王 游，盧小雨,2*，李亞倩

(1.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

巖石蠕變是指巖石在應(yīng)力、水、溫度等復(fù)雜條件下，巖石所呈現(xiàn)的與時(shí)間相關(guān)的某些力學(xué)特性，如彈性后效、松弛、破壞等，即時(shí)間效應(yīng)[1]，它是巖石固有的屬性之一，影響著巖體結(jié)構(gòu)的長期安全性和穩(wěn)定性，建立能全面模擬巖石蠕變變形的蠕變模型一直是巖石蠕變學(xué)研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。由于巖石本身的復(fù)雜性，其力學(xué)參數(shù)往往隨加載時(shí)間不斷變化，采用非線性的蠕變模型更能準(zhǔn)確模擬巖石蠕變?nèi)^程[2]。目前建立巖石非線性蠕變模型的方法主要采用以下兩種：一是設(shè)計(jì)新的非線性元件代替線性元件,如陳家瑞[3]在三參量蠕變模型的基礎(chǔ)上引入非牛頓體，從而得到了非線性蠕變模型，該模型可以較好地模擬巖石在不同應(yīng)力水平下的蠕變曲線；蘇騰等[4]基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和連續(xù)介質(zhì)損傷理論建立了非線性蠕變模型，該模型可以較好地模擬巖石在不同應(yīng)力載荷下的蠕變形式且能反映巖石的力學(xué)性質(zhì)在不同蠕變階段的變化情況。二是引入損傷力學(xué)理論和Lemaitre等效原理，將損傷因子引入蠕變方程中，進(jìn)而建立蠕變損傷模型,如羅潤林等[5]基于巖石蠕變機(jī)理，引入硬化函數(shù)和損傷變量，建立了巖石非線性蠕變模型；劉新喜等[6]基于Kachanov損傷理論把損傷影響參數(shù)引入Maxwell模型，使其符合蠕變軟化階段的損傷特性；曹文貴等[7]引入損傷理論和Kachanov損傷演化規(guī)律，建立了一個(gè)可以充分反映巖石加速蠕變特性的模型；丁靖洋等[8]基于巖石加速蠕變過程中的力學(xué)特性，假定Abel黏壺的黏性系數(shù)損傷符合Weibull隨機(jī)分布，得到了鹽巖蠕變損傷模型，取得了較好的擬合結(jié)果；楊逾等[9]基于Lemaitre原理建立了非線性損傷Burgers模型，取得了較好的擬合結(jié)果；王春萍等[10]基于花崗巖高溫蠕變過程的損傷效應(yīng)并考慮彈性模量和黏性系數(shù)隨溫度的變化關(guān)系，建立了高溫條件下的溫度損傷元件，該元件可以較好地模擬巖石加速蠕變變形。

綜上所述，盡管國內(nèi)外許多學(xué)者在巖石蠕變模型方面取得了一些研究成果，但存在著以下幾個(gè)問題：首先，模型參數(shù)辨識(shí)不合理，有的學(xué)者直接用一維蠕變方程去擬合常規(guī)三軸蠕變實(shí)驗(yàn)，雖然可以取得較好的擬合結(jié)果，但模型參數(shù)在一維和三維應(yīng)力情況下物理含義并不相同；其次，巖石蠕變參數(shù)與時(shí)間成函數(shù)關(guān)系，把損傷因子引入線性元件后，采用微分方程的形式求解蠕變方程存在一定的困難，增加了蠕變方程的描述難度，這也是現(xiàn)階段蠕變模型存在的主要問題，并且有的學(xué)者直接把有效參數(shù)引入元件組合模型中，這導(dǎo)致有的模型在數(shù)學(xué)上并不嚴(yán)謹(jǐn)；最后，目前大多數(shù)蠕變模型以巖石長期強(qiáng)度為依據(jù)來改進(jìn)和組合進(jìn)而建立能模擬巖石加速蠕變的模型，而以加載時(shí)間為依據(jù)而建立的模型較少[11]。因此在蠕變模型已有研究成果的基礎(chǔ)上，考慮巖石彈性模量衰減規(guī)律和引進(jìn)一種帶時(shí)間觸發(fā)的非線性黏性體，將之與廣義Kelvin模型進(jìn)行組合，得到了一個(gè)能夠全面模擬巖石蠕變變形的非線性蠕變模型，該模型描述較為簡(jiǎn)單，克服了傳統(tǒng)模型不能全面模擬巖石蠕變變形的不足，且不需要知道巖石的長期強(qiáng)度，引入相關(guān)蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證蠕變模型的合理性和適用性，并對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，研究成果可為今后開展類似研究提供一定的參考價(jià)值。

1 非線性蠕變模型的建立

廣義Kelvin模型由一個(gè)彈性元件與一個(gè)黏性體并聯(lián)后再與一個(gè)彈性元件串聯(lián)組成。模型如圖1所示:

廣義Kelvin模型的蠕變方程可表示為:

(1)

式中，ε為蠕變量；E0為彈性體彈性模量；η1為Kelvin體黏性系數(shù)；E1為Kelvin體彈性模量；σ0加載應(yīng)力。

廣義Kelvin模型難以模擬巖石加速蠕變變形，同時(shí)模型的黏彈性參數(shù)并不是定常數(shù)，而是隨加載時(shí)間不斷變化的參數(shù)。張樹光等[12-13]研究表明巖石彈性模量隨加載時(shí)間不斷減少，因此假定廣義Kelvin模型中彈性體彈性模量符合下式:

E(t)=a+bexp(-ct)

(2)

式中，a、b、c為無量綱參數(shù)。

當(dāng)σ=σ0時(shí)，彈性體一維蠕變方程為:

(3)

巖石蠕變可以分為衰減蠕變，等速蠕變和加速蠕變?nèi)齻€(gè)階段，而每個(gè)階段對(duì)應(yīng)不同的起始時(shí)間，由于時(shí)間具有不可逆性，故引入一個(gè)帶時(shí)間觸發(fā)的非線性黏性元件來模擬巖石的加速蠕變變形。非線性黏性元件模型如圖2所示。

該元件滿足以下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系:

(4)

式中，tF為巖石加速蠕變起始時(shí)間；λ蠕變參數(shù)；ηa非線性黏性元件黏性系數(shù)；tF確定方法見文獻(xiàn)[14]。

將非線性黏性元件與廣義Kelvin模型進(jìn)行組合，從而得到新的非線性蠕變模型。模型如圖3所示:

圖3 非線性蠕變模型Fig.3 Nonlinear creep model

在t=0時(shí)，對(duì)模型施加恒定應(yīng)力σ0，則有

(1)對(duì)于彈性體E(t)，其本構(gòu)方程為:

σ0=E(t)ε0=(a+bexp(-ct))ε0

(5)

式中，E(t)為式(2)表達(dá)式，ε0為彈性體應(yīng)變。

(2)對(duì)于Kelvin體，其本構(gòu)方程為:

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行變換求積分，并考慮初始條件：t=0,ε1=0，則有

(7)

式中，ε1為Kelvin體應(yīng)變。

(3)對(duì)于非線性黏性元件，其本構(gòu)方程為:

(8)

式中，ε2為非線性黏性體應(yīng)變。

由于應(yīng)變可以疊加，則根據(jù)式(5)、(7)、(8)，可得巖石在一維應(yīng)力狀態(tài)下非線性蠕變方程為:

(9)

(10)

式(9)可模擬巖石衰減蠕變變形和等速蠕變變形，式(10)可模擬巖石蠕變?nèi)^程。

將一維蠕變模型推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)下，更符合巖石實(shí)際受力狀態(tài)，具有更高的參考價(jià)值。在三維應(yīng)力狀態(tài)下，巖石內(nèi)部張量σij可分解為球應(yīng)力張量σm和偏應(yīng)力張量Sij，同樣巖石應(yīng)變張量εij由球應(yīng)變張量εm和偏應(yīng)變張量eij組成[15]，并且在彈性狀態(tài)滿足：

(11)

式中，K為體積模量；G為剪切模量；E為彈性模量；μ為泊松比，可認(rèn)為不變。

由廣義塑性力學(xué)可知，巖石類材料中的塑性應(yīng)變問題應(yīng)采用相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則來解決，對(duì)于常規(guī)三軸蠕變實(shí)驗(yàn)，一般認(rèn)為球應(yīng)力張量對(duì)巖石蠕變影響很小，偏應(yīng)力張量在巖石蠕變中起主要作用，因此屈服函數(shù)可采用Mises函數(shù)，因此三維蠕變方程可表示為：

(12)

(13)

式中，G1為彈性體剪切模量，其余參數(shù)與上文一致。

2 參數(shù)辨識(shí)及敏感性分析

2.1 參數(shù)辨識(shí)和模型驗(yàn)證

將蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入巖石蠕變模型中進(jìn)行曲線擬合和參數(shù)反演是蠕變研究中常用的方法，1stOpt軟件憑借其超強(qiáng)收斂速度和不受初始賦值的影響，通過其獨(dú)特的全局優(yōu)化算法，在大多數(shù)情況下都能取得較好的結(jié)果[16]。為驗(yàn)證新的巖石蠕變模型的正確性和適用性，擬合了白堊系凍結(jié)軟巖蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)[17]和天然頁巖蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)[18]。擬合結(jié)果分別如圖4、圖5所示,參數(shù)反演結(jié)果見表1、表2。

圖4 軟巖非線性蠕變模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of soft rock nonlinear creep model and experimental results

表1 軟巖非線性蠕變模型參數(shù)

表2 頁巖非線性蠕變模型參數(shù)

圖5 頁巖非線性蠕變模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of shale nonlinear creep model and experimental results

從圖4、圖5對(duì)比情況來看，本文建立的非線性蠕變模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合程度較好(尤其是加速蠕變階段)，模型能夠模擬巖石各個(gè)階段蠕變曲線，同時(shí)也驗(yàn)證本文建立的非線性蠕變模型對(duì)軟硬巖及不同加載應(yīng)力水平下都具有較好的適用性。

引入綠片巖[19]和紅砂巖[20]的三軸壓縮蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證該模型對(duì)巖石加速蠕變變形模擬的準(zhǔn)確性和適用性。為了擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)方便，將三維蠕變方程進(jìn)行系數(shù)簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化結(jié)果如式(14)所示，擬合結(jié)果分別如圖6、圖7所示，擬合參數(shù)見表3。

表3 加速蠕變模擬參數(shù)

圖6 綠片巖非線性蠕變模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of greenschist nonlinear creep model and experimental results

圖7 紅砂巖非線性蠕變模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of red sandstone nonlinear creep model and experimental results

a2exp(t-tF)λ

(14)

從擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比情況來看，再次說明該模型對(duì)不同蠕變破壞時(shí)間下的加速蠕變變形都能夠較好地模擬。

2.2 參數(shù)λ對(duì)蠕變?nèi)^程曲線影響分析

參數(shù)a、b、c表示巖石彈性模量隨加載時(shí)間的變化關(guān)系，已有許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行分析[21]，在此并不詳述。巖石加速蠕變特性是影響地下工程穩(wěn)定性和安全性的主要力學(xué)特性，在此給出參數(shù)λ對(duì)巖石蠕變?nèi)^程曲線的影響。結(jié)果如圖8所示。

圖8分析了蠕變參數(shù)λ對(duì)巖石蠕變?nèi)^程曲線的影響，圖中給出了蠕變參數(shù)λ為0.025、0.036 75、0.050、0.070時(shí)蠕變曲線的對(duì)比(其余參數(shù)見表2，加載應(yīng)力為55 MPa)。由圖8可知，保持模型中其他參數(shù)不變，巖石加速蠕變變形和蠕變速率隨參數(shù)λ的增大而呈現(xiàn)非線性增大，巖石更快地進(jìn)入加速蠕變階段，根據(jù)λ取值的不同，該模型可以模擬不同巖性及不同應(yīng)力水平下的加速蠕變變形。

圖8 蠕變參數(shù)λ變化對(duì)全程蠕變曲線的影響Fig.8 The impact of creep parametersλchanges on the whole-process creep curve

3 結(jié)論

1)在廣義Kelvin模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)一個(gè)帶時(shí)間觸發(fā)的非線性黏性體，同時(shí)考慮巖石彈性模量隨加載時(shí)間的衰減規(guī)律，從而建立了新的非線性蠕變模型，并給出了模型的一維和三維蠕變方程。

2)引入相關(guān)蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)非線性蠕變模型的合理性和可行性進(jìn)行驗(yàn)證并同時(shí)反演得到模型參數(shù)，結(jié)果表明該模型可以準(zhǔn)確模擬各類巖石的非線性蠕變曲線(尤其是加速蠕變階段)，克服了傳統(tǒng)經(jīng)典模型的不足。

3)對(duì)模型蠕變參數(shù)λ進(jìn)行了分析，結(jié)果表明隨著參數(shù)λ的增加，巖石加速蠕變速率也增大，巖石更快地進(jìn)入加速蠕變階段，也說明巖石加載時(shí)間是導(dǎo)致巖石蠕變破壞的一個(gè)十分重要的因素。