邰俊淑

[摘? 要] 利用數(shù)學習題幫助學生鞏固知識和查缺補漏，是培養(yǎng)學生獨立思考問題、解決問題，發(fā)展學生思維能力，建構完整知識體系所必不可少的教學手段. 因此習題課應具有方向性、層次性、靈活性、探究性，從而開闊學生思維，激發(fā)學生智慧.

[關鍵詞] 數(shù)學習題;思維能力;激發(fā)

要學好數(shù)學，就要注重學生思考力的提升，而要提升思考能力，思維訓練是必不可少的. 那么，要進行思維訓練就要借助習題的力量，通過對習題的延伸和變形，逐漸提升學生的思維能力和思維水平. 筆者以常見的幾何題為例，利用題目演變來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和數(shù)學能力.

原型題——讓思維生“根”

原型題為基礎常規(guī)題，主要考查學生對基本知識點、基本問題的掌握情況. 原型題的設置可以使每個學生都積極地參與其中，充分地調(diào)動學生學習的積極性和自信心，為后期的思維拓展打下堅實的基礎.

師：如圖1，已知△ABC與△CDE均為等邊三角形，C為AE上一點，求證：AD=BE. （教師PPT展示題目和圖形）

生1：由△ABC和△CDE為等邊三角形，可得AC=BC，CE=CD，又已知∠BCE=∠DCE+∠BCD，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠ACB=∠ECD=60°，即∠ACD=∠BCE，根據(jù)SAS定理可得△BCE≌△ACD，所以AD=BE.

師：很好，解題思路清晰，通過全等證明了結論.

本題為基礎題，解題思路簡單. 在幾何題目的證明中，兩邊相等習慣通過證明兩個三角形全等來解決，為基本的數(shù)學解題思路，絕大多數(shù)學生在此題的證明中顯得游刃有余. 通過基礎的架設，讓每個學生都有所收獲，從而讓思維生“根”，為后期的生長做好鋪墊.

拓展題——讓思維發(fā)“芽”

要讓思維可以發(fā)“芽”就需要在基本問題上有所提高，但跨度又不宜過大，要讓學生可以想得到，夠得著，讓思維慢慢地生長.

師：如圖2，若AD與BC相交于G，CD與BE相交于H，AD與BE相交于F，在圖1的基礎上，你們能發(fā)現(xiàn)幾組全等三角形呢？（教師給出題目后，學生積極思考）

生2：可以得到△BCH≌△ACG，△DCG≌△ECH. （反應快的學生迅速給出答案）

師：那請你說一下自己的想法. （教師看有些基礎薄弱的學生未能理解，讓學生進一步解答）

生2：在圖1的基礎上可知∠CAG=∠CBH，∠BCH=∠ACG=60°，因此可以得到△BCH≌△ACG. 另外一個全等也是同樣的道理. （證明過程給出后，未理解的學生恍然大悟）

師：很好，根據(jù)圖1，我們添加了3個點，又得到了兩組全等三角形.

本題是在前題的基礎上添加了3個點，略有提高，利用圖1中的△BCE≌△ACD，得到了另外兩組角對應相等，再根據(jù)圖1的證明思路輕松地證明了另外兩組三角形全等. 這樣，對題目的簡單變形，讓學生領悟前題的結論為下題的起點，思維要善于遷移，從而拓展學生思維的寬度，發(fā)展學生的思維. 同時，教師采用層層遞進的方式展開，使探究更具操作性，有助于學生學習積極性的培養(yǎng).

延伸題——讓思維抽“枝”

讓思維不斷延伸，才能讓思維長出茂密的“枝”，才能發(fā)現(xiàn)問題間的內(nèi)在聯(lián)系，教師合理地利用和引導，從而使學生形成獨特的思維脈絡，進行個體知識體系的構建.

師：如果我們連接GH，看看又可以有什么收獲呢？（教師繼續(xù)引導學生進行思考）

生3：可以得到△CHG為等邊三角形.

師：那么GH與AE有什么關系嗎？

生4：GH∥AE，因為∠HGC=∠ACG=60°.

師：那么連接CF，看看CF與∠AFE又有什么關系呢？

為避免題目過于發(fā)散，學生無法抓住重點，教師直接給出要證明的結論.

師：大家一起回憶一下，之前如何證明一條線平分一個角呢？

生4：可以根據(jù)角平分線的逆定理進行證明.

師：很好，那我們順著這個思路來驗證一下吧.

生5：如圖4，過C點作CM⊥AD，CN⊥BE. 根據(jù)上面的結論可以直接推導出Rt△ACM≌Rt△BCN，即得到CM=CN. （學生在圖3的基礎上畫出了兩條垂線）

在圖2的基礎上，教師繼續(xù)引導學生進行思考，GH和CF兩條線的引出給題目又增添了一份精彩，尤其在圖4的應用中，利用角分線的逆定理，使學生探究時不輕易得手，但又不至于無計可施，有效地調(diào)動了學生思考和探究的積極性，思維得到了有效延伸.

變圖題——讓思維開“花”

以原型題為依托，進行適當?shù)亍白儭?，使思維向縱向挖掘，向橫向延伸，從而培養(yǎng)學生知識綜合應用能力，將思維拉至學生的最近發(fā)展區(qū)，進而提升思維的活躍度和靈活度.

師：現(xiàn)在將△CDE順時針旋轉(zhuǎn)，得到圖5. 這個圖形大家熟悉嗎？

學生齊聲回答：熟悉.

師：那現(xiàn)在請大家先在紙上繪制一下圖形，看看你是怎么操作的.

生6：我是這樣畫的，先畫出邊AC和邊CE，兩線相交于點C，以AC和CE為邊繪制△ABC和△CDE. 連接AD和BE得到圖6. （教學中教師引導學生構建圖形模型，培養(yǎng)學生構圖能力）

師：很好，圖形畫出來了，那么大家分組討論一下，這個圖形有什么性質(zhì)？

生7：利用原型題的證明方法進行求證，可以得到AD=BE.

師：很好！那∠DFE的度數(shù)可以求嗎？（題目給出后，學生開始帶著問題繼續(xù)探究）

生8：∠DFE為60°. （有些學生疑惑了）

生8：∠CAD=∠CBE，∠BAD=60°-∠DAC，∠ABE=60°+∠CBE，所以得到∠BFA=60°. （思路給出后，大家都點頭表示贊同）

師：特別厲害，那么你們課下自己嘗試驗證一下如果逆時針旋轉(zhuǎn)△CDE，看看有什么不同？

圖形通過旋轉(zhuǎn)，讓學生體驗另一種變化，通過問題∠DFE的度數(shù)是否可求，引導學生進行下一步的思考. 通過前幾題的鋪墊，大多數(shù)學生都可以清晰地掌握變圖后的性質(zhì)，通過圖形的旋轉(zhuǎn)，使學生的思維更加靈活.

轉(zhuǎn)換題——讓思維結“果”

當學生的思維上升到一定高度時，要放手讓學生自主地探究和建構，從而讓思維結“果”，只有放手讓學生去探究、去體驗、去感受，才能讓思維得到真正的錘煉，從而將思維推向高潮.

師：現(xiàn)在大家觀察一下圖6. 若已知∠ABC=30°，△ACD為等邊三角形，AB=6，BC=8，試求CD.

生9：老師，圖6為圖5的變式，圖5中△CDE為順時針旋轉(zhuǎn)，而此圖等邊三角形ACD為逆時針旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)后將圖5上B點及其B點連接線去除就得到圖6.

師：真的很棒，你們都發(fā)現(xiàn)了嗎？（很多學生點點頭，表示也有同樣的想法）

師：那請大家分組探究一下，求出CD的長度. （分組探究后，學生很快有了答案）

生10：如圖7，以AB為等邊三角形的一條邊，構建等邊三角形ABE. 因為∠ABC=30°，可得∠EBC=90°. 連接CE，CE=BD，BE=AB=6，BC=8，根據(jù)勾股定理可求CE=10，因此BD也為10.

在生9的變式思路給出后，學生輕松地利用圖5建構了圖7，通過圖1的結論，輕松地將求BD轉(zhuǎn)換為求CE，利用勾股定理得到了最后的答案. 題目的演繹以基礎原題為起點，用拓展題和延伸題慢慢爬坡，變圖、構圖作為最后的升華，充分地展現(xiàn)了數(shù)學的“奇”和數(shù)學的“美”，讓學生的思維健康地生長，從而促進學生全面素質(zhì)的提高.

本節(jié)習題課思路清晰，首先，從常規(guī)基礎題出發(fā)，充分利用了等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)，讓學生思維得以生“根”;其次，對原題進行變形，通過增加點、連接線，縱向拓展和挖掘，層層深入，讓學生思維逐漸生長;最后，去除了一個等邊三角形，讓學生通過前題思路進行另一等邊三角形的建構，充分地培養(yǎng)了學生觀察、變形、分析和圖形建模的能力. 習題采用由淺入深、由簡到難的方法，由特殊到一般層層遞進，螺旋上升，過渡自然流暢，充分地展現(xiàn)了數(shù)學思維的培養(yǎng)過程. 同時，通過本節(jié)習題課的學習，學生不僅對原題有了深刻的認識，又有效地提升了學生的數(shù)學思維能力和應用能力.

總之，教師要上好一節(jié)習題課，簡單地答案講解顯然是不夠的，應找到知識的“生長點”與“延伸點”，認真鉆研，精心設計，將題目置于整個知識體系中，培養(yǎng)學生通過解決一道題來解決一類問題的數(shù)學應用能力. 另外，習題課的課堂應以學生為主體，發(fā)揮學生的主體能動性，讓學生可以從不同的角度、不同的層次進行理解和分析，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，從而全面提高學生的思維水平.