器與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器以及含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器進(jìn)行分析對(duì)比. 研究表明，含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器不僅可以降低諧振幅值，并且諧振頻率比向低頻發(fā)生移動(dòng)，同時(shí)，保持高頻減隔振性能不變. 本文研究為今后開(kāi)展新型隔振器設(shè)計(jì)提供了參考.

1?? 含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器理論模型

圖1給出含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)的隔振器模型. 與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型相比，在輔助彈簧Kb與基礎(chǔ)之間安裝了n層X(jué)形結(jié)構(gòu)，將輔助彈簧Kc并聯(lián)阻尼元件Ca沿水平軸y方向安裝到最底層的X形結(jié)構(gòu)中.

模型中，分別給出隔振器受負(fù)載作用前后的狀態(tài)示意圖. 其中，在負(fù)載重力作用下，隔振器處于靜平衡狀態(tài)用實(shí)線(xiàn)表示. n層X(jué)形結(jié)構(gòu)由多根剛性桿鉸接而成;與輔助彈簧Kb下端以及基礎(chǔ)鉸接的是長(zhǎng)度為l的剛性桿，其余是長(zhǎng)度為2l的剛性桿;θi為剛性桿與水平軸y的初始夾角;當(dāng)隔振器受到外部激勵(lì)力Fe的作用時(shí)，將φ定義為剛性桿與水平軸y的夾角變化量;定義x軸正方向?yàn)榇怪毕蛏?，y軸正方向?yàn)樗较蛴? 由于本文的重點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)機(jī)理研究，即考慮X形結(jié)構(gòu)、層數(shù)變化對(duì)隔振器動(dòng)態(tài)特性的影響，故暫未考慮桿的質(zhì)量、慣性和鉸接處的摩擦作用.

在圖1所示力學(xué)模型中，受到外部激勵(lì)力時(shí)，得到系統(tǒng)沿x軸方向的振動(dòng)微分方程：

m + Ka x1 + Kb（x1 - x2） = Fe??? （1a）

Kb（x1-x2）=[Kc（y1 - y2）+Ca（[y] 1 - [y] 2）]tan（?+θi）

（1b）

式中：m為慣性質(zhì)量;x1、x2分別為慣性質(zhì)量和剛性桿活動(dòng)鉸接點(diǎn)的縱向位移;y1和y2分別為剛性桿活動(dòng)鉸接點(diǎn)的水平位移;[y] 1和[y] 2則為相應(yīng)的水平速度.

由X形結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系可得：

tan（? + θi） =????? ???（2a）

y1 = lcos θi -???? （2b）

y1 = -y2??? （2c）

=?? （2d）

聯(lián)列式（1）和式（2），得到：

m + Ka x1 + Kb（x1 - x2） = Fe??? （3a）

Kb（x1 - x2）=

2Kc（lcosθi - ）×

+Ca

（3b）

1.1?? 解析計(jì)算

對(duì)式（3）進(jìn)行化簡(jiǎn)：

m + Ka x1 + Kb（x1 - x2） = F0 cosωt? （4a）

Kb（x1 - x2） =

2Kc（lcosθi - ）×

+Ca

（4b）

通過(guò)定義函數(shù)f1（x）和f2（x）來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算：

f1（x2）=2Kc（lcosθi-）×

（5a）

f2（x2）=?????? （5b）

這里將函數(shù)f1（x2）和f2（x2）考慮為在x2 = 0處連續(xù)，且在x2 = 0處對(duì)式（5）進(jìn)行二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可得：

f1（x2） = β0 + β1 x2 + β2 x2

2

f2（x2）=? β3 + β4 x2 + β5 x2

2?????? （6）

式中的系數(shù)可表示為：

β0 = 0，β1 = tan2θi，β2 = ，

β3 = tan2θi，β4 = ，β5 =

（7）

將式（6）代入式（4），得到：

m + Ka x1 + Kb（x1 - x2） = F0 cosωt? （8a）

Kb（x1 - x2） =

Kc

tan2θi x2

+

x2

2+

Catan2θi+

+

（8b）

對(duì)式（8）中的參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化處理：

ωn = ，τ = ωn t，γ1 = ，γ2 = ，Ω = ，u1 = ，u2 = ，ζ=，f0 = .

式中：f0為無(wú)量綱激勵(lì)力;ωn為隔振器固有頻率;τ為無(wú)量綱時(shí)間;γ1和γ2分別為隔振器的水平、豎直剛度比;ζ為水平阻尼比;Ω為頻率比;u1和u2為無(wú)量綱長(zhǎng)度.

將無(wú)量綱化處理的參數(shù)代入式（8）得：

+（1+γ2）u1-γ2u2 = f0 cosΩτ

2ζtan2θi

+u2+

u2

2

+

+γ2u2

+

γ1u2

2-γ2u1=0（9）

式（9）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)近似解可通過(guò)諧波平衡法求解得出，并假設(shè)其穩(wěn)態(tài)解為：

u1 = u10 cos（Ωτ + β）

u2 = u20 cos（Ωτ + ψ）?????? （10）

式中：u10、u20分別為慣性質(zhì)量塊與剛性桿活動(dòng)鉸接點(diǎn)的位移幅值. 在這里，將系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率考慮為和外部激勵(lì)力頻率相同. 在實(shí)際中，受外部激勵(lì)作用振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)中，除了基頻還存在其他頻率的諧波，但是，與外部激勵(lì)頻率相同的基頻為主要部分，故式（10）滿(mǎn)足系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性.

將式（10）代入式（9），為了便于計(jì)算，將高次項(xiàng)略掉可得：

-Ω 2u10 cos（Ωτ + β）+（1+γ2）u10 cos（Ωτ + β）-

γ2u20 cos（Ωτ + ψ） = f0 cosΩτ

-2ζΩu20 tan2θi sin（Ωτ + ψ）+

+γ2u20 cos（Ωτ + ψ）-

γ2u10 cos（Ωτ + β） = 0（11）

假設(shè)式（11）的展開(kāi)式兩側(cè)一次諧波項(xiàng)系數(shù)相等，可得：

（1+γ2-Ω 2）u10 cos β - γ2 u20 cos ψ = f0?? （12a）

-（1+γ2-Ω 2）u10 sin β + γ2 u20 sin ψ = 0?? （12b）

-2Ωu20 ζtan2θi sinψ+

+γ2×

u20 cos ψ-γ2 u10 cos β = 0????? （12c）

-2Ωu20 ζtan2θi cosψ-

+γ2×

u20 sin ψ+γ2 u10 sin β = 0????? （12d）

分離式（12a）中的cos ψ和cos β，可得：

cosψ =???? （13a）

cosβ =?????? （13b）

分離式（12b）中的sin ψ和sin β，可得：

sin ψ =???? （14a）

sin β =?????? （14b）

引入a、b、c對(duì)公式進(jìn)行簡(jiǎn)化.

a = 2Ωζtan2θi，b = （1+γ2 - Ω 2），c=

+γ2.

將式（13b）代入式（12c），得到：

-au20 sin ψ+c

-u20 cos ψ =??? （15）

將式（14b）代入式（12d）中，得到：

-a cos ψ - c -

sin ψ = 0????? （16）

將式（13a）和式（14a）代入式（15），得到：

-sin β +

- γ2u10 cos β =? （17）

將式（13a）和式（14a）代入式（16），得到：

-cos β -

- γ2u10 sin β =?? （18）

聯(lián)列式（15）和式（16），得到：

（-au20 tan2θi）2+cu20-=

（19）

聯(lián)列式（17）和式（18），得到：

-

+

-γ2u10=

+

（20）

由式（19）和式（20），得到位移幅頻響應(yīng)：

u10 = f0????????????? （21）

u20 =?????????????? （22）

由式（15）和式（16），得到位移相頻響應(yīng)：

ψ=arccos

（23）

將式（23）代入式（13b），得到：

β = arccos

（24）

1.2?? 隔振性能

為了評(píng)估含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的隔振性能，并與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器、含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器進(jìn)行對(duì)比研究，采用力傳遞率作為隔振器隔振性能的評(píng)價(jià)指標(biāo). 力傳遞率定義為傳遞到基礎(chǔ)上的力幅值和外部激勵(lì)力幅值之比，即

T = 201g

（25）

式中：f0為外部激勵(lì)力;T為含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的力傳遞率;ftr為通過(guò)含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器傳遞到基礎(chǔ)上的力.

其中，通過(guò)含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器傳遞到基礎(chǔ)的力為：

ftr =? （26）

2?? 驗(yàn)證與對(duì)比分析

2.1?? 數(shù)值驗(yàn)證

為了便于對(duì)比分析，選取水平、豎直剛度比分別為γ1 = 0.05，γ2 = 3，主彈簧剛度Ka = 2 000 N/m，水平軸y與剛性桿的初始夾角θi = 60°，剛性桿長(zhǎng)度l =0.1 m，負(fù)載質(zhì)量m = 1 kg，阻尼系數(shù)ζ = 0.01，外部激勵(lì)力幅值F0 = 1 N，X形結(jié)構(gòu)層數(shù)n = 3.

本文選取20 s的計(jì)算時(shí)間，在定頻激勵(lì)下，利用四階龍格-庫(kù)塔法得到含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的數(shù)值解，并選取穩(wěn)態(tài)解的最大值為響應(yīng)幅值并歸一化處理，得到位移響應(yīng)幅頻曲線(xiàn)如圖2所示. 其中，“NS”表示數(shù)值解，“AS”表示解析解. 可以看出，解析解與數(shù)值解結(jié)果曲線(xiàn)吻合良好，從而驗(yàn)證了本文求解過(guò)程及穩(wěn)態(tài)解的正確性.

2.2?? Adams仿真驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所建模型及解析解的正確性，在多體動(dòng)力學(xué)軟件Adams中建立含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器模型. 計(jì)算結(jié)果如圖3所示，可見(jiàn)，兩種方法所得計(jì)算結(jié)果曲線(xiàn)吻合良好.

由多體動(dòng)力學(xué)軟件Adams計(jì)算得到力傳遞率如圖4所示，可以看出，由這兩種方法得到的結(jié)果曲線(xiàn)吻合非常好.

2.3?? 等效阻尼系數(shù)分析

相比于線(xiàn)性隔振器，含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的等效阻尼恢復(fù)力為：

Fe=Catan2θi+

u20+

u2

20

（27）

式（27）對(duì)u20進(jìn)行求導(dǎo)可得該隔振器的等效阻尼系數(shù)：

C=Catan2θi+

u20+

u2

20 （28）

式中：C為含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的等效阻尼系數(shù). 由式（28）可知，等效阻尼系數(shù)是關(guān)于u20的二次函數(shù)，因此不再分析u20對(duì)等效阻尼系數(shù)的影響. 僅對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)Ca和θi 進(jìn)行分析. 暫定，阻尼系數(shù)Ca的取值為0～5 N·s/m，初始傾角的取值為45°～85°，由式（28）可得出這兩個(gè)參數(shù)對(duì)等效阻尼系數(shù)的影響規(guī)律.

由圖5可知，含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的等效阻尼系數(shù)隨著設(shè)計(jì)參數(shù)Ca和θi的增大呈非線(xiàn)性增大的規(guī)律，且當(dāng)Ca和θi達(dá)到最大值時(shí)，等效阻尼系數(shù)也達(dá)到最大.

2.4?? 與其他隔振器模型對(duì)比分析

在選用相同設(shè)計(jì)參數(shù)的條件下，將含n（n=3、5）層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器以及含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的力傳遞率曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比. 在這里，設(shè)計(jì)參數(shù)取Ka=2 000 N/m，γ1= 0.05，γ2=3，θi=60°，l=0.1 m，m=1 kg，ζ=0.01，F(xiàn)0=1 N.

從圖6中可以看出，傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器和含X形結(jié)構(gòu)隔振器在高頻區(qū)域的減隔振性能都比傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器好. 三參數(shù)隔振器中引入具有幾何非線(xiàn)性的1層X(jué)形結(jié)構(gòu)會(huì)增大諧振頻率處的阻尼且諧振幅值得到顯著降低，并且在高頻處其力傳遞率曲線(xiàn)不受影響. 但是，受到X形結(jié)構(gòu)中水平輔助彈簧的影響，其諧振頻率比向高頻移動(dòng)，表明系統(tǒng)剛度有所損失. 考慮在三參數(shù)隔振器中添加n（n = 3，5）層X(jué)形結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)其諧振峰值會(huì)隨著層數(shù)的增加而減小，且諧振頻率比向低頻發(fā)生移動(dòng). 這表明，含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)的隔振器具備更加優(yōu)良的減隔振性能. 其中，考慮到節(jié)約經(jīng)濟(jì)成本且能滿(mǎn)足良好的減隔振性能原則，需要盡可能減少桿件的使用，由于含5層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器與含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的力傳遞率曲線(xiàn)相近，故X形結(jié)構(gòu)的層數(shù)為3時(shí)存在最優(yōu)值.

為了證明由圖6所得結(jié)論的可靠性與穩(wěn)定性，另外隨機(jī)取兩組設(shè)計(jì)參數(shù)比較這些隔振器的減隔振性能.

第1組設(shè)計(jì)參數(shù)為Ka = 1 500 N/m，γ1 = 0.01，γ2 = 0.5，θi = 50°，l = 0.2 m，m = 1.5 kg，ζ = 0.03，F(xiàn)0 = 1.5 N. 含n（n = 3、5）層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器以及含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的力傳遞率曲線(xiàn)如圖7所示.

第2組設(shè)計(jì)參數(shù)為Ka=7 500 N/m，γ1=0.05，γ2=5，θi=70°，l=0.3 m，m=2 kg，ζ=0.02，F(xiàn)0=2 N. 含n（n=3、5）層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器以及含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的力傳遞率曲線(xiàn)如圖8所示.

由圖7和圖8可知，通過(guò)隨機(jī)選取兩組設(shè)計(jì)參數(shù)，5個(gè)隔振器的減隔振性能與圖6得出的結(jié)果大致相同. 由此可知，由圖6得出的結(jié)論是可靠的.

2.5?? 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)新型隔振器性能影響

根據(jù)力傳遞率公式可知，影響含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器性能的主要設(shè)計(jì)參數(shù)為ζ、θi、γ1和γ2，而與激勵(lì)力幅值F0以及桿長(zhǎng)l無(wú)關(guān). 需要注意，輸入力激勵(lì)幅值f0和桿長(zhǎng)l對(duì)于隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響較小，可忽略，所以并未討論. 由于含3層以上的X形結(jié)構(gòu)隔振器的力傳遞率曲線(xiàn)受層數(shù)影響較小，所以本節(jié)重點(diǎn)討論含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器動(dòng)態(tài)特性受其他設(shè)計(jì)參數(shù)的影響.

2.5.1?? 阻尼比ζ對(duì)隔振性能的影響

含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器在保持其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變的條件下，對(duì)應(yīng)不同阻尼比ζ（分別取值0.001、0.005、0.010、0.050）的力傳遞率曲線(xiàn)如圖9所示. 由圖9可知，隨著阻尼比ζ增加，諧振頻率處的力傳遞率峰值得到顯著降低;中頻段的傳遞率峰值略有變化;但是，諧振頻率基本沒(méi)有變化，這表明隔振系統(tǒng)剛度沒(méi)有損失.

2.5.2?? 初始夾角θi對(duì)隔振性能的影響

含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)的隔振器在保持其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變的條件下，對(duì)應(yīng)不同初始夾角θi（分別取值30°、45°、60°、70°）的力傳遞率曲線(xiàn)如圖10所示. 由圖可知，當(dāng)初始夾角為30°時(shí)，隔振器在諧振頻率處的傳遞率幅值最大，顯然這不利于隔振器的減隔振性能. 隨著初始夾角θi增大，隔振器在諧振頻率處的傳遞率幅值逐漸降低，當(dāng)初始夾角為70°時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)無(wú)諧振峰. 但是，初始夾角的增大不利于中頻段的減隔振性能，而對(duì)于高頻段的減隔振性能則基本沒(méi)有影響.

2.5.3?? 水平剛度比γ1對(duì)隔振性能的影響

在保持其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變的條件下，對(duì)應(yīng)不同水平剛度比γ1（分別取值-0.8、0、0.8、2.0）的含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器力傳遞率曲線(xiàn)如圖11所示. 可見(jiàn)，γ1會(huì)顯著影響隔振器的諧振頻率及其對(duì)應(yīng)傳遞率峰值. 隨著γ1減小，隔振器的隔振性能得到明顯改善. 當(dāng)水平剛度比γ1大于0且逐漸增大時(shí)，隔振器的諧振頻率和諧振峰值逐漸增大，但是對(duì)于高頻處的隔振性能沒(méi)有影響. 當(dāng)水平剛度比γ1小于0時(shí)，隔振器力傳遞率曲線(xiàn)呈現(xiàn)無(wú)諧振峰特征且高頻處的隔振性能不受影響. 因此，隔振器會(huì)隨著水平剛度比γ1的減小而呈現(xiàn)出良好的減隔振性能，并且選擇合適的水平剛度比γ1可實(shí)現(xiàn)“高阻尼、低剛度”的振動(dòng)控制效果.

2.5.4?? 豎直剛度比γ2對(duì)隔振性能的影響

含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)的隔振器在保持其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變的條件下，對(duì)應(yīng)不同豎直剛度比γ2（分別取-0.05、0.05、1.00、5.00）的力傳遞率曲線(xiàn)如圖12所示. 可見(jiàn)，當(dāng)豎直剛度比γ2小于1且為-0.05時(shí)，隔振器對(duì)應(yīng)諧振頻率減小但諧振峰值增大. 當(dāng)豎直剛度比大于0且逐漸增大時(shí)，隔振器的諧振頻率和諧振峰值逐漸減小. 當(dāng)γ2分別為1.00和5.00時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)隔振器的諧振頻率和諧振峰值基本保持不變，但高頻段的隔振性能則隨著γ2的增大而變差. 因此，合理選擇豎直剛度比參數(shù)可以對(duì)隔振器諧振頻率處的峰值實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，然而豎直剛度比γ2的增加導(dǎo)致隔振器在高頻的隔振效果變差.

2.5.5?? γ1和γ2組合參數(shù)對(duì)隔振性能的影響

為了進(jìn)一步確認(rèn)γ1、γ2組合參數(shù)對(duì)含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的隔振性能的影響，這里分別對(duì)γ1和γ2參數(shù)選取不同的值來(lái)進(jìn)行研究. 根據(jù)前述分析結(jié)果，當(dāng)水平剛度比γ1≤0時(shí)，可以明顯降低諧振處峰值且不影響高頻段的減隔振性能. 因此，接下來(lái)重點(diǎn)討論γ1≤0和不同γ2對(duì)隔振器隔振性能的影響. 在保持其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變的條件下，γ1≤0和不同γ2對(duì)應(yīng)含3層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器力傳遞率曲線(xiàn)如圖13所示.

當(dāng)不考慮水平剛度比（γ1=0）的影響時(shí)，豎直剛度比γ2的增大會(huì)減小諧振處的峰值，但是導(dǎo)致高頻段隔振性能變差;當(dāng)分析水平剛度比γ1<0與γ2的組合剛度控制效果時(shí)，可知，γ1<0和γ2=1.00時(shí)隔振器的力傳遞特性得到顯著改善，且在諧振頻率處實(shí)現(xiàn)無(wú)諧振峰的控制效果，然而高頻段的隔振效果會(huì)變差;但是，當(dāng)γ1<0和0<γ2<1時(shí)隔振器對(duì)諧振處峰值的控制效果較差，但是改善了高頻處的隔振效果.

另外，由文獻(xiàn)[22]可知，相比于負(fù)剛度以及準(zhǔn)零剛度隔振器，含X形結(jié)構(gòu)隔振器不存在穩(wěn)定性問(wèn)題.

2.6?? 時(shí)域響應(yīng)分析

為了進(jìn)一步評(píng)估含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的減隔振性能，重點(diǎn)針對(duì)隔振器受多頻穩(wěn)態(tài)激勵(lì)條件下在時(shí)域的減隔振性能進(jìn)行研究. 其中，nX-M表示含n（n=3）層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器;X-M表示含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器;R-M表示傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器.

將狀態(tài)變量引入隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中，并化簡(jiǎn)為一階微分方程組;隨后，利用四階龍格-庫(kù)塔法得到隔振器各部分的時(shí)域響應(yīng)位移和速度曲線(xiàn);最后，根據(jù)隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程得到傳遞到基礎(chǔ)的力的時(shí)域響應(yīng)曲線(xiàn).

實(shí)際中，環(huán)境激勵(lì)具有寬頻特性，為了便于對(duì)比，假設(shè)隔振器受外部力激勵(lì).

Fe = [cos0.47ωn t + cos0.76ωn t + cos1.1ωn t +

cos1.3ωn t + cos2ωn t + cos20ωn t]

式中：ωn為隔振系統(tǒng)的固有頻率. 不同隔振器在多頻激勵(lì)下傳遞到基礎(chǔ)的力的曲線(xiàn)如圖14所示. 由圖14可以看出，在寬頻激勵(lì)下，含X形結(jié)構(gòu)隔振器明顯比傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器的控制效果好，含n（n=3）層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器比含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器的控制效果好.

3?? 結(jié)?? 論

本文提出了一種含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器，采用諧波平衡法得到其幅頻、相頻響應(yīng)的解析表達(dá)式. 在此基礎(chǔ)上，分別采用四階龍格-庫(kù)塔法和多體動(dòng)力學(xué)軟件Adams對(duì)所建理論模型及解析解進(jìn)行驗(yàn)證. 為了便于分析評(píng)價(jià)隔振器的減隔振性能，分別從頻率域和時(shí)間域展開(kāi)討論. 根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：

1）設(shè)計(jì)參數(shù)中的阻尼比ζ、初始夾角θi、水平剛度比γ1、豎直剛度比γ2和X形結(jié)構(gòu)層數(shù)n可以改善諧振頻率以及高頻處的減隔振性能.

2）在傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器的基礎(chǔ)上，通過(guò)合理選擇設(shè)計(jì)參數(shù)，可使含1層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器在諧振頻率處的峰值減小，同時(shí)保持高頻處的隔振性能不變，但是諧振頻率向高頻發(fā)生移動(dòng);通過(guò)增加X(jué)形結(jié)構(gòu)層數(shù)n，隔振器的諧振峰值進(jìn)一步減小，且諧振頻率向低頻發(fā)生移動(dòng).

3）通過(guò)對(duì)比時(shí)域響應(yīng)特性，含n層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器比含單層X(jué)形結(jié)構(gòu)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器的振動(dòng)控制性能更好.

參考文獻(xiàn)

[1]??? LIU J，LI K. Sparse identification of time-space coupled distributed dynamic load[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2021，148（1）：107—177.

[2]??? KAMESH D，PANDIYAN R，GHOSAL A. Passive vibration isolation of reaction wheel disturbances using a low frequency flexible space platform[J]. Journal of Sound and Vibration，2012，331（6）：1310—1330.

[3]?? BRENNAN M J，CARRELLA A，WATERS T P，et al. On the dynamic behaviour of a mass supported by a parallel combination of a spring and an elastically connected damper[J]. Journal of Sound and Vibration，2008，309（3/4/5）：823—837.

[4]??? MULLER P. Are the eigensolutions of a 1-d.o.f.system with viscoelastic damping oscillatory or not？[J]. Journal of Sound and Vibration，2005，285（1/2）：501—509.

[5]??? 劉興天，鐘鳴，申軍烽，等. 松弛型阻尼隔振模型的動(dòng)剛度試驗(yàn)研究[J]. 噪聲與振動(dòng)控制，2016，36（5）：180—182.

LIU X T，ZHONG M，SHEN J F，et al. Experimental analysis of the dynamic stiffness of a vibration isolation system with relaxation type damping[J]. Noise and Vibration Control，2016，36（5）：180—182.（In Chinese）

[6]??? 謝溪凌，陳燕毫，刁建超，等. 波紋管-黏滯流體隔振器特性與實(shí)驗(yàn)[J]. 噪聲與振動(dòng)控制，2017，37（4）：201—205.

XIE X L，CHEN Y H，DIAO J C，et al. Experiment of an isolator fabricated with diaphragm bellows and viscous fluid[J]. Noise and Vibration Control，2017，37（4）：201—205. （In Chinese）

[7]??? 孫靖雅. 三參數(shù)流體阻尼隔振器及并聯(lián)隔振器的設(shè)計(jì)方法研究[D]. 上海：上海交通大學(xué)，2014：1—5.

SUN J Y. Research on design method of three parameter isolator and parallel supported vibration?? isolation system[D]. Shanghai：Shanghai Jiaotong University，2014：1—5. （In Chinese）

[8]?? RUZICKA J E. Forced vibration in systems with elastically supported dampers[D]. Massachusetts：Massachusetts Institute of Technology，1957：394—401.

[9]??? JEROME E R. Influence of damping in vibration isolation [M]. Washington DC：Shock and Vibration Information Center，1971.

[10] DAVIS P，CUNNINGHAM D，HARRELL J. Advanced 1.5 Hz passive viscous isolation system[C]//35th Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference. Virginia：AIAA，1994.

[11]? 樓京俊，朱石堅(jiān)，唐斯密. Ruzicka隔振器在沖擊隔離中的特性和作用[J]. 噪聲與振動(dòng)控制，2011，31（4）：37—41.

LOU J J，ZHU S J，TANG S M. Study on effect of Ruzicka isolator on shock isolation[J]. Noise and Vibration Control，2011，31（4）：37—41. （In Chinese）

[12]? 王超新，孫靖雅，張志誼，等. 最優(yōu)阻尼三參數(shù)隔振器設(shè)計(jì)和試驗(yàn)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2015，51（15）：90—96.

WANG C X，SUN J Y，ZHANG Z Y，et al. Design and experiment of a three-parameter isolation system with optimal damping[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（15）： 90—96. （In Chinese）

[13] SHI W K，QIAN C，CHEN Z Y，et al. Modeling and dynamic properties of a four-parameter Zener model vibration isolator[J]. Shock and Vibration，2016，508 ：1—16.

[14]? DE HARO SILVA L，PAUPITZ GON?ALVES P J，WAGG D. On the dynamic behavior of the Zener model with nonlinear stiffness for harmonic vibration isolation[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2018，112：343—358.

[15] WANG X，YAO H X，ZHENG G T. Enhancing the isolation performance by a nonlinear secondary spring in the Zener model[J]. Nonlinear Dynamics，2017，87（4）：2483—2495.

[16]? LIU C C，JING X J，LI F M. Vibration isolation using a hybrid lever-type isolation system with an X-shape supporting structure[J]. International Journal of Mechanical Sciences，2015，98：169—177.

[17]? LIU C C，JING X J，CHEN Z B. Band stop vibration suppression using a passive X-shape structured lever-type isolation system[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2016，68/69：342—353.

[18]? BIAN J，JING X J. Nonlinear passive damping of the X-shaped structure[J]. Procedia Engineering，2017，199：1701—1706.

[19]? JING X J，ZHANG L L，F(xiàn)ENG X，et al. A novel bio-inspired anti-vibration structure for operating hand-held jackhammers[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2019，118：317—339.

[20]? 劉國(guó)勇，趙鵬鵬，劉海平，等. 一種嵌套式X型結(jié)構(gòu)的高阻尼隔振器性能研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，48（2）：31—37.

LIU G Y，ZHAO P P，LIU H P，et al. Study on performance of a novel high-damping vibration isolator with nested X-shaped structure[J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2021，48（2）：31—37. （In Chinese）

[21]? LIU H P，ZHAO P P. Displacement transmissibility of a four-parameter isolator with geometric nonlinearity[J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics，2020，20（8）：2050092.

[22]? WU Z，JING X，BIAN J，et al. Vibration isolation by exploring bio-inspired structural nonlinearity[J]. Bioinspiration & Biomimetics，2015，10（5）：056015.

收稿日期：2021-01-26

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51405014），National Natural Science Foundation of China（51405014）;安標(biāo)國(guó)家礦用產(chǎn)品安全標(biāo)志中心科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目（2019ZL004，2019ZL005），Anbiao National Mining Product Safety Mark Center Science and Technology Innovation Fund Project（2019ZL004，2019ZL005）

作者簡(jiǎn)介：朱冬梅（1978—），女，河北衡水人，北京科技大學(xué)副教授，博士

通信聯(lián)系人，E-mail：liuhaiping@ustb.edu.cn