□蔣 雙 趙思林

（內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江 641110）

數(shù)感是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn).數(shù)感分析在解題思路發(fā)現(xiàn)過(guò)程中占有重要地位.數(shù)感是以“數(shù)概念”在人腦中的擴(kuò)展而產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的敏感，是一種對(duì)數(shù)字（量）的直覺(jué)，是一種敏捷的感知[1].詹國(guó)棵[2]認(rèn)為：“狹義的‘?dāng)?shù)感’是指‘?dāng)?shù)字感’，它的含義是指人腦對(duì)于數(shù)字或數(shù)字運(yùn)算的直覺(jué)，即對(duì)于‘?dāng)?shù)字或數(shù)字運(yùn)算’的洞察與領(lǐng)悟；廣義的‘?dāng)?shù)感’是指對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)’的感覺(jué)，即人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直覺(jué)，亦即對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的洞察與領(lǐng)悟.”在這里，狹義的“數(shù)感”忽視了數(shù)學(xué)中除“數(shù)”之外的另一半——“形”.因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象是“數(shù)”和“形”，所以只研究“數(shù)”的數(shù)學(xué)是不全面的.在初中，學(xué)生就知道“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，即是說(shuō)，初中生都知道，數(shù)學(xué)包括“數(shù)”和“形”.所以廣義的“數(shù)感”更全面、更合理、更有用.數(shù)感可謂五味俱全，它含有“感覺(jué)”“直覺(jué)”“直感”“洞察”“經(jīng)驗(yàn)”“靈感”等多種成分.研究者認(rèn)為，數(shù)感是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）的敏感（敏捷感覺(jué)），這里的數(shù)學(xué)對(duì)象可以是代數(shù)式（包括數(shù)字）、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、數(shù)學(xué)關(guān)系（定理、公式、性質(zhì)等）、數(shù)學(xué)模型、問(wèn)題情境、“數(shù)”與“形”及其混合體等.數(shù)感分析是指從數(shù)感的角度探索數(shù)學(xué)問(wèn)題求解題思路的一種分析方法.數(shù)感分析高度依賴于原型、直觀、直覺(jué)、猜測(cè)、想象等數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).數(shù)感分析有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路或結(jié)論.數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精華成分.培養(yǎng)數(shù)感就是在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)數(shù)感的重要資源.

一、對(duì)特殊“數(shù)字”的敏感

例1（新高考卷Ⅰ第2題）

A.1 B.-1 C.iD.-i

評(píng)析：本題出現(xiàn)在選擇題第2 題，一般屬于容易題，可考慮借助于數(shù)感，通過(guò)心算簡(jiǎn)單獲解.

思路1：從選項(xiàng)獲數(shù)感，4 個(gè)“答案”都簡(jiǎn)單，可采用逐一檢驗(yàn)的方法.顯然A、B不成立.對(duì)于C，只需計(jì)算(1+2i)×i=i-2，這與分子不相等，所以C錯(cuò).故選D.

思路2：從“化簡(jiǎn)‘分式’的基本方法是‘約分’”獲得數(shù)感，2-i=-2i2-i=-i(2i+1)，約分后即得答案-i，選D.

說(shuō)明：數(shù)感依賴于經(jīng)驗(yàn).若沒(méi)有觀察“答案”、化簡(jiǎn)“分式”的基本方法是“約分”等經(jīng)驗(yàn)，則上述兩種思路是不易想到的.

例 2（全國(guó)卷Ⅲ理第 12 題）已知 55＜84，134＜85，設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）.

A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b

評(píng)析：據(jù)了解，很多考生不明白給出的兩個(gè)條件55＜84，134＜85，到底有何意圖.其實(shí)，設(shè)計(jì)這兩個(gè)條件的意圖有三：一是為降低題目難度，或有提示解法之意；二是需要把指數(shù)不等式變成對(duì)數(shù)不等式，才便于利用對(duì)數(shù)這個(gè)工具；三是希望考生能從這兩個(gè)不等式的指數(shù)“感覺(jué)”到（比較大小的“媒介”）的存在，這個(gè)正是數(shù)感的產(chǎn)物.

二、對(duì)“數(shù)學(xué)模型”的敏感

例3（全國(guó)卷Ⅰ理第5題）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20 個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點(diǎn)圖.

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）.

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

評(píng)析：從散點(diǎn)圖可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)溫度達(dá)到20℃后其增長(zhǎng)速度是緩慢增長(zhǎng)，這恰好與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的模型比較吻合.再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，容易選D.

說(shuō)明：學(xué)生應(yīng)知道，4 個(gè)“答案”的函數(shù)模型分別代表線性增長(zhǎng)、拋物增長(zhǎng)、爆炸增長(zhǎng)、緩慢增長(zhǎng).

例4（全國(guó)卷Ⅱ理第11 題）若2x-2y＜3-x-3-y，則（ ）.

A.ln（y-x+1）＞0 B.ln（y-x+1）＜0

C.ln|x-y|＞0 D.ln|x-y|＜0

評(píng)析：借用“合并同類項(xiàng)”的經(jīng)驗(yàn)（式子感），把原不等式化為2x-3-x＜ 2y-3-y，由此可構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)f(x)=2x-3-x，則有f(x)＜f(y).易知f(x)為增函數(shù)，因此x＜y.則有y-x+1 ＞ 1.故選A.

三、對(duì)“圖形”的敏感

例5（全國(guó)卷Ⅰ理第14題）設(shè)a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=________.

評(píng)析：本題的條件有三個(gè)：|a|=1，|b|=1，|a+b|=1.如果再把|a-b|考慮在內(nèi)，則本題共涉及4 個(gè)模，即4 個(gè)長(zhǎng)度（距離）.因此，從模的幾何意義考慮問(wèn)題是自然的、簡(jiǎn)單的想法.若把上述三個(gè)條件賦予幾何意義，則可以a,b為鄰邊作一個(gè)平行四邊形.再由三個(gè)條件易知，此平行四邊形必為菱形，且a,b的夾角為120°.又| |a-b恰好是這個(gè)菱形的另外一條對(duì)角線，因此

若學(xué)生熟悉恒等式|a+b|2+|a-b|2=2 |a|2+2 |b|2，則此題可心算獲解.

例6（全國(guó)卷Ⅰ理第11 題）已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，且直線l：2x+y+2=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PA|?|PB|最小時(shí)，直線AB的方程為（ ）.

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

評(píng)析：本題若直接著手于“算”的話，則不易找到思路，并且比較麻煩.但若對(duì)相應(yīng)的圖形的幾何意義產(chǎn)生數(shù)感，則問(wèn)題的解決思路會(huì)油然而生.

將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y-1)2=4，得圓心M（1，1），

r=|AM|=2.由面積法可得，

|PM|取最小值 ?PM⊥l?AB//l，即可排除A和C.故選D.

四、對(duì)“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”的敏感

例7（全國(guó)卷Ⅱ理第6題）數(shù)列{ }an中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+ …+ak+10=215-25，則k=（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

評(píng)析：符號(hào)多是本題的一大特色，這也讓考生感到像“霧里看花”，并產(chǎn)生無(wú)從下手的感覺(jué).這正好體現(xiàn)本題考查學(xué)生的高級(jí)認(rèn)知（分析、猜測(cè)、洞察、演繹等）的真實(shí)意圖.由數(shù)據(jù)215,25可強(qiáng)烈地感受到該數(shù)列可能含有等比數(shù)列的信息，這就是數(shù)感.遞推方程am+n=aman是一個(gè)一般性的遞推關(guān)系，考生需要從這個(gè)關(guān)系中敏銳地發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造出含通項(xiàng)an和它的后一項(xiàng)an+1的遞推關(guān)系，才有可能用到等比數(shù)列知識(shí).因此，采用特殊值法，取m=1，則an+1=a1an.又因?yàn)閍1=2，所以因此{(lán)an}是等比數(shù)列，則an=2n.

所以ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1(210-1)=2k+11-2k+1=215-25.故選C.

五、對(duì)“數(shù)學(xué)美”的敏感

“化丑為美”是數(shù)學(xué)解題的基本策略.解高考數(shù)學(xué)題要善于把丑的形式（結(jié)構(gòu)）化為美的形式（結(jié)構(gòu)）.

例8（全國(guó)卷Ⅱ第21 題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

（1）討論f(x)在區(qū)間( )0,π 的單調(diào)性；

（3）設(shè)n∈ N*，證明：sin2xsin22xsin24x…

評(píng)析：第（1）題是常規(guī)題，其解析從略.

第（2）題因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以只需證明f(x)的最大值是

因?yàn)樵趂(x)=sin2xsin2x中的次數(shù)不同、角度不同，因此該結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)的，但不是最美的. 作降次變換得，f(x)=sin2xsin2x=

記p(x)=2sin2x-sin4x，此式右邊兩項(xiàng)的系數(shù)分別是2, -1，因此，2sin2x-sin4x的形式仍然是不美的（不對(duì)稱）.但若先變形為p(x)=sin2x+sin2x+sin(2π-4x)；再作換元，即令2x=A,2x=B，2π -4x=C，則A+B+C=2π，且p(x)=sinA+sinB+sinC.此形式顯得簡(jiǎn)單了、美了.從而，可借助于以下結(jié)論求出p(x)的最大值.

結(jié)論：在 △ABC中，sinA+sinB+sinC在時(shí)取得最大值.

這個(gè)結(jié)論的條件和結(jié)論都體現(xiàn)對(duì)稱美和簡(jiǎn)單美.此結(jié)論在一些書籍上有，其發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程均可掌握[3].這個(gè)結(jié)論是產(chǎn)生數(shù)感的“原型”.

借助上述結(jié)論，其思路探索和解答就容易了.事實(shí)上，由sint在[ ]0,π 上的上凸可得，

下面反復(fù)用第（2）題的結(jié)論進(jìn)行放縮即可，從略.

重視數(shù)感的培養(yǎng)無(wú)疑是重要的和必要的.已有數(shù)感經(jīng)驗(yàn)是產(chǎn)生新數(shù)感的基礎(chǔ).數(shù)感的經(jīng)驗(yàn)源于對(duì)數(shù)感的實(shí)踐、反思與凝練.數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心成分，數(shù)感的產(chǎn)生依賴于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成，即數(shù)感的產(chǎn)生依賴于豐富的經(jīng)驗(yàn)、敏銳的眼光、靈活的思維.數(shù)感的實(shí)質(zhì)就是能用數(shù)學(xué)眼光對(duì)情境（問(wèn)題）的快速審視并頓生感覺(jué).用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，就是要“想看”“會(huì)看”“看思結(jié)合”，“看出來(lái)的感覺(jué)”即為數(shù)感.在新課教學(xué)中，數(shù)感的培養(yǎng)可以從知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程著手培養(yǎng).數(shù)學(xué)解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的沃土，教師不宜讓學(xué)生急忙著手去算，而是應(yīng)先讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)觀察、直覺(jué)分析、整體把握、思路預(yù)估等思維活動(dòng)，因?yàn)檫@可達(dá)到多角度、多層次培育數(shù)感的目的.