陳圣鑫，趙新龍,蘇 強，蘇良才

(浙江理工大學 機械與自動控制學院，浙江 杭州 310018)

0 引言

壓電驅(qū)動器作為一種可以將電能轉(zhuǎn)化為機械運動的微位移元件，由于其體積小，精度高等特點被廣泛應(yīng)用于超精密系統(tǒng)中。但是，其固有的遲滯特性會降低精密系統(tǒng)中的控制精度，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1-3]，故而需要對遲滯進行建模。Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型因其結(jié)構(gòu)簡單、辨識精度高的特點而被廣泛應(yīng)用于復雜非線性系統(tǒng)的建模[4-6]。T-S模型的結(jié)構(gòu)辨識主要包括模糊區(qū)間的劃分、模糊前件參數(shù)和后件參數(shù)辨識。

在模糊區(qū)間劃分方面，模糊聚類算法得到了廣泛應(yīng)用，主要有模糊C均值(FCM)聚類算法和模糊C回歸模型(FCRM)聚類算法等。其中，F(xiàn)CM聚類算法作為以歐氏距離為依據(jù)進行區(qū)間劃分的方法，更適用于超球型的模型結(jié)構(gòu)。FCRM聚類算法作為一種超平面型聚類算法，其迭代產(chǎn)生的超平面與T-S模糊模型的子模型有相似的結(jié)構(gòu)， FCRM聚類算法更適合于T-S模型模糊區(qū)間的劃分。KUNG等[7]提出了FCRM聚類算法的有效性準則，用來選擇合適的聚類個數(shù)，但對于給定的壓電輸入信號來說，所需劃分的聚類個數(shù)有限，并不需要有效性準則的判斷。CHANG等[8]使用垂直距離公式替換了傳統(tǒng)聚類算法的誤差公式，使聚類劃分更準確，但并未進一步考慮聚類算法和模型的結(jié)構(gòu)匹配問題。在模糊前件參數(shù)辨識方面，LI等[9]提出了新的超平面型隸屬度函數(shù)，解決了傳統(tǒng)超球面鐘型高斯函數(shù)與超平面型FCRM聚類算法結(jié)構(gòu)不匹配的問題。在后件參數(shù)辨識方面，利用最小二乘法來完成模糊后件參數(shù)的辨識。

基于一型模糊集的T-S模糊系統(tǒng)已用于復雜非線性系統(tǒng)建模[10-11]，但是一型模糊集的隸屬度值是清晰的，在處理不確定性方面存在局限性[12-14]。區(qū)間二型模糊集通過將隸屬度由清晰值擴展到一個區(qū)間值，把隸屬度進一步模糊化，可以更有效地處理系統(tǒng)的不確定性和非線性[15-17]。

本文基于文獻[18]提出的區(qū)間二型FCRM聚類算法，用垂直距離更新了算法中的誤差計算[8]，提出了改進的區(qū)間二型FCRM聚類算法。引入超平面隸屬度函數(shù)[9]，解決了超球型高斯隸屬度函數(shù)與改進超平面型聚類算法的結(jié)構(gòu)不匹配的問題。與其他建模方法相比，本文的創(chuàng)新點是：

1) 用垂直距離公式替換了傳統(tǒng)FCRM聚類算法的誤差公式，使聚類算法與其所辨識的超平面結(jié)果直接相關(guān)聯(lián)，提高了模糊區(qū)間劃分精度。

2) 用超平面隸屬度函數(shù)替換了傳統(tǒng)的超球型高斯隸屬度函數(shù)，使其與改進超平面型聚類算法的結(jié)構(gòu)相匹配，提高了建模精度。

1 基于區(qū)間二型T-S模糊模型的壓電遲滯特性建模

1.1 壓電驅(qū)動器遲滯建模

區(qū)間二型T-S模糊模型的結(jié)構(gòu)辨識過程如下：

2) 結(jié)合模糊隸屬度函數(shù)進行模糊模型前件參數(shù)的辨識。

3) 利用最小二乘法進行模糊模型后件參數(shù)的辨識。

1.2 區(qū)間二型T-S模糊模型辨識

1.2.1 模糊空間劃分

假設(shè)將n個數(shù)據(jù)(xk,yk)(k=2,…,n)劃分為c個聚類，則每個聚類中的數(shù)據(jù)樣本都符合一個線性回歸模型，該模型實際上是一個超平面回歸函數(shù)，其中第i(i=1,…,c)個超平面可表示為

(1)

為了匹配二型模糊區(qū)間的上、下隸屬度，引用上、下超平面的形式[18]。利用加權(quán)最小二乘法，得到上、下超平面系數(shù)：

(2)

(3)

其中

(4)

Y=[yk](n-1)×1

(5)

(6)

(7)

降型得超平面系數(shù)[18]：

(8)

為了使聚類劃分更精確，引入了垂直距離公式[8]：

(9)

式中dik(Qi)為xk到第i個超平面的垂直距離。

(10)

(11)

式中：m1,m2∈(1,)且m1≠m2；U=[uik]c×(n-1)為模糊劃分矩陣；uik∈[0,1]為第k組數(shù)據(jù)隸屬于第i個超平面的隸屬度。

利用拉格朗日乘子法，式(10)、(11)可寫為

(12)

(13)

式中：λk為拉格朗日乘子；L1(U,λ)和L2(U,λ)分別對λk和uik求偏導，得到uik的最優(yōu)值：

(14)

(15)

(16)

(17)

降型得隸屬度uik的精確值[18]：

(18)

步驟4：通過式(18)得到uik，得到新的模糊劃分矩陣Ur+1=[uik]c×(n-1)。

步驟5：比較Ur和Ur+1，如果滿足‖Ur-Ur+1‖≤ε，迭代結(jié)束；否則，r=r+1，重復步驟2～5。

引用式(9)替代了文獻[18]中的誤差計算公式，通過使聚類算法與其所辨識的超平面結(jié)果直接相關(guān)聯(lián)，使聚類的劃分更精確。

1.2.2 前件參數(shù)辨識

鐘型高斯函數(shù)作為超球面隸屬度函數(shù)，具有明確的聚類中心和寬度，與本文所提超平面聚類算法結(jié)構(gòu)不符。本文采用超平面隸屬度函數(shù)[9]，則輸入xk對應(yīng)第i個模糊集合Bi的上、下模糊隸屬度函數(shù)為

(19)

(20)

第i條規(guī)則的激活強度ωi(xk)為

(21)

輸入xk對應(yīng)的區(qū)間二型T-S模糊模型的輸出如下：

(22)

1.2.3 后件參數(shù)辨識

確定了模糊前件，可以通過下式得到模糊后件參數(shù)：

y=A·θ

(23)

(24)

其中

(25)

(26)

在本文中，利用最小二乘法來辨識式(23)中的θ為

θ=(ATA)-1XTy

(27)

2 實驗與仿真

整個實驗平臺由壓電驅(qū)動器(PZT-752.21C)、 dSPACE DS1103、電壓放大模塊(E-505.00)、傳感器模塊(E-509.C1A)、控制臺組成，用于實驗數(shù)據(jù)的采集，實驗平臺如圖1所示。然后針對10 Hz、50 Hz、100 Hz正弦輸入進行模型驗證。最后在正弦衰減輸入下，與文獻[10]中的建模方案進行對比。

圖1 實驗平臺

輸入信號為x(t)=0.1sin(2πft)，輸入頻率f=10 Hz、50 Hz、100 Hz，給定參數(shù)τ=4，c=5，m1=1.7，m2=3.3，ε=0.001。

圖2～4為f=10 Hz、50 Hz、100 Hz時模型輸出與實際輸出曲線。圖5～7為f=10 Hz、50 Hz、100 Hz時的誤差曲線。表1為不同輸入頻率下的模型誤差。

圖2 f=10 Hz時實際與模型輸出曲線

圖3 f=50 Hz時實際與模型輸出曲線

圖4 f=100 Hz時實際與模型輸出曲線

圖5 f=10 Hz時實際模型誤差曲線

圖6 f=50 Hz時實際模型誤差曲線

圖7 f=100 Hz時實際模型誤差曲線

表1 不同輸入頻率下的模型誤差

圖8 實際輸出與模型輸出曲線

為了驗證該模型的辨識精度，選擇超球面型隸屬度函數(shù)的建模方案作為對比。在正弦衰減輸入信號作用下，均采用三輸入-單輸出的模型結(jié)構(gòu)，將本文模型與文獻[10]中的建模方案進行比較。輸出曲線及誤差曲線對比分別如圖8、9所示。模型對比如表2所示。

圖9 本文與文獻[10]建模誤差對比

表2 本文與文獻[10]模型參數(shù)對比

3 結(jié)束語

本文建立了壓電驅(qū)動器遲滯特性的區(qū)間二型T-S模糊模型。引用垂直距離公式替代了傳統(tǒng)的誤差公式，提出了改進的區(qū)間二型FCRM聚類算法用于模型的結(jié)構(gòu)辨識，并引入了與該超平面型聚類算法結(jié)構(gòu)相匹配的超平面隸屬度函數(shù)，提高了建模精度。實驗結(jié)果表明，該建模方案可以有效地辨識壓電驅(qū)動器的遲滯特性。