徐曉惠，楊繼斌

（西華大學汽車測控與安全四川省重點實驗室，四川 成都 610039）

神經網(wǎng)絡在聯(lián)想記憶、優(yōu)化問題求解、圖像處理等多個領域得到了越來越多的應用[1-3]，因此受到學者們的廣泛關注。按照信號的性質不同，神經網(wǎng)絡可分為實值神經網(wǎng)絡(Real-valued neural networks)、復值神經網(wǎng)絡(Complex-valued neural networks)及四元數(shù)神經網(wǎng)絡(Quaternion-valued neural networks)。對于特殊場合的應用，比如彩色圖像處理、陣列信號處理、風速預報等，實值神經網(wǎng)絡和復值神經網(wǎng)絡已經不能滿足需求，而四元數(shù)作為復數(shù)理論在某種意義上的擴展在這些方面具有極大的優(yōu)勢[4]。由于乘法的不可交換性，四元數(shù)神經網(wǎng)絡的性質比實值神經網(wǎng)絡和復值神經網(wǎng)絡更為復雜，而平衡點穩(wěn)定性的研究是神經網(wǎng)絡應用的前提條件；因此，四元數(shù)神經網(wǎng)絡的動態(tài)行為的研究引起了學者們的關注。文獻[5]研究了一類具有參數(shù)不確定性和脈沖干擾的四元數(shù)神經網(wǎng)絡的動態(tài)行為，并得到了確保系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充分條件，然而在模型中沒有考慮神經元之間信號傳輸?shù)难訒r問題。文獻[6 -7]在四元數(shù)神經網(wǎng)絡模型中引入了固定延時?？紤]到系統(tǒng)神經元個數(shù)較多，且不同神經元之間的信號傳輸所需要的時間不斷變化；因此，文獻[8 -10]在不同類型的四元數(shù)神經網(wǎng)絡模型中引入了可變時滯。在研究四元數(shù)神經網(wǎng)絡的動態(tài)行為時有3 種主流的研究方法，分別為LMI 方法[9-12]、加權Lyaounov 函數(shù)方法[7,13-14]和Cauchy 收斂原理[15]。學者們[7,9,11-15]得到了判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。文獻[7,9,11 -15]的穩(wěn)定性條件中均含有自由變量，在實際應用時對自由變量的選擇很大程度上依賴于人們的經驗，選擇不當會導致其他參數(shù)選擇范圍變小，進而使得設計的系統(tǒng)較為保守。此外，矢量Lyapunov 函數(shù)法在分析神經網(wǎng)絡的動態(tài)行為時具有一定的優(yōu)勢，如函數(shù)構造形式簡單、穩(wěn)定性條件較為緊湊、無自由變量等。目前還沒有學者采用矢量Lyapunov 函數(shù)法對四元數(shù)神經網(wǎng)絡的穩(wěn)定性進行研究。

基于以上分析，本文將在一類四元數(shù)神經網(wǎng)絡模型中考慮可變時滯后，利用矢量Lyapunov 函數(shù)法和M 矩陣相關性質，研究該系統(tǒng)在平衡點的全局指數(shù)穩(wěn)定性，并得到保守性較低且形式緊湊的穩(wěn)定性判據(jù)。

1 預備知識和模型描述

首先給出一些符號定義。令 R，C和 Q分別表示實數(shù)域，復數(shù)域和四元數(shù)域。

對于一個四元數(shù)z=z(0)+z(1)i+z(2)ι+z(3)κ ∈Q(z(q)∈R，q=0,1,2,3)。Re(z)=z(0)表示z的實部，Im(z)=z(1)i+z(2)ι+z(3)κ表示z的虛部，其中i，ι和κ分別代表虛數(shù)單位。

首先給出四元數(shù)的Hamilton’s 規(guī)則[15]：

對于兩個四元數(shù)，即z=z(0)+z(1)i+z(2)ι+z(3)κ ∈Q和y=y(0)+y(1)i+y(2)ι+y(3)κ ∈Q，加法和乘法運算規(guī)則分別如下：

本文考慮如下模型：

在系統(tǒng)(4)中，z(t)=(z1(t),z2(t),···,zn(t))T∈Qn代表神經元狀態(tài)向量，D=diag(d1,d2,···,dn)∈Rn×n表示自反饋連接矩陣，其中dm＞0，m=1,2,···,n。f(z(t))=(f1(z1(t)),f2(z2(t)),···,fn(zn(t)))T∈Qn代表神經元激活函數(shù)。A=(amj)n×n∈Qn×n和B=(bm j)n×n∈Qn×n為神經元之間的連接矩陣。J=(J1,J2,···,Jn)T∈Qn為外部輸入向量。τmj(t)表示神經元之間的傳輸延時，τmj(t)是有界函數(shù)且滿足τM=maxm,j∈{1,2,···,n}supt≥t0τmj(t)＞0(m,j=1,2,···,n)。

假設1激活函數(shù)fj(zj(·))滿足fj(0)=0。對于任意給定zj,yj∈Q，存在常數(shù)＞0 (q,q?=0,1,2,3,j=1,2,···,n)使得：

定義1若對于所有的J∈Qn和t≥t0，存在常數(shù)Γ ＞0和λ ＞0使得不等式Γexp(-λ(t-t0))成立，則平衡點～z是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

下面將系統(tǒng)(4)分解為1 個實部系統(tǒng)和3 個虛部系統(tǒng)：

其中：

2 穩(wěn)定性條件

此時初始條件形式變?yōu)棣譵(s)=φm(s)-(m=1,2,···,n)。顯然系統(tǒng)(12)—(15)的原點是指數(shù)穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(11)的平衡點為指數(shù)穩(wěn)定的。

下面定義與系統(tǒng)(12)—(15)相關的4 個函數(shù)：

計算Vk(t,(t))k=1,2,···,n沿(13)的右上導數(shù)，并考慮到假設1，對所有，計算有：

注1：由式(5)可知：模型(4)中的激活函數(shù)在進行分解時滿足強耦合條件，而文獻[5,8 -9,11,16]中的激活函數(shù)滿足弱耦合條件，選擇激活函數(shù)時受到限制；因此，本文的假設條件更具有一般性。

注2：基于矢量Lyapunov 函數(shù)法和M 矩陣理論，定理1 以矩陣的形式給出了確保系統(tǒng)(4)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。該判定矩陣中只包含系統(tǒng)自反饋系數(shù)、關聯(lián)矩陣和激活函數(shù)，不含有任何待定條件或自由變量，相對文獻[7,9,11 -15]中的穩(wěn)定性條件，是一種較為直接的判據(jù)。此外，該判據(jù)形式緊湊且計算容易，在實際應用時更為方便和直觀。

3 數(shù)值仿真

考慮如下系統(tǒng)：

注3：文獻[15]也給出了判定系統(tǒng)(27)的解指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。將系統(tǒng)(27)的假設條件代入到文獻[16]的推論4 中的穩(wěn)定性條件，其他參數(shù)同文獻[15]中的算例，計算結果如下：

圖1 系統(tǒng)(27)的狀態(tài)曲線

由上面計算結果可知，文獻[15]推論4 中的穩(wěn)定性條件顯然是不成立的，因此根據(jù)推論4 無法判斷出系統(tǒng)(27)的穩(wěn)定性。然而，根據(jù)仿真結果（見圖1）可以看出系統(tǒng)(27)的狀態(tài)曲線是收斂的，同時本文定理1 也判斷出了系統(tǒng)(27)的穩(wěn)定性結論。因此，本文的穩(wěn)定性條件給出的參數(shù)范圍更廣，具有更低的保守性。

4 結論

本文建立了一類具有可變時滯的四元數(shù)神經網(wǎng)絡的數(shù)學模型，在假定激活函數(shù)滿足強耦合條件的情況下，利用M 矩陣理論和矢量Lyapunov 函數(shù)法分析了該系統(tǒng)平衡點的全局指數(shù)穩(wěn)定性，并給出了相關的穩(wěn)定性判據(jù)。本文穩(wěn)定性條件不僅形式簡單易于應用，并且具有較大的參數(shù)范圍。最后，本文通過給出的數(shù)值仿真算例驗證了所得結論的正確性和低保守性。