楊 宇, 吳 達, 高 峰, 鄧建軍

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

在軍事領域,地海雜波是影響導彈雷達導引頭跟蹤精度最主要的因素之一,由于超低空目標受多徑效應的影響,使得雷達導引頭在進行跟蹤時獲取雜波增多,跟蹤精度下降[1-2]。防空導彈雷達導引頭下視對地/海面上超低空目標探測時,目標越低與地/海面復合越強[3-4]。多徑干擾的存在,使得防空導彈雷達導引頭匹配濾波后出現(xiàn)多個分離或時間混疊的目標信號,導致防空導彈雷達導引頭在某些距離段的目標回波衰減或增強,使目標回波信號劇烈起伏,甚至出現(xiàn)對消,影響雷達的測量精度和檢測性能,從而造成雷達探測能力降低甚至目標“漏檢”[5-6]。參考國外的文獻資料可知,通過凈化目標回波信號背景,可以從源頭上控制多徑和雜波,達到更好的對抗多徑、雜波的效果。如果導彈按布儒斯特角攻擊目標,可有效改善超低空攔截性能[6-7]。文獻[8-13]針對地面目標進行打擊,增強毀傷效果,對末端攻擊角度約束進行深入研究。文獻[14-15]對攔截高空目標的終端角度約束做了補充,但是以上研究只能在彈目交匯處將攻角約束至期望的角度,以增強毀傷效果。而在超低空目標攔截時,通過找到一個最優(yōu)的彈目視角,即布儒斯特角可以讓導引頭受到的多徑干擾最小,從而有效增強地空導彈的超低空攔截性能。

本文利用模型預測控制能以期望的性能跟蹤參考信號,進而抑制跟蹤誤差的特點[16-17],設計了模型預測制導律(model predictive guidance law, MPGL),使導彈在進行超低空目標攔截時,通過調(diào)整相關參數(shù),將彈目視線角度盡快調(diào)整至布儒斯特角度范圍。為了補償超低空目標機動擾動對制導精度的影響,設計了能夠?qū)δ繕思铀俣冗M行實時估計的滑模擾動觀測器,并以此為基礎,設計了一種復合MPGL(composite MPGL,CMPGL)。仿真結(jié)果表明,采用所設計的CMPGL,可有效保證導彈沿著期望的布儒斯特角對超低空目標進行跟蹤攔截,同時將視線角速率收斂至0,使多徑干擾降到最小。

1 布儒斯特效應與超低空攔截

1.1 布儒斯特效應

布儒斯特角是指對于特定介質(zhì)表面,反射角度會隨入射角明顯變化,光反射強度最弱的角度稱為布儒斯特角[18]。對雷達而言,同樣存在這樣的角度敏感效應,稱之為雷達布儒斯特效應[5,19]。

光學布儒斯特效應是光一次反射的結(jié)果,而雷達導引頭布儒斯特效應是電磁波在目標與環(huán)境之間多次散射的結(jié)果,形成的目標-環(huán)境耦合散射效應,產(chǎn)生了多徑干擾信號,如圖1所示，多徑干擾強度最小的角度就是布儒斯特角。在國內(nèi),隋棟訓等[19]通過電磁散射的原理對雷達導引頭的布儒斯特角進行建模分析得出,不同的外部因素下,布儒斯特角具有不同的大小。例如,在沙漠環(huán)境中布儒斯特角可能達到30°,而在海洋環(huán)境中,布儒斯特角一般在10°左右。

圖1 多徑干擾示意圖

1.2 超低空攔截模型

攔截彈攔截低空目標時,通常會采取高空俯沖攻擊的方式,從而擴大雷達導引頭探測目標的視野范圍。為了設計滿足特定視線角約束的攔截彈道,只需要分析縱向平面的攔截情況。將攔截彈和目標視為質(zhì)點,得到攔截彈與低空目標的相對運動模型如圖2所示。

圖2 超低空攔截模型

假設防空導彈和攔截目標的速度保持一定,防空導彈和攔截彈的運動方程如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

對式(1)和式(2)分別求導可得

(5)

(6)

式中,ATR=ATsinηT;AMR=AMsinηM;ATq=ATcosηT;AMq=AMcosηM。

2 MPGL設計

通過超低空攔截模型中的式(5)和式(6),可以看出攔截彈的指令加速度與超低空目標的機動方式或指令加速度密切相關。在攔截超低空目標的全過程中,攔截彈的指令加速度不是一成不變的,攔截彈必須根據(jù)目標的機動加速度實時調(diào)整指令加速度的大小,從而引導攔截彈最終擊中目標,同時結(jié)合模型預測控制的思想,設計如下的制導律

AMq=ATq+Av

(7)

式中,Av是待設計的虛擬控制率,將式(7)代入式(6)可得

(8)

(9)

模型預測控制的思想就是設計控制律u使系統(tǒng)輸出y能夠很好地跟蹤所設計的期望值y*。而在跟蹤攔截超低空目標時,就是結(jié)合模型預測控制的思想設計制導律使導彈目標的視線角q以良好的性能跟蹤期望的視線角即布儒斯特角q*。

為了得到超低空攔截時對所期望的布儒斯特角具有良好的跟蹤性能,結(jié)合最優(yōu)控制理論,構造出動態(tài)能量損失函數(shù),本文的目的就是使該損失函數(shù)最小化,從而將彈目視線角約束至布儒斯特角。

(10)

利用最優(yōu)控制理論及通用模型預測控制的求法[17],可求得所設計的虛擬控制率為

(11)

矩陣中各元素為

式中,i,j=1,2,…,3+m。通過以上對制導律的推導過程,可以得出結(jié)論,基于模型預測控制得出的制導律僅和目標機動加速度ATq,控制階數(shù)m以及預測周期TP相關。若令ATq=0,聯(lián)立式(7)和式(11),得到MPGL為

(12)

3 CMPGL的設計

3.1 滑模擾動觀測器

式(12)所示的制導律由于忽略了目標機動加速度的影響,所以會大大降低超低空攔截的精度。在實際的作戰(zhàn)過程中,攔截彈必須依據(jù)目標的機動加速度來實時調(diào)整自身的加速度,從而不斷調(diào)整飛行軌跡來對目標進行有效攔截。因此設計了一種滑模擾動觀測器來對低空目標的機動加速度進行有效估計。

(13)

設計滑模擾動觀測器為

(14)

證明先給出如下的引理

(15)

式中,V(x0)是V(x)的初值。

(16)

構造李雅普諾夫函數(shù)為

(17)

將式(17)寫成矩陣的形式為

V=ePeT

(18)

式中,

e=[|e1|1-1/psgn(e1)e2]

因k1>0,k2>0,p>2,可得V是正數(shù),此時有

λmin(P)‖e‖2≤V≤λsup(P)‖e‖2

(19)

式中,λmin(P),λsup(P)分別表示矩陣P的較小和較大特征值;‖e‖為e的范數(shù)。

對所構造的李雅普諾夫函數(shù)V求導,可得

(20)

式(1)又可以寫成

(21)

式中,

B=[-k12]

由于k1>0,k2>0,p>2,可以得到Q是正定矩陣。

|e1|-1/p≥‖e‖-1/(p-1)

(22)

結(jié)合式(19)、式(21)和式(22),可得

(23)

當λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-ε‖B‖>0時,式(23)可寫為

(24)

式中,γ=λmin(Q)‖e‖(p-2)/(p-1)-ε‖B‖>0,根據(jù)引理1可知,觀測器的估計誤差e能在有限時間內(nèi)收斂至如下的范圍內(nèi)

(25)

證畢

3.2 CMPGL

將觀測器的估計值引入到式(13)所示的MPGL中,得到CMPGL為

(26)

定理 2式(26)所示的制導律可以保證視線角收斂至期望的布儒斯特角,同時保證視線角速率收斂至0。

(27)

構造系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為

(28)

對所構造的李雅普諾夫函數(shù)Vr求導,可得

(29)

在時間[0,t]內(nèi),對不等式求解可得

Vr≤[Vr(0)+δ2/δ1]eδ1t-δ2/δ1

(30)

(31)

由漸進穩(wěn)定性理論可知,狀態(tài)變量會在有限的時間內(nèi)收斂至平衡點0。從而降低跟蹤攔截超低空目標時多徑效應的影響。

證畢

仿照上面的證明過程,可以證明系統(tǒng)在式(12)的作用下,關于目標機動加速度ATq有界輸入-有界輸出是穩(wěn)定的。

4 仿真校驗

仿真 1CMPGL與MPGL的攔截性能對比

為了驗證本文設計的CMPGL對低空目標攔截的適用性及其性能的優(yōu)越性,將其與式(12)所示的MPGL進行對比,通過兩種制導律對沙漠環(huán)境中的超低空機動目標進行攔截仿真驗證。

設敵方來襲的超低空目標的初始高度為YT=10 m,水平位置為XT=7 800 m,低空目標的初始飛行速度為VT=200 m/s,其初始彈道傾角為θT=180°,機動加速度為AT=-20sin(0.5πt);我方攔截彈的初始高度為YM=3 500 m,水平位置為XM=0 m,攔截彈的初始速度為VM=400 m/s,同時其初始彈道傾角θM=-45°。式(12)和式(26)所示的制導律中的參數(shù)取為m=1,TP=8,k1=30,k2=300,p=2.1仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 CMPGL與MPGL布儒斯特攔截彈道

由圖3可以看出,式(12)所示的MPGL和式(26)所示的CMPGL都能將彈目視線角約束至環(huán)境所對應的布儒斯特角附近。CMPGL與MPGL視線角響應、角速率響應、攔截彈加速度指令如圖4～圖6所示。

圖4 CMPGL與MPGL視線角響應曲線

圖5 CMPGL與MPGL視線角速率響應曲線

圖6 CMPGL與MPGL攔截彈加速度指令

仿真 2參數(shù)m的選取

在以式(26)所示的制導律攔截超低空目標時,分析CMPGL的控制階數(shù)m對攔截性能的影響。此時,固定預測周期TP=10,控制階數(shù)m分別取0,1,2,其他參數(shù)的選取參照仿真1。

不同參數(shù)m的布儒斯特攔截彈道和視線角響應曲線如圖7和圖8所示。

圖7 不同參數(shù)m的布儒斯特攔截彈道

圖8 不同參數(shù)m的視線角響應曲線

由圖7和圖8可以看出,改變控制階數(shù)m的大小,攔截彈均可以通過調(diào)整飛行軌跡,并最終將彈目視線角調(diào)整至環(huán)境對應的布儒斯特角,從而對低空目標進行有效攔截。

不同參數(shù)m的視線角速率和攔截彈加速度響應曲線如圖9和圖10所示。

圖9 不同參數(shù)m的視線角速率響應曲線

圖10 不同參數(shù)m的攔截彈加速度指令

圖9顯示,通過增大控制階數(shù),可以加快彈目視線角收斂的速度。但是由圖10可看出,若過度增大控制階數(shù),攔截彈的起始需用過載會迅速增大,甚至會超出彈體結(jié)構的承受能力。所以在選取參數(shù)時,需要在視線角的收斂速率和彈體的需用過載之間折中考慮。

仿真 3參數(shù)TP的選取

分析CMPGL的預測周期TP對攔截性能的影響,此時,固定控制階數(shù)m=1,預測周期TP分別取8,10,15,其他參數(shù)的選取參照仿真1。

不同參數(shù)TP的布儒斯特攔截彈道、視線角響應曲線、視線角速率響應曲線和攔截彈加速度指令情況如圖11～圖14所示。

圖11 不同參數(shù)TP的布儒斯特攔截彈道

圖12 不同參數(shù)TP的視線角響應曲線

圖13 不同參數(shù)TP的視線角速率響應曲線

圖14 不同參數(shù)TP的攔截彈加速度指令

圖11可以看出,改變預測周期TP的大小,攔截彈均能以期望的布儒斯特角攔截目標。同時由圖12和圖13可知,縮短預測周期TP,可以加快彈目視線角收斂至期望布儒斯特角的速度。但是由圖14可看出縮短預測周期,攔截彈的起始需用過載會迅速增大,甚至會超出彈體結(jié)構的承受能力。所以在選取參數(shù)TP時,需要在視線角的收斂速率和彈體的需用過載之間折中考慮。

仿真 4基于CMPGL的超低空攔截

為了驗證CMPGL對超低空攔截及降低多徑效應的適用性,分別對沙漠環(huán)境下的勻速目標及機動目標進行超低空攔截仿真驗真。工程中,由于動力裝置和技術條件的限制,目標的機動能力也會受到限制,假設我方攔截彈的最大過載為20 g。由仿真2和仿真3可知,對CMPGL攔截性能及攔截過載影響最大的是控制階數(shù)m和預測周期TP的選取,折中考慮后,選取m=1,TP=10。目標1、目標2和攔截彈的初始參數(shù)設置參照仿真1,目標1為勻速來襲超低空目標,目標2為機動目標,其加速度為AT=-20sin(0.5πt)。

CMPGL布儒斯特攔截彈道情況如圖15所示。

圖15 CMPGL布儒斯特攔截彈道

CMPGL視線角響應曲線和角速率響應曲線如圖16和圖17所示。

圖16 CMPGL視線角響應曲線

圖17 CMPGL視線角速率響應曲線

圖16和圖17表明,對于沙漠環(huán)境下的勻速運動或機動運動的目標,CMPGL總可以將彈目視線角大小約束至布儒斯特角30°附近,同時保證視線角速率收斂至0。

CMPGL攔截彈加速度指令情況如圖18所示。

圖18 CMPGL攔截彈加速度指令

圖18表明,攔截沙漠中的低空目標時,本文所設計的制導律可確保攔截彈的指令加速度最終收斂穩(wěn)定在0附近。對于勻速飛行的超低空目標而言,由于其飛行軌跡不會改變,所以攔截彈的加速度也相應地收斂至0,維持視線角至布儒斯特角不變。對于機動飛行的超低空目標,由于其飛行軌跡時刻改變,攔截彈需要根據(jù)目標的飛行軌跡實時調(diào)整自身的加速度,從而保證視線角維持至布儒斯特角不變。

5 結(jié) 論

根據(jù)模型預測控制能以期望的性能跟蹤參考信號和抑制跟蹤誤差設計的MPGL可保證在跟蹤攔截超低空目標的過程中,將視線角約束至期望的布儒斯特角附近。針對超低空目標機動擾動對制導精度的影響,設計滑模擾動觀測器對目標的加速度進行估計,在此基礎上設計了一種CMPGL。結(jié)果表明,本文設計的CMPGL可有效將彈目視線角約束至環(huán)境對應的布儒斯特角,從而提高對超低空目標的攔截性能,為超低空反導領域提供一定的理論借鑒。