董可榮，沙旭東

高等代數(shù)與解析幾何的穿插與滲透教學(xué)

董可榮，沙旭東

（淄博師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理科學(xué)系，山東 淄博 255130）

高等代數(shù)與解析幾何是理工科類與師范類高校必學(xué)科目，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展進(jìn)程上二者相互完善共同推進(jìn)．研究了當(dāng)二者合并為一門課程時(shí)的內(nèi)容編排問題，從幾何向量的坐標(biāo)表示法是溝通代數(shù)與幾何的關(guān)鍵，線性方程組解的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了幾何中的平面關(guān)系，解析幾何中旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換是矩陣代數(shù)中線性變換在幾何中的應(yīng)用，數(shù)量積等向量乘法的運(yùn)算是行列式在幾何中的應(yīng)用，幾何空間中平面與直線的關(guān)系是代數(shù)中線性空間與子空間結(jié)構(gòu)的幾何體現(xiàn)等方面闡述了高等代數(shù)與解析幾何知識(shí)間的相互穿插與滲透，探討了如何在保持代數(shù)與幾何相對(duì)完整的情況下使得2部分內(nèi)容融會(huì)貫通．

高等代數(shù)；解析幾何；穿插；滲透

高等代數(shù)與解析幾何是理工科類與師范類高校必學(xué)科目，是一門基礎(chǔ)性課程．高等代數(shù)與解析幾何是不可分割的[1]．不管是作為2門課程還是合為一科，都能看出它們的重要性，二者又有著必然的聯(lián)系，解析幾何本就是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，甚至用代數(shù)的思想來解決問題，因?yàn)榻馕鰩缀蔚姆椒ê徒Y(jié)果的實(shí)質(zhì)都是代數(shù)[2]．而高等代數(shù)的理論往往有著它的幾何意義．在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展進(jìn)程上二者也是相互完善共同推進(jìn)．當(dāng)二者合并為一門課程時(shí)，存在內(nèi)容的編排順序問題，以及師生在教學(xué)時(shí)如何融會(huì)貫通形成一個(gè)完整體系的問題．縱觀解析幾何的內(nèi)容，其在很大程度上依賴于高等代數(shù)的發(fā)展，如在關(guān)于直線和平面的理論里，不管是形式還是內(nèi)容，大多利用了線性代數(shù)中行列式等工具．所以應(yīng)該在學(xué)習(xí)了一定的線性代數(shù)內(nèi)容作為基礎(chǔ)之后，再來學(xué)習(xí)解析幾何知識(shí)，因而解析幾何應(yīng)編排在行列式與矩陣之后．再者，代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)與幾何中線面關(guān)系相聯(lián)系，并且線性空間中線性相關(guān)性等諸問題又基于向量等幾何問題之上，所以解析幾何最好排在線性方程組與線性空間之前．這樣，二者的編排順序?yàn)椋憾囗?xiàng)式——行列式——矩陣——空間解析幾何——線性方程組——線性空間——線性變換——二次型．編排順序確定后，就是如何在保持代數(shù)與幾何相對(duì)完整的情況下使得2部分內(nèi)容融會(huì)貫通．經(jīng)驗(yàn)梳理一下高等代數(shù)與解析幾何合二為一教學(xué)時(shí)的穿插與滲透．

1 幾何向量的坐標(biāo)表示法是溝通代數(shù)與幾何的關(guān)鍵

在這里可以用坐標(biāo)代替向量討論問題，于是向量之間的關(guān)系和向量之間的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為它們坐標(biāo)之間的關(guān)系和坐標(biāo)之間的運(yùn)算，因而坐標(biāo)表示法是溝通代數(shù)與幾何的關(guān)鍵．

2　線性方程組解的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了幾何中的平面關(guān)系

在解析幾何中，點(diǎn)、直線和平面都可以用含有坐標(biāo)的線性方程（組）表示；反過來，線性方程組解的結(jié)構(gòu)又體現(xiàn)了幾何中的點(diǎn)、直線與平面的關(guān)系，線性方程組這個(gè)代數(shù)概念就與幾何的線或面之間建立了聯(lián)系．

由此，方程組解的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了平面的各種位置關(guān)系．在這里討論解的不同情況就用到了代數(shù)的行列式知識(shí)，行列的比例關(guān)系以及向量的坐標(biāo)表示，這充分地體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的穿插與滲透．

3　解析幾何中旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換就是矩陣代數(shù)中線性變換在幾何中的應(yīng)用

矩陣是高等代數(shù)的一個(gè)重要概念，它的內(nèi)容自成體系，更是研究幾何的重要工具．在解析幾何中經(jīng)常要進(jìn)行坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，而矩陣乘法運(yùn)算的幾何意義可體現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換上．

解析幾何中二次曲面的主軸坐標(biāo)變換也與代數(shù)中二次型的矩陣線性變換相聯(lián)系．

在對(duì)二次曲線或二次曲面的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)過程中，實(shí)際上很重要的一步就是將曲線或曲面的主軸通過線性變換轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)軸上，也就是去掉方程中的交叉項(xiàng)，而將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．而去掉交叉項(xiàng)的過程，也就是對(duì)直角坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的過程．由此，二次型線性變換所實(shí)現(xiàn)的方法，正是解析幾何中將一個(gè)二次曲線方程化簡(jiǎn)的過程[5]．

4　數(shù)量積等向量乘法的運(yùn)算就是行列式在幾何中的應(yīng)用

通過對(duì)幾何中的向量進(jìn)行代數(shù)的坐標(biāo)表示，可以讓幾何中的向量關(guān)系和運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有序數(shù)組的線性關(guān)系和運(yùn)算．這樣一來，復(fù)雜的幾何問題就可以簡(jiǎn)單地用代數(shù)的方法解決，而其中，行列式可解決向量的數(shù)量積、向量積等向量乘法運(yùn)算問題．

5　幾何空間中平面與直線的關(guān)系是代數(shù)中線性空間與子空間結(jié)構(gòu)的幾何體現(xiàn)

對(duì)于學(xué)生而言，線性空間的基與維數(shù)應(yīng)該說是比較抽象難懂的，向量的線性組合與線性相關(guān)性也是較難理解的，如果把它們與幾何結(jié)合起來就容易理解了．在三維空間里，基就是坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的幾何體現(xiàn)，維數(shù)又稱維度（dimension），指的是坐標(biāo)系中坐標(biāo)中的數(shù)量．任意3個(gè)不在同一平面的向量就組成線性空間的一組基，也就構(gòu)成一個(gè)仿射坐標(biāo)系，這樣的3個(gè)向量是線性無關(guān)的，因而是不共面的，分別構(gòu)成仿射坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸，并且線性空間里的任意一個(gè)向量都可以由它們線性表示．

同時(shí)，三維空間中的平面和其相交直線也可以幫助學(xué)生理解子空間的交、子空間的和與直和等概念，可以從幾何角度更好地理解代數(shù)的抽象概念．

6　結(jié)語

線性空間是解析幾何的靈魂[7]，是幾何學(xué)特別是解析幾何學(xué)的推廣與升華．解析幾何為抽象的線性空間提供了一個(gè)具體、生動(dòng)的模型．解析幾何中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分[8]．在此，幾何代數(shù)化，代數(shù)幾何化，二者相互穿插滲透，融會(huì)貫通，形成完整的理論體系，從而也使二者在教學(xué)過程中變得不再特別抽象難懂，更有利于教學(xué)．

[1] 曹卿驊，侯雪炯．關(guān)于高等代數(shù)與解析幾何教材合并的幾點(diǎn)體會(huì)[J]．玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（17）：216

[2] 克萊因M．古今數(shù)學(xué)思想（三）[M]．萬偉勛，石生明，孫樹本，等，譯．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002：245

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：1

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)與解析幾何[M]．2版．北京：高等教育出版社，2016：43

[5] 亞歷山大洛夫A D．?dāng)?shù)學(xué)——它的內(nèi)容，方法和意義[M]．北京：科學(xué)出版社，2005：84-85

[6] 藍(lán)以中．高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程（上冊(cè)）[M]．2版．北京：北京大學(xué)出版社，2002：147-150

[7] 孟道驥．高等代數(shù)與解析幾何（上冊(cè)）[M]．2版．北京：科學(xué)出版社，2007：143

[8] 張順燕．?dāng)?shù)學(xué)的源與流[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000：179

Interpenetrating and penetrating teaching of higher algebra and analytic geometry

DONG Kerong，SHA Xudong

（Department of Mathematics and Physics Sciences，Zibo Normal College，Zibo 255130，China）

Higher algebra and analytic geometry are required subjects of science and engineering and normal universities，and in the process of the development of mathematical knowledge，they improve each other and promote together．The problem of content arrangement was studied when the two are combined into one course．The interpenetration and penetration between higher algebra and analytic geometry are expounded from some aspects that the coordinate representation of geometric vectors is the key to the communication between algebra and geometry，the structure of the solution of the system of linear equations represents the plane relationship in geometry，rotation coordinate transformation in analytic geometry is the application of linear transformation in matrix algebra in geometry，the operation of scalar product equal vector multiplication is the application of determinant in geometry，the relationship between plane and line in geometric space is the geometric representation of the structure of linear space and subspace in algebra，and so on．It was discussed that how to make the two parts connected while keeping the relative integrity of algebra and geometry.

advanced algebra；analytic geometry；intersperse；penetrate

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.020

1007-9831（2020）11-0101-05

2020-04-12

董可榮（1970-），女，山東淄博人，副教授，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究．E-mail：sfdkr@163.com