郁 濤

(上海裕韜智能科技有限公司,上海201802)

0 引言

已有的研究結(jié)果表明,如果將程差方程和幾何輔助關(guān)系結(jié)合起來,就能得到平面雙基三站定位方程的線性解,由此即可得到適用于長基線的雙基三站程差測向公式。在此基礎(chǔ)上,通過適當(dāng)?shù)暮喕幚?即可獲得長短基線都適用的單基中點(diǎn)測向解[1]。為進(jìn)一步提高單基中點(diǎn)測向解的準(zhǔn)確度,文獻(xiàn)[1]采用將程差的幾何投影式展開,并將站點(diǎn)處的到達(dá)角轉(zhuǎn)換為基線中點(diǎn)的到達(dá)角的方法,給出了一個基線中點(diǎn)目標(biāo)到達(dá)角的嚴(yán)格解。這個嚴(yán)格解以站點(diǎn)處的到達(dá)角與增量角之和來表示單基中點(diǎn)方位角,但實(shí)際上其中的增量角是未知的。這個嚴(yán)格解最終僅在近似簡化消去增量角之后,給出了一個利用雙站交會角使計(jì)算準(zhǔn)確度更高的近似解。

現(xiàn)有的單基中點(diǎn)測向解的解析分析是建立在程差測量的基礎(chǔ)之上的,和這種程差測量直接對應(yīng),基于雙站時差測量的高精度長基線測向或定位問題[2-3]已經(jīng)被研究。雙站無源定位仍是一個極具發(fā)展?jié)摿Φ难芯空n題[4]。作為整個拓展應(yīng)用研究過程的一個過渡階段,本文從定位三角形的邊角關(guān)系入手,通過程差與角度之間的轉(zhuǎn)換,研究了基于雙站角度測量的陣列中點(diǎn)方位角的計(jì)算問題。主要目的是期望得到一個既簡單,又有較高計(jì)算準(zhǔn)確度的解析計(jì)算式,以利于進(jìn)一步的研究分析。

1 定位三角形的邊角關(guān)系

圖1為單基定位三角形的示意圖。其中,T為被探測目標(biāo),S1和S2表示探測站點(diǎn),d為站點(diǎn)間基線長度,r1和r2分別為對應(yīng)站點(diǎn)的目標(biāo)徑向距離,α1和α2分別為兩站點(diǎn)處以站間基線為測量基準(zhǔn)的目標(biāo)方位角。

根據(jù)圖1中定位關(guān)系,由正弦定理可得到

式中:Δθ=180°-α1-α2為目標(biāo)處的交會角。

由式(1)可得到兩站點(diǎn)到目標(biāo)的徑向距離

圖1 單基定位三角形

如將兩徑向距離相減,則可得到站點(diǎn)S1和站點(diǎn)S2間的程差Δr1]2與方位角之間的關(guān)系式

圖2為一維雙基定位三角形的示意圖。站點(diǎn)S2位于站點(diǎn)S1、站點(diǎn)S3連線中點(diǎn),d為站點(diǎn)S2與站點(diǎn)S1、站點(diǎn)S3]間基線長度,r1、r2、r3]分別為對應(yīng)站點(diǎn)的目標(biāo)徑向距離,α1、α2、α3]分別為對應(yīng)站點(diǎn)處以站間基線為測量基準(zhǔn)的方位角,θ2為站點(diǎn)S2的目標(biāo)到達(dá)角?？梢苑謩e得到相鄰兩個站點(diǎn)間程差和方位角的關(guān)系式。其中,Δ r1]2與方位角關(guān)系見式(4),Δ r2]3與方位角關(guān)系式為

圖2 一維雙基定位三角形

對于整個雙基定位三角形,利用上述的方法,可得到站點(diǎn)S1和站點(diǎn)S3間程差Δ r1]3和方位角之間的關(guān)系式

2 從程差到角度的變換

2.1 基于程差測量的近似測向公式

通過直接對一維雙基測向公式[1]中程差的高階項(xiàng)做近似處理,可得到僅與程差測量相關(guān)的目標(biāo)到達(dá)角θ2的單基近似測向解[2]

借助幾何投影的方法,將基線投影到程差所在的徑向方向上,可得到一個能利用雙站間的交會角有效提高計(jì)算準(zhǔn)確性的單基修正近似測向解

式中:Δθ1]3=180°-α1-α3,是站點(diǎn)S1和站點(diǎn)S3之間的交會角。

2.2 近似的幾何解釋

如圖3所示,對于雙站定位系統(tǒng),由目標(biāo)和兩個觀測站所構(gòu)成的定位三角形△S1TS2可被分解為兩個三角形:一個是和程差相關(guān)的,稱之為程差三角形△S1BS2;另一個是扣減程差三角形后所得到的等腰三角形△BTS2。

圖3 定位三角形的分解

對于等腰三角形△BTS2,根據(jù)兩底角相等的條件,可得

式中:α=∠BS2C為修正角。

由此即可證得

根據(jù)圖3所示的幾何關(guān)系可得

如忽略實(shí)測程差所在直角邊的修正長度Δa=2dcosθ1tg(Δθ/2),則即得到近似測向解。

2.3 邊角關(guān)系的演繹

將式(6)代入式(7),可直接給出利用陣列兩端點(diǎn)測向值的單基中點(diǎn)測向解

利用三角函數(shù)的倍角關(guān)系以及和差化積關(guān)系,可將式(12)變形為

從圖2可知方位角與到達(dá)角之間的關(guān)系為α1=90°-θ1和α3=90°+θ3,代入式(13),有

對于遠(yuǎn)距目標(biāo),θ1-θ3將是一個很小的量,此時cos((θ1-θ3)/2)近似為1,于是近似有到達(dá)角之間的中值關(guān)系為

因此,在雙站陣列中點(diǎn)的目標(biāo)到達(dá)角可以直接用陣列端點(diǎn)處的到達(dá)角進(jìn)行近似估計(jì)。

3 基于程差關(guān)系的雙站測算解

對于圖2所示一維雙基陣列,程差之間關(guān)系式為

根據(jù)式(4)～式(6),將基于角度測量的程差表達(dá)式代入式(16),得到

將陣列中點(diǎn)的方位角α2作為未知量求解,且為形式簡單,上述方程的左端直接用Δ r1]3表示?？山獾梅匠?/p>

在此基礎(chǔ)上,如進(jìn)一步做函數(shù)變換,例如將余弦函數(shù)化為正弦函數(shù),則將出現(xiàn)一元四次方程,即使給出顯示解亦難以應(yīng)用于工程解析分析。為此采用近似,先將式(18)中的余弦函數(shù)變換為

將式(8)代入式(24),得到

于是,求解方程式(12),可表示為

進(jìn)一步的簡潔表示為

經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證,基于程差關(guān)系的雙站測算解公式為

4 計(jì)算準(zhǔn)確度分析

4.1 相對計(jì)算誤差理論參考值

從理論角度,為確定計(jì)算準(zhǔn)確度,可使用文獻(xiàn)[1]給出的雙基測向解作為基于雙站測向角測算陣列中點(diǎn)目標(biāo)到達(dá)角的理論參考值。計(jì)算公式為

式中:上標(biāo)p表示是理論值。相對計(jì)算誤差為

但實(shí)際模擬計(jì)算時,為處理簡單,是先直接設(shè)置中點(diǎn)到達(dá)角、中點(diǎn)徑向距離和基線長度,并讓預(yù)設(shè)的陣列中點(diǎn)到達(dá)角在指定區(qū)間內(nèi)線性變化,然后用預(yù)設(shè)值計(jì)算出定位三角形內(nèi)的各個幾何參量,由此就可按式(30)給出陣列中點(diǎn)目標(biāo)到達(dá)角的計(jì)算值。

圖4給出了當(dāng)目標(biāo)距離為300km時,不同基線長度情況下的相對計(jì)算誤差理論值。計(jì)算結(jié)果表明,對于300km遠(yuǎn)的目標(biāo)距離,只要站間距離小于200km,則基于雙站測向角測算陣列中點(diǎn)目標(biāo)到達(dá)角的相對計(jì)算誤差就能小于1.5%。如果站間距離大于200km,則雙站測算解將不再有效。

圖4 不同基線長度的相對計(jì)算誤差

4.2 解算準(zhǔn)確度比較

圖5給出了雙站測算解和修正近似解的相對計(jì)算誤差。計(jì)算的參數(shù)為:基線長度d=100 km,目標(biāo)距離r2=300km。由圖示曲線可見,雙站測算解的計(jì)算準(zhǔn)確度略高于修正近似解。

圖5 計(jì)算準(zhǔn)確度的比較

5 結(jié)束語

基于角度測量的數(shù)學(xué)處理過程較為繁雜。基于雙站角度測量,利用相鄰兩基線的程差和關(guān)系,所得到的單基中點(diǎn)測向的嚴(yán)格解析解涉及一元四次方程,直接求解高階方程所得到的嚴(yán)格解析解并不適合工程解析分析。本文的分析僅是初步確定,利用雙站交會角改進(jìn)單基中點(diǎn)修正近似測向解的計(jì)算準(zhǔn)確度和雙站測算解的計(jì)算準(zhǔn)確度基本相同,換句話說就是用修正近似解即可取代高階近似的解析解。