李紅斌， 王雙喜， 張晶晶， 王 蕊， 竇 晨

(山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院， 山西 太谷 030800)

基于耗散哈密頓系統(tǒng)的控制方法是一種從能量角度研究控制策略的方法[1].不同于傳統(tǒng)的控制方法，端口受控哈密頓系統(tǒng)從能量存儲(chǔ)、消耗和轉(zhuǎn)換的角度，利用網(wǎng)絡(luò)中的獨(dú)立儲(chǔ)能元件建模，在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制.由于其優(yōu)良的穩(wěn)定性，基于哈密頓系統(tǒng)的控制方法在電力系統(tǒng)[2-4]、航空航天[5-6]及電機(jī)控制[7-8]等方面均有著廣泛的應(yīng)用.

文獻(xiàn)[9]在電力有源濾波的基礎(chǔ)上，采用互聯(lián)和阻尼配置無源控制的方法設(shè)計(jì)了一種無源混合控制器，用于補(bǔ)償電網(wǎng)電流并抑制諧波，從而獲得優(yōu)良的直流電壓動(dòng)靜態(tài)性能；文獻(xiàn)[10]將端口受控哈密頓控制方法應(yīng)用于無人駕駛船只螺旋槳驅(qū)動(dòng)控制，實(shí)現(xiàn)了船只驅(qū)動(dòng)技術(shù)的輸出優(yōu)化，同時(shí)提升了無人駕駛船只系統(tǒng)的續(xù)航能力；文獻(xiàn)[11]利用端口受控耗散哈密頓系統(tǒng)優(yōu)良的穩(wěn)定性，并結(jié)合反步法協(xié)調(diào)控制技術(shù)的快速性，利用指數(shù)協(xié)調(diào)函數(shù)提出了一種二自由度SCARA機(jī)器人位置控制技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)器人的跟蹤定位.

永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)作為目前廣泛使用的一種電機(jī)系統(tǒng)，在數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人、航空航天等領(lǐng)域均有著重要應(yīng)用[12-14]，因此，本文研究了基于端口受控耗散哈密頓系統(tǒng)的永磁同步電機(jī)無源控制實(shí)現(xiàn)方法，將傳統(tǒng)的閉環(huán)控制函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰坷钛牌罩Z夫函數(shù)，進(jìn)一步提高了永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性.

1 端口耗散哈密頓系統(tǒng)

端口受控的耗散哈密頓系統(tǒng)(PCHD)通過尋找某一個(gè)反饋控制函數(shù)，使得控制系統(tǒng)能夠達(dá)到能量上的平衡，即利用整定控制輸入函數(shù)u=β(x)，使系統(tǒng)的能量函數(shù)Hd(x)在平衡點(diǎn)x處取極小值.

一般情況下，工程中采用系統(tǒng)互聯(lián)和阻尼結(jié)構(gòu)配置的方式來實(shí)現(xiàn)耗散哈密頓系統(tǒng)的建模.端口受控耗散哈密頓系統(tǒng)定義為

(1)

式中：J為反對(duì)稱參數(shù)矩陣，反映了系統(tǒng)內(nèi)部的互聯(lián)關(guān)系；R為半正定對(duì)稱參數(shù)矩陣，反映了端口上附加的阻結(jié)構(gòu)；H為該系統(tǒng)的一個(gè)哈密頓能量函數(shù)；G為和狀態(tài)變量有關(guān)的函數(shù).

對(duì)系統(tǒng)的控制實(shí)質(zhì)就是通過對(duì)參數(shù)矩陣的調(diào)整，即利用兩個(gè)端口之間的互聯(lián)和阻尼配置(IDA-PBC)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的無源控制.假設(shè)兩個(gè)受控的耗散哈密頓系統(tǒng)分別為A與B，將兩系統(tǒng)通過一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)反饋形式互聯(lián)，則互聯(lián)之后的閉環(huán)耗散哈密頓系統(tǒng)的參數(shù)分別為

(2)

(3)

(4)

(5)

閉環(huán)系統(tǒng)的哈密頓能量函數(shù)滿足

H=HA+HB

(6)

對(duì)于給定的哈密頓系統(tǒng)及平衡點(diǎn)x′，若存在一個(gè)向量函數(shù)K(x)滿足

(7)

(8)

2 永磁同步電機(jī)控制模型

2.1 電機(jī)PCH模型建模

d-q坐標(biāo)系下，永磁同步電機(jī)的電壓方程和機(jī)械特性方程為

(9)

式中：id、iq為電流；Rs為定子繞組電阻；Ld和Lq為等值電樞電感，對(duì)于隱極機(jī)有Ld=Lq；ω為角速度；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈；np為極對(duì)數(shù)；JM為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；τe為電磁轉(zhuǎn)矩；τL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩.

控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量x、輸入變量u和輸出變量y表示為

(10)

在上述條件下，同步電機(jī)哈密頓函數(shù)可以表示為

(11)

根據(jù)端口受控耗散哈密頓系統(tǒng)的要求，電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以描述為

(12)

y=[id，iq，ω]T

(13)

式中：

G=diag(1，1，1)

2.2 穩(wěn)定平衡點(diǎn)和控制器設(shè)計(jì)

為了尋找電機(jī)PCH模型的穩(wěn)定運(yùn)行平衡點(diǎn)x′，假設(shè)

x′=[x′1，x′2，x′3]T

(14)

在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)能量函數(shù)Hd(x)，使得其在x′處取得最小值，并尋找反饋控制規(guī)律u=β(x)，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足

(15)

就隱極機(jī)而言，一般采用直軸電樞電流id=0 A控制策略時(shí)，穩(wěn)定運(yùn)行條件下則有

x′3=np[(Ld-Lq)i′di′q+ψfi′q]-τL=0

(16)

當(dāng)i′d=0 A時(shí)，進(jìn)一步得到

(17)

即在平衡點(diǎn)處有

(18)

加入控制策略u(píng)=β(x)后，選取閉環(huán)控制系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)Hd(x)為

(19)

不失一般性，考慮選擇

(20)

Ra=diag(r1，r2，0)

(21)

(22)

(23)

式中：J11、J22、J33為0；J12、J13、J23、r1和r2為待定的互聯(lián)與阻尼參數(shù)，則有

[J+Ja-(R+Ra)]K(x)=

(24)

求解方程組可得

(J13+npLqiq)ω′

(25)

[J23+np(x1+ψf)]ω′

(26)

(27)

將平衡點(diǎn)方程代入式(27)可得

(28)

在平衡點(diǎn)運(yùn)行時(shí)，滿足τ=τ′=τ′L，則參數(shù)J12、J13、J23為

(29)

得到反饋控制ud，uq分別為

(30)

(31)

式中，e1和e2為增益系數(shù)，則在x=x′時(shí)，可得

(32)

且有Hd(x)的海森矩陣滿足

(33)

因此滿足穩(wěn)定判別條件，閉環(huán)控制系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定系統(tǒng).

3 系統(tǒng)仿真分析

3.1 同步電機(jī)速度控制仿真分析

基于上文分析，本文在MATLAB的Simulink環(huán)境中搭建了系統(tǒng)仿真平臺(tái)，控制框圖如圖1所示，仿真電機(jī)參數(shù)設(shè)置如表1所示.實(shí)驗(yàn)過程中通過調(diào)節(jié)增益參數(shù)e1，e2，使系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期運(yùn)行目標(biāo).

圖1 端口耗散哈密頓控制框圖Fig.1 Control diagram of port dissipative Hamiltonian

表1 電機(jī)仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1 Setting of simulation parameters for motor

設(shè)置同步電機(jī)額定轉(zhuǎn)速為100 r/min，增益參數(shù)e1為15，e2分別為5、10、15、20，電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2 不同增益參數(shù)下電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.2 Response of motor speed with different gain parameters

不同增益參數(shù)e1、e2下，基于端口耗散哈密頓系統(tǒng)的電機(jī)轉(zhuǎn)速控制方法能夠使得電機(jī)轉(zhuǎn)速達(dá)到其額定速度.由仿真結(jié)果可知，控制參數(shù)會(huì)影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度，即參數(shù)e1不變的條件下，e2較小，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生超調(diào)；e2較大，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間延長.

負(fù)載突加后的速度響應(yīng)特性是衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一標(biāo)準(zhǔn).本文設(shè)置初始負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，參數(shù)e1=15，e2=15，在t=0.04 s時(shí)刻，負(fù)載轉(zhuǎn)矩突加10 N·m，轉(zhuǎn)速及電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線如圖3所示.由仿真結(jié)果可以看出，在突加負(fù)載的情況下，在0.02 s內(nèi)系統(tǒng)即恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行，電機(jī)轉(zhuǎn)速等于額定轉(zhuǎn)速，電磁轉(zhuǎn)矩等于負(fù)載轉(zhuǎn)矩.一般的PI控制方法需要調(diào)節(jié)6個(gè)參數(shù)[15]，而基于端口耗散哈密頓系統(tǒng)的電機(jī)控制方法只需要調(diào)節(jié)兩個(gè)參數(shù)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)的控制，減少了系統(tǒng)復(fù)雜性.

圖3 電機(jī)轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of motor speed and electromagnetic torque

3.2 負(fù)載擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)

電機(jī)控制系統(tǒng)中負(fù)載擾動(dòng)時(shí)有發(fā)生，且不可直接測量，從而導(dǎo)致了電機(jī)速度的波動(dòng)，造成系統(tǒng)性能的下降.為了避免這一問題，本文設(shè)計(jì)了基于卡爾曼濾波器的負(fù)載擾動(dòng)觀測器，使系統(tǒng)保持穩(wěn)定運(yùn)行.負(fù)載擾動(dòng)狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為

(34)

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式有

(35)

式中，A、C為系數(shù)矩陣.

用歐拉法將式(35)展開進(jìn)行迭代，迭代誤差采用卡爾曼濾波器的反饋校正補(bǔ)償，則

xn=xn-1+(Axn-1+Gun-1)Ts

(36)

式中，Ts為迭代轉(zhuǎn)化矩陣，整理后可得

xn=Kn-1xn-1+Fn-1un-1

(37)

式中：K=I+ATs；F=GTs.

計(jì)算狀態(tài)變量的估計(jì)值和協(xié)方差陣的估計(jì)值為

x′n=Kn-1xn-1+Fn-1un-1

(38)

(39)

式中：P為狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣；Q為系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差矩陣.卡爾曼濾波器增益為

(40)

在此基礎(chǔ)上計(jì)算狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)值為

xk=x′k+Nn(yk-Cx′k)

(41)

電機(jī)額定轉(zhuǎn)速為100 r/min，控制參數(shù)e1=15，e2=15.為了研究負(fù)載擾動(dòng)對(duì)電機(jī)控制系統(tǒng)的影響，在t=0.04 s突加大小為10 N·m的負(fù)載，將觀測轉(zhuǎn)矩作為參考轉(zhuǎn)矩的前饋補(bǔ)償，在突加負(fù)載的條件下，有補(bǔ)償和無補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果如圖4、5所示.

由圖4、5的仿真結(jié)果可知：系統(tǒng)中添加了以卡爾曼濾波器為基礎(chǔ)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器之后，將觀測轉(zhuǎn)矩作為參考轉(zhuǎn)矩的前饋補(bǔ)償，可以有效降低噪聲的影響，同時(shí)加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，進(jìn)一步提高了電機(jī)運(yùn)行的穩(wěn)定性.

3.3 增益參數(shù)切換控制

為了使系統(tǒng)具有良好的響應(yīng)特性，滿足電機(jī)在不同工況下的應(yīng)用需求，需要對(duì)電機(jī)的增益參數(shù)進(jìn)行切換控制.事實(shí)上，增益參數(shù)切換控制屬于一種分段控制的方法，當(dāng)電機(jī)系統(tǒng)采用基于端口耗散的哈密頓控制方法時(shí)，參數(shù)e1和e2決定了系統(tǒng)運(yùn)行暫態(tài)過程的變換情況.

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)仿真曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of simulation curves for motor speed response

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩變化仿真曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of simulation curves for electromagnetic torque change

當(dāng)運(yùn)行偏差大于臨界運(yùn)行偏差時(shí)，為了減小電機(jī)速度調(diào)整的時(shí)間，采用具有快速響應(yīng)的參數(shù)；當(dāng)運(yùn)行偏差小于臨界運(yùn)行偏差時(shí)，為了避免發(fā)生超調(diào)，應(yīng)采用相對(duì)穩(wěn)定的運(yùn)行參數(shù)，因此本文選擇的參數(shù)切換方案如表2所示.

表2 電機(jī)運(yùn)行參數(shù)切換方案Tab.2 Switching schemes of motor operating parameters

電機(jī)運(yùn)行的額定速度在t=0 s時(shí)設(shè)定為100 r/min，基于上述切換方案的轉(zhuǎn)速響應(yīng)仿真如圖6所示.

圖6為選擇e1=15，e2=10和e1=15，e2=20仿真結(jié)果與參數(shù)切換時(shí)電機(jī)運(yùn)行仿真結(jié)果的對(duì)比.由仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)電機(jī)運(yùn)行速度較低時(shí)，采用參數(shù)切換的控制方法具有較高的響應(yīng)速度，能夠在短時(shí)間內(nèi)提升電機(jī)的運(yùn)行速度；當(dāng)運(yùn)行速度接近額定轉(zhuǎn)速時(shí)，采用參數(shù)切換的控制方法能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定而不發(fā)生超調(diào).

圖6 不同切換參數(shù)下電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)仿真曲線Fig.6 Simulation curves of motor speed response with different switching parameters

4 結(jié) 論

本文介紹了端口受控耗散哈密頓系統(tǒng)，并對(duì)d-q坐標(biāo)系下的永磁同步電機(jī)進(jìn)行了哈密頓系統(tǒng)建模.此外，通過互聯(lián)和阻尼配置對(duì)電機(jī)的速度控制器進(jìn)行了設(shè)計(jì).在此基礎(chǔ)上，利用負(fù)載擾動(dòng)觀測器作為前饋補(bǔ)償，降低了噪聲影響，加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度.同時(shí)，采用增益參數(shù)切換的控制方法提高了系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性.