王思儉

例1（2019年全國(guó)I 卷第16題）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，則C的離心率為_(kāi)_______．

小A因?yàn)椋?，所以，則，聯(lián)立與，運(yùn)算很煩瑣，解得，由,整理得b2=3a2，所以c2-a2=3a2，即4a2=c2．

c=2．

小B因?yàn)?，因此A為F1B的中點(diǎn)，于是又因?yàn)?，所以即OA為線段F1B的中垂線，于是再由雙曲線的對(duì)稱性可知，由于平角知，，因此，所以，所以.

方法大PK

小A 的解法是常規(guī)思路，小B 的解法充分利用幾何性質(zhì)，非常簡(jiǎn)潔．同學(xué)們?cè)趧?dòng)筆之前，要認(rèn)真分析題目條件的特征，再選擇合理的運(yùn)算方法哦．

例2若以雙曲線C：的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓E與直線l：x-y+6=0有公共點(diǎn)，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________．

小A根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)F1(3,0)-，F(xiàn)2(3,0)，設(shè)橢圓E的方程為：,將直線方程代入橢圓E方程并化簡(jiǎn)為關(guān)于x的一元二次方程，方程為，利用判別式?≥0,解得或a2≤9（舍），所以，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為．

方法大PK

兩種解法都是通性通法，但小B 的解法充分利用橢圓定義和對(duì)稱性，運(yùn)算較快．

小B設(shè)點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A（m，n），根據(jù)對(duì)稱性，求出m=-6，n=3.設(shè)公共點(diǎn)為P，于是，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為．

敲黑板

你是不是覺(jué)得例3 很眼熟，像做過(guò)的高考題？直接選B 了？

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能靠背誦解法和答案，要學(xué)會(huì)理解、學(xué)會(huì)思考．

例3（2019年全國(guó)卷I 卷第10題改編）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若AF2=2F2B，AB=BF1，則C的方程為( )

小A根據(jù)橢圓的定義和已知條件，求出,AF2=a，，AF1=a．判斷為直角三角形，再利用余弦定理列方程，得出．在△BF1A中，根據(jù)由余弦定理可得，解得，，故選D．

小B求出AF2=a，判斷點(diǎn)A是短軸端點(diǎn)，即OA=b，于是，因此xB=3，，代入橢圓方程求出a2=12，再用勾股定理解得b2=8．

小C設(shè)點(diǎn)B在x軸上方，直線傾斜角為，利用圓錐曲線統(tǒng)一定義可得，，，又因?yàn)锳F2=2F2B，因此，而，所以.又因?yàn)锳B=BF1，所以3F2B=2a-F2B，即，于是，解得，所以所以.

方法大PK

小A 的方法最基本，但運(yùn)算量大；小B 的解法以小A 的解法為基礎(chǔ)，利用幾何直觀較快求解；小C的解法既是通法又十分簡(jiǎn)潔．

例4（2019年全國(guó)II 卷第20題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．

小A利用與橢圓方程聯(lián)立，求出，于是．再根據(jù)OP=OF，求出，所以，即．

小B由于△POF2為正三角形，因此，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得e4-8e2+4=0，解得，即.

小C根據(jù)△POF2為等邊三角形，可得在中，，根據(jù)橢圓定義可得，于是．

小A由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)：，且，結(jié)合橢圓方程，得，又，可得b=4．又，所以c2≥b2，于是，故，所以存在點(diǎn)P．所以b=4，a的取值范圍為

小B利用三角換元法，設(shè)，于是有，消去θ得，，整理得b4=162，即b=4，故a的取值范圍為．

小C由PF1⊥PF2可得x2+y2=c2，設(shè)x=ccosα,y=csinα，代入橢圓方程和三角形面積公式，得，且，消去α化簡(jiǎn)得，故a的取值范圍為．

方法大PK

第（1）問(wèn)的三種解法，前兩種是通性通法，運(yùn)算量大，第三種解法利用平面幾何知識(shí)和橢圓定義，非常簡(jiǎn)潔．注意挖掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系哦！

方法大PK

第（2）問(wèn)中，小B的解法自然，而且運(yùn)算簡(jiǎn)潔，小C在中途換元，這種思維方式值得借鑒．

敲黑板

在求與圓錐曲線有關(guān)的一些量的范圍或最值時(shí)，經(jīng)常用到圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍、離心率的范圍等不等關(guān)系．

求圓錐曲線離心率的方法：①直接求出a，c，求解e；②構(gòu)造a，c的齊次式，解出e，由a，c的二元齊次方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程求解；③通過(guò)特殊值或特殊位置，求出離心率．.

歸納

運(yùn)用圓錐曲線幾何性質(zhì)解題的方法主要有：

1.運(yùn)用圓錐曲線定義求解；

2.在焦點(diǎn)三角形中，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求PF1·PF2，通過(guò)整體代入可求其面積，利用正弦定理求離心率等；

3.通過(guò)曲線存在范圍求離心率或有關(guān)量的取值范圍或最值；

4.整體思想的運(yùn)用，如三角換元、設(shè)而不求等.