劉梁華 孫娟娟 董慶偉

(山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué),255000)

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞諾斯卡婭曾說:“解題——就是意味著把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的問題.” 求函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文從如何合理地使用基本不等式求最值出發(fā),探究解題思路,希望激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和嚴(yán)謹(jǐn)性,更好地以不變應(yīng)萬變,不斷培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新能力,也希望起到拋磚引玉的作用.

一、求一元函數(shù)的最值

分析欲求兩正數(shù)之和的最小值,基本不等式需要兩正數(shù)之積為定值，本題中兩正數(shù)之積非定值,因此需要轉(zhuǎn)化處理.視正數(shù)x-1為整體,通過恒等變形創(chuàng)設(shè)條件可使問題獲解.

二、求二元函數(shù)的最值

分析“1”在乘法運(yùn)算里好像是可有可無的悲劇數(shù)字,但在求不等式的條件最值時(shí),利用已知條件可完美實(shí)現(xiàn)“1”的華麗轉(zhuǎn)身.

三、求三元函數(shù)的最值

評注本題將分母作整體代換,使三元函數(shù)的解析式與基本不等式的結(jié)構(gòu)充分體現(xiàn),顯示了換元法在解題過程中等價(jià)轉(zhuǎn)換、挖掘隱含條件的強(qiáng)大功能.

分析本題所求式中包含根號,若直接求解計(jì)算量會很大，觀察發(fā)現(xiàn)三個(gè)變量的對稱性極好,可通過換元去根號再求解,能使問題迎刃而解.

由上可見,針對函數(shù)形式復(fù)雜的一元、二元和多元函數(shù)最值求解問題,可以基本不等式為有效工具,分別采用單換元、雙換元和多換元的方法,能化陌生為熟悉,化困難為容易,使千變?nèi)f化的考題變得易于駕馭、輕松掌控.無論如何“拆”、“拼”、“湊”去變形轉(zhuǎn)化,都要緊扣基本不等式的結(jié)構(gòu),引入換元,巧妙代換,創(chuàng)設(shè)條件,變動為定,轉(zhuǎn)化化歸,以達(dá)到求解的目標(biāo).