雷 婷,陳光淦

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院&可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610068)

反應(yīng)擴(kuò)散方程在動(dòng)力學(xué)上的主要特征一方面是物質(zhì)在相互轉(zhuǎn)化下局部化學(xué)反應(yīng)的影響[1],另一方面是物質(zhì)在空間中擴(kuò)散。反應(yīng)擴(kuò)散方程因其廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景而被眾多數(shù)學(xué)家關(guān)注[2-5]。

本文研究下列Hilbert空間H中帶加性噪聲的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程

(1)

其中隨機(jī)過(guò)程u=u(t,x):[0,T]×[0,π]→,有界算子B和有限維的Wiener過(guò)程W在第1節(jié)將給出詳細(xì)定義。本文的主要目的是嚴(yán)格建立方程(1)在快速擴(kuò)散的極限條件下的有效近似。

用類似于Flandoli[6]的方法,在下節(jié)的基本假設(shè)下,易知方程(1)的Cauchy問(wèn)題存在唯一的局部解。本文主要證明了方程(1)的解可由方程

u(t)=b(t)+Z(t)+error

有效近似,其中Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程Z(t,x)將在定義1.2中給出。

db(t)=2Bc(b,Z)+Bc(Z,Z)+dWc,

其中Wc=PcW,Bc=PcB,Pc是投射到核空間N的算子[7],詳細(xì)定義將在第一節(jié)給出。

本文的結(jié)構(gòu)如下,在第1節(jié),給出了隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的相關(guān)定義和假設(shè)。在第2節(jié),給出文章的主要結(jié)論。在第3節(jié),證明了主要結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Hilbert空間H的內(nèi)積和范數(shù)可分別表示為〈·,·〉和‖·‖。記算子A=△+1,則A滿足Aek=-λkek,其中λk滿足0λ1λ2…λk…,并且對(duì)所有足夠大的k,有λk≥Ckm成立。是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

令N:=kerA,T:N⊥在N空間H的正交補(bǔ)集,并且Pc:H→N。Ps:=I-Pc。Pc和Ps與算子A可交換。假設(shè)N的維數(shù)為n,其對(duì)應(yīng)基為{e1,…,ek}。

定義1.1[8]對(duì)任意的α∈,定義空間Hα為

進(jìn)一步算子A生成的解析半群{etA}t≥0為

并且存在常數(shù)M>0和K>0,對(duì)任意的t>0,βα和任意的u∈Hβ,滿足

‖etAPsu‖α

(2)

假設(shè)1.1設(shè)α,β是公式(2)中的參數(shù),B是從Hα×Hα到Hα-β的有界雙線性映射,有B(u,v)=B(v,u)=u·v成立,并且對(duì)任意的u∈N,滿足PcB(u,u)=0。簡(jiǎn)記符號(hào)Bs=PsB,Bc=PcB,其中PsPc如上定義的投射算子。

假設(shè)1.2W為H空間上的Wiener過(guò)程,假設(shè)當(dāng)t>0,

其中βk(t)是上獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)Brownian 運(yùn)動(dòng),ρk為實(shí)數(shù),N是某個(gè)正整數(shù)。

注記1.1若控制無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂,則當(dāng)N=時(shí),假設(shè)1.3也成立。例如:W的有界協(xié)方差算子為其中{αk}k是一組有界實(shí)序列,{fk}k∈是H空間上的一組正交基。假設(shè)

因此為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),取假設(shè)1.2中的N<。

定義1.2定義O-U過(guò)程Z(t)為

其中

定義1.4對(duì)于隨機(jī)過(guò)程{Xε(t)}t≥0,若對(duì)任意的p≥1,存在常數(shù)Cp,滿足

C

p

f

ε

,

本文除特別說(shuō)明外,C表示所有正的常數(shù)。

2 近似理論

將方程(1)的解u分解為

u(t)=a(t)+ψ(t),

(3)

其中a∈N,ψ∈N⊥。將u=a+ψ帶入到方程(1)中, 可得

da=[2Bc(a,ψ)+Bc(ψ,ψ)]dt+dWc，

(4)

和dψ=[ε-2Asψ+Bs(a,a)+2Bs(a,ψ)+Bs(ψ,ψ)]dt+dWs。

(5)

方程(5)的溫和解為

(6)

其中Z(t)在定義1.2中被定義。在第一步逼近中,ψ近似于O-U過(guò)程 (引理3.1中有嚴(yán)格的證明過(guò)程)。因此,用Z替換公式(4)中的ψ,得到

da≈[2Bc(a,Z)+Bc(Z,Z)]dt+dWc。

令b:[0,T0]→N是方程

db=[2Bc(b,Z)+Bc(Z,Z)]dt+dWc

(7)

的解。

下面給出本文的主要結(jié)論：

其中

Q(t)=Z(t)+eε-2tAsψ(0)。

3 定理2.1的證明

‖ψ(t)-eε-2tAsψ(0)-Z(t)‖αCε2-2κ。

證明由公式(6),利用三角不等式和半群估計(jì)

其中運(yùn)用公式(2),引理3.1得證。C>0

引理3.2[8]在定義1.1和假設(shè)1.2的條件下,存在常數(shù),αk,λk,κ0>0和T0,滿

Cε

,

Cε

,

其中Zk(t)和Z(t)在定義1.2中被給出。

引理3.3在引理3.1,3.2條件下,若ψ(0)=O(1),則存在常數(shù)C>0,滿足

C

。

證明利用引理3.1,3.2和三角不等式,由公式(6)得到

Cε

6-6κ

+

C

完成引理3.3的證明。

引理3.4在定義1.2和假設(shè)1.1,1.2的條件下,定義隨機(jī)過(guò)程b(t),其初始條件‖b(0)‖C,

(8)

那么對(duì)于T0>0, 存在常數(shù)C>0, 滿足

C

。

證明為了驗(yàn)證b(t)有界,定義X為

X(t)=b(t)-Wc(t)。

(9)

將公式(9)代入到公式(7)中, 得到

?tX(t)=2Bc(X+Wc,Z)+Bc(Z,Z)。

在公式等號(hào)兩邊同做內(nèi)積,則

再利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式,可得

?t‖X‖2C[1+‖Z‖2]‖X‖2+C‖Z‖2[‖Z‖2+‖Wc‖2]。

由引理3.2,

?t‖X‖2

利用Grownwall引理,當(dāng)ε充分小時(shí),

‖X‖2

結(jié)合公式(9),得到

C

。

引理3.5存在常數(shù)C>0,滿足

證明利用公式(2)得到

結(jié)論得證。

引理3.6若假設(shè)1.1,1.2成立,則

(10)

證明由公式(6)和引理3.1,得到

ψ(t)=eε-2tAsψ(0)+O(ε2-2κ)+Z(t)。

(11)

記

y(t)=eε-2tAsψ(0)，R(t)=O(ε2-2κ)。

將公式(11)代入到公式(4)中,得到

對(duì)Bc運(yùn)用[9]的方法上,從而得到

其中

引理3.7集合Ω*的概率近似于1,因?yàn)?/p>

運(yùn)用Chebychev不等式和引理3.1,3.2,3.4,3.6,得到

引理3.8在定義1.2和假設(shè)1.1,1.2的條件下,b為方程(9)的解,a在空間Ω*上由公式(5)定義,且‖a(0)‖C。如果初始條件滿足a(0)=b(0),那么在空間Ω*上,對(duì)于0κ滿足

(12)

和

(13)

證明定義

h(t):=a(t)-b(t),

由公式(10)得

(14)

定義

由公式(14)得

(15)

在公式(15)等號(hào)兩邊同做內(nèi)積,得到

運(yùn)用Young不等式和Cauchy-Schwartz不等式,有

利用定義3.1,得到

運(yùn)用Gronwall不等式,有

因此,在空間Ω*上

(16)

考慮運(yùn)用公式(16)和定義3.1,得到

公式(12)獲證。進(jìn)一步

運(yùn)用公式(12)和定義3.1,得到(13)。

定理2.1的證明

對(duì)于近似結(jié)論,運(yùn)用公式(13)和三角不等式,得到

因此,