楊承午，劉志平，徐永明

(1.中國礦業(yè)大學 自然資源部國土環(huán)境與災害監(jiān)測重點實驗室，江蘇 徐州 221116；2.中國礦業(yè)大學 環(huán)境與測繪學院，江蘇 徐州 221116)

0 引 言

星載原子鐘鐘差的精確測定是提升GNSS系統(tǒng)定位、導航和授時功能亟待解決的問題之一。然而，IGS服務組織及各數(shù)據(jù)分析中心提供的精密鐘差數(shù)據(jù)均存在時延滯后性，不能滿足用戶實時性的需求[1]。為此，國內(nèi)外學者在衛(wèi)星鐘差預報方面開展了廣泛研究，常見的鐘差預報模型有二次多項式模型、灰色系統(tǒng)模型[2-4]、最小二乘支持向量機模型[5]、Kalman濾波模型[6-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡模型[9-10]和相應組合模型[11]。文獻[2]提出將鐘差變化看作一個灰色系統(tǒng)，將灰色模型引入鐘差預報領域，提高了鐘差預報精度?，F(xiàn)有文獻對灰色模型的改進大多從以下方面入手：一是對模型參數(shù)中的發(fā)展系數(shù)a進行優(yōu)化;二是對模型參數(shù)中的灰色作用量u進行優(yōu)化;三是對時間響應函數(shù)初始值的優(yōu)化選定[12-13]。這些研究從不同角度對灰色模型進行優(yōu)化，并在實際應用中取得了良好的效果，但這些優(yōu)化都是針對單個參數(shù)，并沒有進行整體參數(shù)尋優(yōu)。鑒于此，為了獲得更好的建模和預測效果，本文引入Levenberg-Marquardt算法[14](以下簡稱L-M算法)，對灰色模型參數(shù)進行迭代優(yōu)化的改進方法。該改進方法將灰色模型的模型參數(shù)作為初始值，通過L-M算法對參數(shù)進行迭代尋優(yōu)，尋找出與原始數(shù)據(jù)最為擬合的發(fā)展系數(shù)、灰色作用量和時間響應函數(shù)初始值。

1 鐘差預報模型

1.1 灰色GM(1，1)模型

星載原子鐘極易受到外界及其自身因素的影響，穩(wěn)定性差異較大，從而很難掌握其復雜細致的變化規(guī)律，鐘差數(shù)據(jù)符合灰色系統(tǒng)理論的建模預測特點[2]。

1.1.1 原始鐘差數(shù)據(jù)序列GM(1，1)

若X(0)為非負準光滑序列，則其一階累加生成序列X(1)具有準指數(shù)規(guī)律。一階累加生成序列的背景值Z(1)(k)=λx(1)(k)+(1-λ)x(1)·(k-1)，背景值生成因子λ∈[0，1](一般取為0.5)。則可以構造離散化的灰色差分方程

(1)

(2)

式中：k為參與建模的原始數(shù)據(jù)序列長度；p為預報的數(shù)據(jù)序列長度。

1.1.2 歷元間差分鐘差數(shù)據(jù)序列GM(1，1)

若原始數(shù)據(jù)序列本身呈準指數(shù)規(guī)律，取原始數(shù)據(jù)序列為X(1)，一階累減生成序列(1-IAGO)為X(0)，構建灰色GM(1，1)模型。這種模型構建方法可以在一定程度上消除原始鐘差序列趨勢項的影響，得到一組有效數(shù)字位數(shù)減少、便于進行預處理的數(shù)據(jù)序列，當差分數(shù)據(jù)序列波動較為平穩(wěn)時，灰色GM(1，1)模型具有更高的預報精度[15]。

1.2 基于L-M算法的GM(1，1)模型參數(shù)優(yōu)化

(4)

(7)

L-M算法是Gauss-Newton法與梯度下降法的結合，保證了全局最優(yōu)收斂，其算法原理如下。

從病犬主人口述，總結出造成犬患細小病毒病的幾個細節(jié)問題：提早出去遛狗，未打完所有免疫之前不要外出；喂大量肉食；免疫失敗，病痊愈后15～20 d后重新免疫；將食物扔在地上喂食；遛狗時沒有好的習慣，小狗亂聞、挖坑吃土之類。綜上所述，關于犬細小病毒的診治預防還需要各方面的積極配合，以降低本地區(qū)該病的發(fā)病率及死亡率。

將式(4)改為函數(shù)表達式f(t，α0，α1，β，x)=α0eα1(t-1)+β-x，其中t為數(shù)據(jù)序列時間節(jié)點，x為建模數(shù)據(jù)序列值，根據(jù)泰勒定理可得其一階展開式

f(t，α0+h(1)，α1+h(2)，β+h(3)，x)?

(8)

進一步，可建立f(t，α0，α1，β，x)的均值方差準則函數(shù)L(h)，即

L(h)=(h)T(h)/2=fTf+hTJTf/2+

hTJTJh/2,

(9)

h=-(JTJ+μI)-1JTf,

(10)

式中，μ為阻尼系數(shù)，協(xié)方差矩陣(JTJ+μI)對稱正定，確保h代表f(x)的下降方向。

式(10)中，阻尼系數(shù)μ=τmax {diag(A)}，A=JTJ，為設計矩陣，τ為阻尼系數(shù)變換因子。在迭代開始時，τ由用戶根據(jù)實際最優(yōu)化問題設定一個較小正值；在迭代過程中通過增益比ρ[15]進行修正。

ρ=(2hTJTf+hTJTJh)hTμh-hTJTf，

(11)

τ(k+1)=

分析式(11)，(12)可知，由于hTh和-hTJTf=hT(JTJ+μI)h均為非負，則可以保證增益比ρ的分母一定非負。若ρ為正值，此時應減小阻尼系數(shù)μ以增加迭代步長，一般取a=1/3，使下次迭代更接近Gauss-newton算法，發(fā)揮其局部收斂特性且加速收斂速度；若ρ為負值，此時應增大阻尼系數(shù)μ,以減小迭代步長，一般取b=2，使下次迭代更接近梯度下降算法，發(fā)揮其全局特性并保證全局收斂[15]。施加阻尼系數(shù)μ既可以控制下降方向又可以控制下降步長，保證迭代的全局最優(yōu)收斂和較高的收斂速度。

基于L-M算法的基本原理與公式闡述，以下對其在GM(1，1)模型鐘差預報應用中的流程進行簡單描述，步驟如下。

(3)參數(shù)回代：將優(yōu)化后的參數(shù)回代時間響應函數(shù)，求解鐘差序列的擬合與預測值。

2 GPS星載原子鐘LM-GM預報實驗

為驗證本文提出的基于L-M算法對GM(1，1)參數(shù)估計改進的有效性，采用IGS發(fā)布的2018年5月6—7日采樣時間間隔15 min的精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行仿真分析。該時間段內(nèi)在軌運行的星載原子鐘共分為4種類型，如表1所示，隨機選取每類衛(wèi)星中的一顆，本文選取PRN06、PRN07、PRN22和PRN24的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行實驗。

表1 不同原子鐘類型及對應的衛(wèi)星編號Tab.1 Types of different atomic clock and corresponding satellite number

IGS服務器提供的超快速星歷產(chǎn)品更新周期為6 h，快速星歷產(chǎn)品更新周期為24 h。鑒于此，本文設計2種預報方案，使用IGS服務器提供的1 d精密星歷產(chǎn)品構建模型。方案一：預報6 h的短期鐘差數(shù)據(jù)；方案二：預報24 h的中期鐘差數(shù)據(jù)。比較分析2種方案下，本文所提LM-GM優(yōu)化模型與二次多項式模型(QP)和灰色模型(GM)鐘差數(shù)據(jù)預報精度的差異，預報誤差統(tǒng)計比較結果如圖1和圖2所示。

由圖1和圖2可知，隨著預報時間的增加，3種預報模型的預報誤差均呈現(xiàn)增長趨勢。LM-GM優(yōu)化模型相較其余2種模型可以取得更高的預報精度，對于穩(wěn)定性較差的CS原子鐘的鐘差預報，GM模型和LM-GM模型可以取得比QP模型更高的預報精度。

進一步，結合圖1、圖2和表 2進行結果分析，可以得出如下結論：

(1)4顆衛(wèi)星原子鐘鐘差數(shù)據(jù)采用3種預報模型和2種預報方案，均可以滿足理想的預報精度要求。本文所提的參數(shù)估計優(yōu)化方法的灰色模型(LM-GM)在不同方案下的預報精度均優(yōu)于二次多項式模型(QP)和灰色模型(GM)的預報精度。對于6 h短期鐘差預報方案，LM-GM模型Rb原子鐘的預報精度均處于亞納秒量級，相較二次多項式模型，預報精度提高了0.4%～68.7%，相較灰色模型，預報精度提高了43.3%～83.3%；LM-GM模型Cs原子鐘的預報精度為1.876 6 ns，相較于QP模型的4.745 1 ns和GM模型的2.083 5 ns，預報精度提高了60.5%和10%；預報精度平均提高了48.5%。對于24 h中期鐘差預報方案，3種模型的預報精度均顯著降低，LM-GM模型Rb原子鐘的預報精度處于亞納秒至納秒量級之間，相較于二次多項式模型，預報精度提高了3%～61.3%，相較灰色模型，預報精度提高了35.2%～82.6%；LM-GM模型Cs原子鐘的預報精度為4.871 6 ns，相較于QP模型的17.202 2 ns和GM模型的5.119 4 ns，預報精度提高了71.7%和4.9%；預報精度平均提高了46.3%。

(2)由于Cs原子鐘短期穩(wěn)定性較差，星載Rb原子鐘的預報精度要明顯高于星載Cs原子鐘的預報精度。在進行鐘差數(shù)據(jù)建模預測時，使用Rb原子鐘鐘差數(shù)據(jù)可以取得更高的預報精度。目前GPS衛(wèi)星系統(tǒng)搭載的原子鐘逐漸替換為Rb原子鐘，北斗導航系統(tǒng)全部搭載Rb原子鐘，這樣可以獲取到更為穩(wěn)定的原始鐘差數(shù)據(jù)和更精確的預報數(shù)據(jù)，從而在精密單點定位、導航、授時等應用中滿足用戶更高的需求。

圖1 方案一預報誤差結果對比Fig.1 Prediction error result comparison of scheme one

圖2 方案二預報誤差結果對比Fig.2 Prediction error result comparison of scheme two

圖3 L-M算法參數(shù)隨迭代過程的變化Fig.3 Parameter variation of L-M algorithm in iteration process

3 結 語

本文提出了一種基于L-M算法對灰色模型參數(shù)迭代優(yōu)化方法，該方法將灰色模型參數(shù)估值作為迭代初始值，通過L-M算法尋找出與原始數(shù)據(jù)最優(yōu)擬合的灰色模型參數(shù)估值，利用優(yōu)化的模型參數(shù)求解時間響應函數(shù)，提高了灰色模型的預報精度。結合IGS服務中心提供的精密鐘差數(shù)據(jù)產(chǎn)品進行預報實驗，結果表明，相較傳統(tǒng)預報模型，改進模型的預報精度均得到提升。6 h預報方案中，Rb原子鐘的預報精度處于亞納秒量級，Cs原子鐘的預報精度優(yōu)于2 ns；24 h預報方案中，Rb原子鐘的預報精度處于亞納秒至納秒量級，Cs原子鐘的預報精度優(yōu)于5 ns，能夠滿足目前導航定位對衛(wèi)星鐘差精度的要求。