彭 芳, 吳 軍, 王 帥, 向建軍

(1. 空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院, 陜西 西安 710038;2. 空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

機(jī)載預(yù)警雷達(dá)通過測(cè)量目標(biāo)的位置和運(yùn)動(dòng)特性,為作戰(zhàn)系統(tǒng)和武器系統(tǒng)提供探測(cè)信息保障,是預(yù)警機(jī)完成空中警戒、控制引導(dǎo)、作戰(zhàn)指揮與空戰(zhàn)場(chǎng)管理等多樣化作戰(zhàn)任務(wù)的核心傳感器。隨著數(shù)字技術(shù)的快速發(fā)展,機(jī)載預(yù)警雷達(dá)正在由傳統(tǒng)的模擬有源相控陣?yán)走_(dá)向數(shù)字陣列雷達(dá)體制演變,在實(shí)現(xiàn)超低副瓣、低截獲概率、提高強(qiáng)雜波背景中弱小目標(biāo)檢測(cè)能力、抗干擾能力等方面具有優(yōu)良的性能[1-2]。接收數(shù)字波束形成是雷達(dá)數(shù)字信號(hào)處理階段的一個(gè)關(guān)鍵流程,把陣列天線輸出的信號(hào)進(jìn)行A/D數(shù)字化后送到數(shù)字波束形成器的處理單元,完成對(duì)各種信號(hào)的復(fù)加權(quán)處理,形成所需的波束信號(hào)。該技術(shù)充分利用了陣列天線所獲取的目標(biāo)空間信息,通過信號(hào)處理使波束獲得超分辨率和低旁瓣的性能,完成空域?yàn)V波以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的有效檢測(cè),以及對(duì)空間干擾信號(hào)的置零。波束形成有許多形式和算法,其中自適應(yīng)波束形成算法[3-4]能適應(yīng)各種外界環(huán)境的變化,可實(shí)時(shí)地將權(quán)值調(diào)整到最佳位置,對(duì)所要觀測(cè)的目標(biāo)能自適應(yīng)形成一個(gè)很窄的主波束,對(duì)干擾方向自動(dòng)形成零陷,以使干擾信號(hào)得到最大限度的抑制。

典型的自適應(yīng)波束形成算法主要分為閉環(huán)算法與開環(huán)算法,其中閉環(huán)算法包括最小均方誤差(least mean square,LMS)算法、差分最陡下降(difference steepest descent,DSD)算法、加速梯度(accelerating gradient,AG)算法以及這些算法的變形。這些算法相對(duì)簡(jiǎn)單,實(shí)現(xiàn)方便,但其主要缺點(diǎn)是搜索靠近極值時(shí)收斂變慢,可能會(huì)出現(xiàn)震蕩,或出現(xiàn)局部最優(yōu)化的情況,收斂速率受到系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的限制。波束形成算法的性能主要表現(xiàn)為穩(wěn)健性、收斂速度、收斂精度等3個(gè)方面,針對(duì)非理想情況下的自適應(yīng)波束形成算法性能下降問題,相關(guān)的穩(wěn)健算法被陸續(xù)提出,如對(duì)角加載、特征子空間算法、不確定集算法和協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法等[5-6]。文獻(xiàn)[7]中提出一種導(dǎo)向矢量和協(xié)方差矩陣聯(lián)合迭代估計(jì)的穩(wěn)健波束形成算法,計(jì)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[8]中提出一種基于最小敏感度的廣義線性自適應(yīng)波束形成算法以適應(yīng)低信噪比(signal to noise ratio,SNR)和小快拍數(shù)的應(yīng)用環(huán)境,主要針對(duì)無線通信系統(tǒng)中的一類非平穩(wěn)信號(hào)。文獻(xiàn)[9]中將改進(jìn)的粒子群算法應(yīng)用于線性約束最小方差(linearly constrained minimum variance, LCMV)自適應(yīng)波束形成器,在加深零陷和降低旁瓣等方面效果顯著,但是對(duì)陣元數(shù)較多的高維復(fù)雜問題處理時(shí)容易陷于早熟和維度爆炸現(xiàn)象。

基于機(jī)載預(yù)警雷達(dá)上采用的三面陣天線結(jié)構(gòu),每個(gè)面的天線陣元數(shù)目多,針對(duì)傳統(tǒng)LMS算法在短快拍數(shù)條件下導(dǎo)致波束形成性能下降以及因迭代震蕩易收斂于局部最優(yōu)值的問題,提出一種基于隨機(jī)方差減小梯度下降(stochastic variance reduction gradient descent,SVRGD)的自適應(yīng)波束形成算法,即在每一輪迭代的內(nèi)部還有一個(gè)內(nèi)部的迭代,在進(jìn)行內(nèi)部迭代前用當(dāng)前的權(quán)值計(jì)算一次所有樣本的平均梯度,利用全局的梯度信息對(duì)每次用于模型更新的梯度進(jìn)行修正,通過縮減梯度估計(jì)的方差達(dá)到提高梯度計(jì)算準(zhǔn)確性的目的,能有效改善波束形成和抗干擾的質(zhì)量,亦適用于目標(biāo)函數(shù)不可微和非平穩(wěn)的情形[10-13]。

1 LMS自適應(yīng)波束形成模型

1.1 面陣方向矩陣與接收信號(hào)模型

面陣列實(shí)際上可以看做線陣在二維空間中的拓展,如圖1所示,假設(shè)均勻平面陣位于XOZ面內(nèi),陣列陣元數(shù)為M×N,水平方向和垂直方向的陣元間距分別為dx和dz,信源數(shù)為K。Θi=(θi,φi),i=1,2,…,K,θi和φi分別代表第i個(gè)信源的俯仰角和方位角,其含義如圖2所示。其中,O≤θi<90°,O≤φi<360°。

圖1 均勻面陣列結(jié)構(gòu)

圖2 均勻面陣入射角定義

以位于坐標(biāo)原點(diǎn)的陣元為參考,在空間中第i個(gè)任意陣元與處于原點(diǎn)的參考陣元之間的相位差為

(1)

式中,(xi,yi,zi)表示第i個(gè)陣元的坐標(biāo);λ為入射信號(hào)的波長(zhǎng)；φ為入射信號(hào)的方位角；θ為入射信號(hào)的俯仰角。由于yi的值為0,根據(jù)均勻直線陣的分析可知,x軸和z軸上的方向矩陣分別為

(2)

(3)

由圖1可知,子陣列1的方向矩陣為Ax,而子陣列2的方向矩陣就得考慮沿Z軸的偏移,每個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元的相位差就等于子陣列1的陣元的相位差加上-j2πdz·cosθ/λ,所以第M個(gè)子陣列的方向矩陣為AM=AxDM(Az),其中,DM(Az)表示由矩陣Az的第M行構(gòu)造的一個(gè)對(duì)角矩陣。所以可得子陣列1～子陣列M分別表示為

(4)

面陣列的方向矩陣可表示為

A(Θ)=[A1,A2,…,AM]∈CMN×K

(5)

陣列接收信號(hào)模型為

X(t)=A(Θ)S(t)+N(t)

(6)

式中,S(t)是空間源信號(hào),為K×1的列矢量；N(t)是陣元接收信號(hào)時(shí)的高斯白噪聲,為MN×1的列矢量。

1.2 LMS自適應(yīng)波束形成算法

LMS算法是一種基于LMS準(zhǔn)則,采用標(biāo)準(zhǔn)梯度下降優(yōu)化方法的迭代自適應(yīng)算法,其代價(jià)函數(shù)為接收信號(hào)的陣列輸出與期望信號(hào)的均方值,沿著代價(jià)函數(shù)的負(fù)梯度方向搜索,最終得到代價(jià)函數(shù)的最優(yōu)解。

其優(yōu)化問題可以表示為

(7)

式中,天線陣輸出信號(hào)為y(n)=WH(n)X(n),其中X(n)∈CMN×L,W(n)∈CMN×1,L為快拍數(shù);d(n)為期望信號(hào)。

將代價(jià)函數(shù)J(W)展開,有

J(W)=E[|d(n)|2]-2WHrxd+WHRxxW

(8)

式中,rxd是X(n)與d(n)的互相關(guān)矢量;Rxx是X(n)的自相關(guān)矩陣。采用標(biāo)準(zhǔn)梯度下降法求解式(7),即得LMS算法的權(quán)矢量更新公式:

W(k+1)=W(k)+2μe*(k)X(k)

(9)

式中,*表示共軛運(yùn)算;μ為步長(zhǎng)參數(shù),當(dāng)滿足0<μ<1/tr(RXX)時(shí),算法收斂。步長(zhǎng)因子的大小影響收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差,固定的步長(zhǎng)無法同時(shí)兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的優(yōu)良性能。

2 SVRGD波束形成算法原理與流程

2.1 SGD算法

在基于標(biāo)準(zhǔn)梯度下降的LMS波束形成算法中,每一步模型更新都需要計(jì)算所有樣本點(diǎn)的梯度,對(duì)于樣本數(shù)目比較多的時(shí)候代價(jià)較大。在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域,凸學(xué)習(xí)的目的是極小化代價(jià)函數(shù),隨機(jī)梯度下降(stochastic gradient descent,SGD)算法[9]作為一個(gè)更高效的算法,不要求基于精確的梯度值來更新迭代方向,而是通過取一個(gè)隨機(jī)方向的步長(zhǎng),即每次隨機(jī)從數(shù)據(jù)集中選擇一個(gè)樣本點(diǎn)it或者mini-batch進(jìn)行梯度更新,保證在每次迭代時(shí)該方向的期望值與梯度方向是相等的。

給定L個(gè)訓(xùn)練樣本(即快拍數(shù)),優(yōu)化問題可表示為

(10)

極小化J(W)的SGD算法過程描述如下:

步驟1參數(shù):標(biāo)量μ>0,整數(shù)T>0

步驟2初始化:W(1)=0

步驟3fort=1,2,…,T

以一個(gè)分布隨機(jī)選擇vt,使得

E[vt|W(t)]∈?J[W(t)]

(11)

更新

W(t+1)=W(t)-μvt

(12)

步驟4輸出

(13)

相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)梯度下降,SGD算法的優(yōu)勢(shì)是不僅可以用于代價(jià)函數(shù)不可微的情況,還可以減少每次更新的計(jì)算代價(jià),但是增大了梯度估計(jì)的方差,因此通過迭代輸出取平均的方法可以改善收斂速度[14-16],但仍不如標(biāo)準(zhǔn)梯度下降。

2.2 SVRGD算法

(14)

(15)

本文中,采用平均策略將每一次外循環(huán)中的所有內(nèi)循環(huán)快拍產(chǎn)生的權(quán)矢量取平均,作為下一次外循環(huán)迭代的初始值,采用平均策略的好處是,當(dāng)權(quán)值優(yōu)化迭代越靠近全局最優(yōu)值時(shí),可能會(huì)在最優(yōu)權(quán)值附近產(chǎn)生振蕩,取平均后可以逼近最優(yōu)解,提升收斂速度。算法過程描述如下:

步驟1初始化Wt(1)=0、Wj(1)=0;

步驟2fort=1,2,…,T;

(16)

步驟5forj=1,2,…,J;

步驟6從集合{1,2,…,L}中隨機(jī)選擇ij;

步驟9end for

(17)

步驟11end for

2.3 基于SVRGD的自適應(yīng)波束形成算法流程

利用式(5)和式(6)構(gòu)建XOZ面陣接收信號(hào)數(shù)據(jù)模型,自相關(guān)矩陣用下式進(jìn)行估計(jì):

(18)

迭代步長(zhǎng)μ滿足0<μ<1/tr(RXX),以保證基于梯度、隨機(jī)梯度的自適應(yīng)波束形成算法收斂,其中tr(RXX)表示矩陣的跡。基于SVRGD的權(quán)值迭代算法具體流程如下:

步驟1設(shè)定算法內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)的迭代次數(shù)J和T,初始化外循環(huán)和內(nèi)循環(huán)的權(quán)系數(shù)Wt(1)=0、Wj(1)=0;

步驟2進(jìn)行外循環(huán),由式(16)求取全體數(shù)據(jù)的平均梯度,其中e(k)可用式(7)求出;

(19)

(20)

步驟7重復(fù)迭代步驟4～步驟6,直到達(dá)到內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù)J,利用式(17)計(jì)算平均權(quán)系數(shù),并將其賦值給外循環(huán);

步驟 8重復(fù)步驟2～步驟7,輸出最后一次外循環(huán)的權(quán)系數(shù)WT作為自適應(yīng)波束形成的最優(yōu)權(quán)系數(shù);

步驟9計(jì)算陣列的輸出y(n)。具體公式如下:

3 算法仿真與分析

原始數(shù)據(jù)設(shè)置如下:M=16,N=16,λ=0.1 m,dx=dz=λ/2,θ0=90°,φ0=90°。

3.1 X-Z軸向均勻面陣方向圖特性分析

對(duì)所有陣元加權(quán)的輸出相加后得到陣列的輸出,取模值并歸一化后形成空間指定波束方向圖,如圖3所示。

圖3 16×16垂直向均勻面陣三維方向圖

由圖3可見,陣面為對(duì)稱分布,方位角與俯仰角的靜態(tài)方向圖完全一致,波束主瓣寬度為θ3 dB=φ3 dB=6.42°,第一旁瓣位于80°附近,旁瓣電平為-13.23 dB。

3.2 SVRGD算法波束形成與抗干擾性能分析

將SVRGD算法與SGD算法以及傳統(tǒng)的LMS算法的波束形成與抗干擾性能進(jìn)行對(duì)比分析。

設(shè)定3種算法的迭代步長(zhǎng)μ的取值均為1/[4tr(RXX)],滿足收斂條件;目標(biāo)信號(hào)是中心頻率為3 GHz,帶寬為5 MHz的線性調(diào)頻信號(hào);干擾源和噪聲均為高斯白噪聲,SNR為0 dB,干噪比(jammer to noise ratio, JNR)為10 dB;快拍數(shù)L=280;內(nèi)循環(huán)次數(shù)J=L;外循環(huán)次數(shù)T=5;目標(biāo)方向的俯仰角和方位角均為(90°,90°),兩個(gè)干擾源的俯仰角和方位角分別為(90°,60°)和(90°,100°);設(shè)定俯仰角為90°，對(duì)方位角進(jìn)行0°～180°的掃描,對(duì)陣元間距為0.05 m的16×16均勻面陣進(jìn)行仿真得到水平特性波束方向圖,如圖4所示。

從圖4可以看出,3種算法在目標(biāo)方向(方位角90°)都形成了主瓣,主瓣寬度基本相同,在兩個(gè)干擾方向(方位角為60°和100°)上都形成了零陷,其中SVRGD算法對(duì)于干擾的自適應(yīng)調(diào)零要明顯優(yōu)于LMS和SGD兩種算法。

圖4 俯仰角為90°的水平特性波束圖

在其他條件不改變的條件下,JNR增加至50 dB,得到的仿真圖如圖5所示。

圖5 JNR=50 dB的水平特性波束圖

從圖5中可以看出,由于干擾功率過強(qiáng),在干擾方向上LMS算法以及SGD算法已經(jīng)無法形成零陷,甚至形成了虛假旁瓣,而SVRGD算法依舊可以形成零陷,可以得知,SVRGD算法相較于LMS算法和SGD算法在對(duì)抗干擾方面有很大的優(yōu)勢(shì)。

在其他條件不改變的條件下,將JNR值在[-50， 50]dB區(qū)間范圍內(nèi)均勻采樣,對(duì)3種算法分別求其均方誤差,得到相應(yīng)的變化曲線如圖6所示?？梢钥闯?3種算法估計(jì)的均方誤差隨JNR的變化趨勢(shì)基本相同,即隨著JNR的增大而振蕩增加,在0～20 dB之間增幅顯著。其中,JNR在10 dB以下時(shí),LMS算法和SVRGD算法的均方誤差值較小,SGD算法的均方誤差較大。JNR在20 dB以上時(shí),SGD算法的均方誤差相對(duì)較小。LMS算法和SVRGD算法在整個(gè)區(qū)間的均方誤差比較接近。

3.3 快拍數(shù)對(duì)SVRGD算法影響分析

在其他條件都不改變的情況下,將快拍數(shù)改為20時(shí),得到水平特性波束方向圖,如圖7所示。

圖6 不同JNR值對(duì)3種算法的影響

圖7 快拍數(shù)為20的水平特性波束圖

從圖7可以看出,當(dāng)快拍數(shù)過小時(shí),LMS算法和SGD算法無法形成零陷,而且SGD算法形成的主瓣方向也發(fā)生了較小的偏移。但是SVRGD算法依然可以正常形成主瓣和零陷,與圖4相比,在方位角為60°和100°的兩個(gè)干擾方向所對(duì)應(yīng)的幅值分別下降至-40 dB和-50 dB,零陷較前減輕。由此可見,對(duì)于快拍數(shù)較小的情況,SVRGD算法在期望信號(hào)波束指向和干擾方向自適應(yīng)調(diào)零上依然具有較好的性能。

在其他條件不改變的條件下,將快拍數(shù)值在[20, 1 000]范圍內(nèi)均勻采樣,對(duì)3種算法分別求其均方誤差,得到相應(yīng)的變化曲線如圖8所示。可以看出,3種算法估計(jì)的均方誤差都是隨著快拍數(shù)的增加而振蕩減小,其中SGD算法的均方誤差在絕大多數(shù)區(qū)域內(nèi)要大于另兩種算法,LMS算法和SVRGD算法在整個(gè)區(qū)域內(nèi)的均方誤差比較接近,但在快拍數(shù)為300之內(nèi)時(shí),SVRGD算法的振蕩幅度要大一些。

3.4 抗噪性分析

在其他條件不改變的情況下,將SNR由0 dB減小為-30 dB,得到的水平特性波束圖如圖9所示。在圖9中可以看出,SNR過小時(shí),對(duì)3種算法都會(huì)有很大的影響,SGD算法和LMS算法已經(jīng)無法在目標(biāo)方向形成主瓣而且無法在干擾方向形成零陷,但是SVRGD算法雖然旁瓣變高了,但是依舊可以形成指向準(zhǔn)確的主瓣和零陷,因此SVRGD算法在抗噪聲干擾方面也有很大的優(yōu)勢(shì)。

圖8 不同快拍數(shù)對(duì)3種算法的影響

圖9 SNR=-30 dB的水平特性波束圖

在其他條件不改變的條件下,將SNR在[-40， 20]dB范圍內(nèi)均勻采樣,對(duì)3種算法分別求其均方誤差,得到相應(yīng)變化曲線如圖10所示?？煽闯?3種算法在SNR低于-10 dB時(shí),均方誤差曲線基本重合,且平坦趨于零;SNR在-10～10 dB區(qū)間時(shí),LMS算法和SVRGD算法性能相當(dāng),SGD算法的均方誤差隨SNR增加的幅度較大;SNR在10 dB以上時(shí),隨著SNR的增加,3種算法的均方誤差都隨之增大,SGD算法增加得最快,SVRGD算法其次,LMS算法最慢。

雖然,前面分別討論了JNR、快拍數(shù)、SNR等因素對(duì)3種算法均方誤差的影響,其中LMS算法的均方誤差值均略小于SVRGD算法。但是,均方誤差的大小并不能完全等同于波束形成性能的好壞,算法性能通常會(huì)受到快拍數(shù)、收斂速度、循環(huán)次數(shù)等因素的綜合影響,因此雖然LMS算法在單參數(shù)改變時(shí)均方誤差性能較好,但是SVRGD算法的波束形成性能總體要優(yōu)于LMS算法。

圖10 不同SNR對(duì)3種算法的影響

3.5 收斂性能分析

仿真參數(shù)設(shè)置與第3.2節(jié)相同,3種算法的收斂速度如圖11所示。

圖11 3種算法的收斂速度圖

由圖11可以看出,3種算法中收斂性能最優(yōu)的是LMS算法;SGD算法雖然因隨機(jī)采用某次快拍數(shù)據(jù)估計(jì)梯度以代替標(biāo)準(zhǔn)梯度,其運(yùn)算時(shí)間會(huì)變快但是其收斂速度比較慢,e2(n)隨迭代步數(shù)的數(shù)值振蕩幅度遠(yuǎn)大于LMS算法;SVRGD算法由于采用內(nèi)外循環(huán)的方式進(jìn)行權(quán)值迭代,運(yùn)算時(shí)間不如LMS算法和SGD算法快,但是SVRGD算法在內(nèi)循環(huán)中e2(n)隨迭代次數(shù)變化情況與LMS算法相當(dāng),收斂性能明顯優(yōu)于SGD算法,這主要是由于內(nèi)循環(huán)中輸出的是平均權(quán)系數(shù),這些較復(fù)雜的平均策略可以提升收斂速度,只是由于每次內(nèi)循環(huán)結(jié)束之后,需要計(jì)算下一次外循環(huán)(總共5次外循環(huán)),然后重新進(jìn)入內(nèi)循環(huán)開始計(jì)算,導(dǎo)致方差瞬間變大,因此出現(xiàn)了每次趨于平穩(wěn)之后又會(huì)出現(xiàn)尖峰的情況。

4 結(jié) 論

(1) 具有優(yōu)良的波束形成能力和旁瓣抑制能力;

(2) 具有很強(qiáng)的抗干擾能力,對(duì)干擾方向能自適應(yīng)調(diào)零,零陷較深;

(3) 在快拍數(shù)較少的情況下,由于采用內(nèi)外循環(huán)的機(jī)制,使得波束形成仍具有較好效果;

(4) 在SNR很低的環(huán)境中仍然可以正常工作,波束保形能力好,具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。

該方法的主要缺點(diǎn)是,由于內(nèi)、外循環(huán)的迭代方式增加了計(jì)算量,使得該方法的計(jì)算速度和收斂速度不及LMS算法。通常,外循環(huán)次數(shù)的選擇對(duì)算法性能影響較大,外循環(huán)次數(shù)越多,波束形成的精度越高,但是計(jì)算的復(fù)雜度也越高,因此需要在波束形成效能和算法實(shí)時(shí)性方面進(jìn)行折中考慮。在實(shí)際工程應(yīng)用中,如果將面陣進(jìn)行子陣分塊,采用SVRGD算法計(jì)算各子陣的陣列輸出,再合成整個(gè)陣面的方向圖,在保證優(yōu)良波束性能的同時(shí)也大大節(jié)約了計(jì)算時(shí)間,具有較高的應(yīng)用前景。