徐超 李立偉 楊玉新

（1.青島大學(xué)，電氣工程學(xué)院，青島 266071；2.青島大學(xué)，威海創(chuàng)新研究院，青島 266071；3.青島大學(xué)，圖書館，青島 266071）

主題詞：鋰離子電池 SOH估計(jì) 粒子濾波算法 螢火蟲算法 健康指標(biāo)

1 前言

鋰離子電池具有自放電率低、能量密度高等顯著優(yōu)點(diǎn)[1]，在交通、航天、國(guó)防等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2]。但在反復(fù)充、放電過程中，鋰離子電池容量會(huì)下降，性能會(huì)降低，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)l(fā)生災(zāi)難性事件[3-4]。因此，準(zhǔn)確估計(jì)鋰離子電池的健康狀態(tài)（State Of Health，SOH）對(duì)于電池的安全可靠運(yùn)行具有重要意義。

電池容量是電池SOH 的直接指標(biāo)，在許多估計(jì)方法中都有應(yīng)用。Chen 等人[5]提出了一種基于歐姆內(nèi)阻與容量衰減關(guān)系的電池SOH 估計(jì)方法。與此同時(shí)，基于可測(cè)電池參數(shù)的健康指標(biāo)（Health Index，HI）在線構(gòu)建也得到了越來越多的研究[6-8]。此外還有基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)方法，但是需要與電池電容和可測(cè)量的物理參數(shù)建立映射關(guān)系，對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集具有高度依賴性。電池在復(fù)雜條件下工作時(shí)，該方法可能會(huì)降低精度。因此，基于模型的預(yù)測(cè)方法越來越受到人們的重視，該方法通過提取表征電池動(dòng)態(tài)老化和失效過程的內(nèi)部參數(shù)來建立物理模型。由于模型參數(shù)隨電池退化而變化，因此可以采用濾波方法遞歸更新模型參數(shù)[9-14]。

然而，卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF）存在一些固有的缺陷，不適應(yīng)非線性的模型，而且要求系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲必須滿足高斯分布，但鋰電池退化過程并不符合這些要求。相比之下，粒子濾波（Particle Filter，PF）算法在處理非高斯和非線性電池SOH方面具有優(yōu)勢(shì)[15]，因而受到許多學(xué)者的關(guān)注和重視。然而，PF 算法存在粒子多樣性退化的問題，為解決這一問題，可以采取的主要策略有2種：一是改進(jìn)重采樣技術(shù)[16-17]，雖然重采樣技術(shù)可以在一定程度上解決粒子數(shù)量不足的問題，但是會(huì)導(dǎo)致粒子的多樣性缺失；二是選擇更合理的粒子建議分布[18]。近年來，隨著生物智能算法的出現(xiàn)和發(fā)展，采用智能群體優(yōu)化算法優(yōu)化粒子濾波來解決粒子退化貧化問題具有非常好的應(yīng)用價(jià)值[19-21]。因此，本文選用螢火蟲算法優(yōu)化粒子濾波，并對(duì)傳統(tǒng)螢火蟲算法加以改進(jìn)，模擬螢火蟲優(yōu)化思想的吸引行為和移動(dòng)行為代替粒子濾波重采樣來解決粒子貧化問題。

2 基本算法

2.1 粒子濾波算法

粒子濾波是一種基于蒙特卡洛仿真的近似貝葉斯濾波的概率統(tǒng)計(jì)算法[22]。許多非線性濾波問題可以用動(dòng)態(tài)空間模型來描述，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別為：

式中，xk、yk分別為k時(shí)刻的狀態(tài)值和觀測(cè)值；fk為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；hk為觀測(cè)函數(shù)；uk為過程噪聲；vk為觀測(cè)噪聲。

設(shè)初始的狀態(tài)概率密度為P(x0|y0)=P(x0)，則得到(k-1)時(shí)刻狀態(tài)變量xk后驗(yàn)概率密度分布P(xk|y1：k-1)的狀態(tài)預(yù)測(cè)方程為：

設(shè)初始重要性密度函數(shù)為q(x0)，并將已知且易于采樣的重要性密度函數(shù)q(x0：k|y1：k)改為：

從q(xk-1|y1：k-1) 中采樣N個(gè)粒子的概率密度為：

式中，δ為狄拉克函數(shù)。

狀態(tài)估計(jì)為：

2.2 螢火蟲算法

通過對(duì)熱帶螢火蟲的發(fā)光機(jī)制和運(yùn)動(dòng)行為進(jìn)行模擬，Yang 提出了一種新型的自然啟發(fā)式群體智能優(yōu)化算法，即螢火蟲算法（Firefly Algorithm，F(xiàn)A）[23]。真實(shí)的螢火蟲發(fā)光自然地呈現(xiàn)出一種離散的閃爍模式，而螢火蟲算法假設(shè)它們總是在發(fā)光[24]。

2.2.1 熒光亮度

熒光亮度取決于螢火蟲所在位置的適應(yīng)度，并與其近似成正比。亮度越高，表示該個(gè)體的吸引力越強(qiáng)，其他個(gè)體向其移動(dòng)的概率越大，并且存在亮度隨著距離而弱化的過程，定義熒光亮度參數(shù)為：

式中，I0為rij=0 時(shí)的光強(qiáng)，即最大光強(qiáng)；γ為介質(zhì)的吸收系數(shù)，通常取1；rij為螢火蟲i和j之間的歐幾里得距離：

式中，xi和xj分別為螢火蟲i和j所處的空間位置；D為維度；xid和xjd分別為螢火蟲i和j所在的第d維分量。

2.2.2 吸引度

螢火蟲的吸引度隨熒光亮度的變化而變化，定義吸引度參數(shù)為：

式中，β0為最亮螢火蟲的吸引度。

2.2.3 位置移動(dòng)

螢火蟲在受到比自身更亮的個(gè)體吸引時(shí)，會(huì)向更亮的個(gè)體移動(dòng)，位置的更新表示為：

式中，為螢火蟲當(dāng)前所在位置；為吸引度；α(R-0.5)為隨機(jī)項(xiàng)，其中α為步長(zhǎng)因子，R∈[0,1]為隨機(jī)數(shù)。

3 改進(jìn)算法

3.1 改進(jìn)螢火蟲算法

FA 是一種參數(shù)少、穩(wěn)定性強(qiáng)，且操作方便的算法，但是在迭代后期會(huì)出現(xiàn)隨螢火蟲之間距離逐漸縮小，其相對(duì)吸引度增大的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致螢火蟲算法局部搜索能力變?nèi)酰⑶矣锌赡茉诜逯蹈浇磸?fù)振蕩，使得算法的計(jì)算速度和求解精度下降。與此同時(shí)，螢火蟲的個(gè)體多樣性變差，易出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象。針對(duì)傳統(tǒng)螢火蟲算法的不足之處，本文對(duì)FA進(jìn)行改進(jìn)。

3.1.1 采用動(dòng)態(tài)搜索步長(zhǎng)

在標(biāo)準(zhǔn)FA中，α是固定的，未考慮隨著迭代次數(shù)增加，螢火蟲之間距離逐漸減小的特征。因此，本文采用隨迭代變化自適應(yīng)控制的隨機(jī)步長(zhǎng)因子α來減小螢火蟲的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。α在每次迭代中進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)諧：

式中，tmax為最大迭代次數(shù)。

3.1.2 引入慣性權(quán)重因子

雖然式（13）最后的帶有特定系數(shù)的隨機(jī)項(xiàng)可以在一定程度上避免局部振蕩的延續(xù)，但是可能由于迭代次數(shù)過多，精度無法得到滿足。因此，為了提高FA的局部搜索能力，將慣性權(quán)重引入位置更新公式：

式中，ωt為慣性權(quán)重因子，一般取0～1范圍內(nèi)的常數(shù)。

3.1.3 改進(jìn)移動(dòng)策略

每一只螢火蟲都在逐步向更亮的螢火蟲移動(dòng)，因?yàn)槊恐晃灮鹣x的亮度都需要相互比較，而且每次比較都伴隨著一次移動(dòng)，這就會(huì)使得跟蹤時(shí)間過長(zhǎng)。為了克服這一問題，以所有比螢火蟲i亮的位置坐標(biāo)的平均值作為代表點(diǎn)，螢火蟲i只向這一代表點(diǎn)移動(dòng)而不必向其他較亮螢火蟲移動(dòng)，這將大幅縮短跟蹤所需時(shí)間。最終改進(jìn)的位置移動(dòng)公式為：

3.2 改進(jìn)螢火蟲算法優(yōu)化粒子濾波步驟

a.設(shè)定所需參數(shù)，包括粒子數(shù)N、最大吸引度β0、步長(zhǎng)因子α、傳播媒介的吸收系數(shù)γ、最大迭代次數(shù)tmax和算法迭代終止閾值?。

c.采用改進(jìn)螢火蟲算法來優(yōu)化粒子，模擬螢火蟲優(yōu)化思想的吸引行為和移動(dòng)行為代替粒子濾波重采樣。首先求出xjavg，并獲取粒子吸引度，然后根據(jù)式（16）更新粒子位置，迭代擬合最小方差估計(jì)。粒子吸引度計(jì)算公式為：

d.判斷擬合終止。當(dāng)熒光亮度大于設(shè)置的終止閾值?時(shí)，停止算法迭代，否則繼續(xù)迭代至最大迭代次數(shù)；當(dāng)算法符合設(shè)定的?時(shí)，說明粒子已收斂至粒子真實(shí)值，或者達(dá)到最大迭代次數(shù)，此時(shí)停止優(yōu)化；否則轉(zhuǎn)入步驟c。

e.權(quán)重補(bǔ)償及更新。螢火蟲算法與粒子濾波結(jié)合的核心思想是，為了得到更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)值，對(duì)PF中的粒子逐個(gè)進(jìn)行迭代尋優(yōu)，粒子會(huì)向后驗(yàn)概率密度值高的區(qū)域聚集。但是螢火蟲算法會(huì)導(dǎo)致粒子濾波分布存在貝葉斯濾波理論丟失的情況，因此，在粒子位置更新的同時(shí)對(duì)權(quán)重進(jìn)行補(bǔ)償及更新：

4 仿真及結(jié)果分析

4.1 鋰電池?cái)?shù)據(jù)集

本文采用先進(jìn)壽命周期工程中心（Center for Advanced Life Cycle Engineering，CALCE）公布的利用美國(guó)Arbin BT2000 鋰電池試驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)鋰電池進(jìn)行連續(xù)的充、放電試驗(yàn)獲得的一組電池容量試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)。試驗(yàn)在室溫條件下進(jìn)行，所用鋰電池的額定容量為1.1 A·h。首先，以恒定電流0.675 A 充電，當(dāng)電壓升高到4.2 V 時(shí)充電結(jié)束。然后，以恒定電流1.350 A放電，放電速率為1 C，當(dāng)電壓降低到2.7 V 時(shí)放電結(jié)束。最后，對(duì)鋰電池進(jìn)行電化學(xué)阻抗譜掃描，頻率掃描范圍0.1～5.0 Hz。

4.2 鋰離子電池在線SOH估計(jì)方法

本文通過提取電池實(shí)際運(yùn)行過程中可以直接監(jiān)測(cè)到的放電電壓序列和時(shí)間序列構(gòu)造一個(gè)在線的HI，對(duì)構(gòu)造的HI 與電池SOH 之間的相關(guān)性進(jìn)行評(píng)估和映射，并將此映射關(guān)系應(yīng)用到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程中以實(shí)現(xiàn)電池SOH估計(jì)。

等放電電壓差時(shí)間間隔潛在退化模型與電池容量退化模型類似，取等放電電壓采樣的最大值Vmax和最小值Vmin分別為4 V 和3.5 V，一定充、放電周期內(nèi)，提取等放電電壓時(shí)間間隔的在線HI為：

式中，tVmax和tVmin分別為電壓采樣的上限和下限時(shí)間。

在線HI序列可以表示為：

在線HI可以作為電池SOH的間接指標(biāo)，而在線HI與電池SOH之間的相關(guān)分析和轉(zhuǎn)換關(guān)系也具有一定的參考價(jià)值。由文獻(xiàn)[25]可知，電池SOH與在線HI之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以描述為：

式中，Oi為電池健康狀態(tài)；β0為常數(shù)；β1和β2為轉(zhuǎn)換關(guān)系系數(shù)；ε為誤差。

這種近似方法應(yīng)用線性基礎(chǔ)展開，是廣義線性回歸模型的擴(kuò)展之一，這種轉(zhuǎn)換關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是可以添加平滑函數(shù)來描述兩個(gè)變量之間的線性或非線性關(guān)系。

4.2.1 退化模型和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

鋰離子電池反復(fù)充、放電造成的退化是一個(gè)復(fù)雜的電化學(xué)反應(yīng)過程，因此很難建立合適的模型來表征整個(gè)降解過程，但是不難看出，電池退化的總體趨勢(shì)是指數(shù)衰減的。而且Xing等人[26]的研究表明，雙指數(shù)退化模型能夠很好地描述電池的退化過程：

式中，a、c為內(nèi)阻抗；b、d為退化速率。

電池雙指數(shù)模型所確定的函數(shù)如圖1 所示。由于原數(shù)據(jù)集樣本量較大，先對(duì)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行約減預(yù)處理，原數(shù)據(jù)樣本每隔5次循環(huán)抽取一個(gè)新數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)建縮減后的數(shù)據(jù)樣本。擬合相關(guān)系數(shù)R=0.995 5，說明雙指數(shù)模型表征電池降解過程的能力很強(qiáng)。

圖1 CALCE數(shù)據(jù)集A12系列電池退化過程擬合

選擇退化模型參數(shù)作為系統(tǒng)狀態(tài)空間變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可建立為：

式中，N(0,σm)(m=a,b,c,d)為均值和標(biāo)準(zhǔn)差都為零的高斯噪聲。

4.2.2 測(cè)量方程

測(cè)量方程描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量與觀測(cè)信息之間的函數(shù)關(guān)系，選擇在線HI 作為狀態(tài)空間方程的測(cè)量值?？紤]到電池退化模型以及在線HI與電池SOH之間的映射關(guān)系，測(cè)量方程為：

式中，g()為在線HI與電池SOH之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

4.2.3 狀態(tài)更新和電池SOH估計(jì)

在第k個(gè)循環(huán)周期，每個(gè)粒子對(duì)電池SOH 的估計(jì)為：

4.3 仿真設(shè)計(jì)

首先，對(duì)CALCE 數(shù)據(jù)集中A12 系列電池進(jìn)行在線HI 提取，并對(duì)構(gòu)建的HI 與SOH 進(jìn)行相關(guān)性分析。然后，對(duì)測(cè)量方程建立在線HI 與電池SOH 之間的映射函數(shù)，對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程建立退化模型。最后，利用改進(jìn)算法對(duì)電池SOH估計(jì)的狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。為便于與電池?cái)?shù)據(jù)對(duì)比，將在線HI除以某一基準(zhǔn)值，所構(gòu)造的在線HI和真實(shí)SOH如圖2所示，由圖2可知，在線HI與電池SOH 有很強(qiáng)的相關(guān)性，說明電池SOH 的變化可以通過提出的HI表示。

圖2 A12系列電池的在線HI提取

由式（24）和電池SOH獲得的映射在線HI如圖3所示。利用最小二乘法計(jì)算系數(shù)β0、β1和β2。最大誤差為0.045 7，表明利用映射關(guān)系可以建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。

圖3 A12系列電池的在線HI與SOH映射關(guān)系

4.4 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了分析改進(jìn)算法的估計(jì)性能，對(duì)粒子數(shù)相同的PF 算法進(jìn)行分析和比較。評(píng)價(jià)指標(biāo)包括均方根誤差（Root-Mean-Square Error，RMSE）ERMSE、最大誤差（Mean Error，ME）EME、最大相對(duì)誤差（Maximum Relative Error，MRE）EMRE和平均誤差（Average Error，AE）EAE：

4.5 仿真結(jié)果與討論

傳統(tǒng)PF 算法與改進(jìn)螢火蟲算法優(yōu)化的粒子濾波（Improved Firefly Algorithm-Particle Filter，IFA-PF）算法對(duì)A12系列電池的SOH估計(jì)結(jié)果如圖4所示，量化性能比較結(jié)果如表1所示。

圖4 2種算法對(duì)A12系列電池的SOH估計(jì)結(jié)果

表1 2種算法仿真結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)

從圖4 和表1 可以看出：經(jīng)過濾波的估計(jì)值與真實(shí)值之間的誤差都在0.05以內(nèi)，最大相對(duì)誤差都在10%以內(nèi)，具有較高的準(zhǔn)確性，說明PF算法在電池SOH估計(jì)中具有良好的性能，適用于鋰離子電池等非線性、非高斯系統(tǒng)；結(jié)合退化模型和在線HI的IFA-PF算法最大相對(duì)誤差可減小到6%以內(nèi)，表明改進(jìn)算法估計(jì)結(jié)果具有較高的精度，優(yōu)于傳統(tǒng)的PF算法。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于改進(jìn)粒子濾波算法的鋰離子電池SOH在線估計(jì)方法。首先從放電電壓和放電時(shí)間方面構(gòu)建了在線測(cè)量的健康指標(biāo)，建立了其與電池SOH之間的映射關(guān)系，并將其應(yīng)用于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。通過建立雙指數(shù)退化模型，采用改進(jìn)算法實(shí)時(shí)調(diào)整模型參數(shù)估計(jì)電池SOH。仿真結(jié)果表明，基于IFA-PF 算法的電池SOH 估計(jì)精度高，能夠有效地適應(yīng)具有非線性和非高斯特性的鋰離子電池。然而，當(dāng)電池在動(dòng)態(tài)條件下工作時(shí)，情況將更為復(fù)雜，測(cè)量精度可能降低，因此在未來將對(duì)這一具有挑戰(zhàn)性的問題進(jìn)行研究。