江蘇蘇州市吳中區(qū)東湖小學 蔣 欣

在蘇教版數(shù)學教材中，自三年級起每學期安排了一課時的“探索規(guī)律”，主要分布于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等領域。這樣的“分散滲透”與“專題編排”正是蘇教版數(shù)學教材的特色與亮點。這些內(nèi)容既很好地反映了數(shù)學學科的特點，同時也符合學生的認知規(guī)律。

筆者以蘇教版數(shù)學教材中的“探索規(guī)律”為例，結(jié)合目前在教學中存在的一些問題，試圖從課堂實施的層面談幾點自己的思考及做法。

一、尚存問題

在實際教學中，不少教師在教學“探索實踐”這一專題內(nèi)容時，對教學目標的定位不夠準確。主要表現(xiàn)在：組織教學活動時，過于注重幫助學生掌握、理解“規(guī)律”的內(nèi)容，而忽視了引領學生發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”的探索過程；或者過于注重組織學生進行規(guī)范地表達“規(guī)律”，而忽視了引領學生個性化感悟發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”；或者過于注重通過演繹推理運用“規(guī)律”進行問題解決，而忽視了引領學生在合情推理基礎上對“規(guī)律”的大膽猜想。

二、原因淺析

有些教師將“探索規(guī)律”中的“規(guī)律”僅看作是一個知識點，而衡量學生對一個數(shù)學知識的掌握程度，顯然要關(guān)注其對知識的理解與掌握程度；也可能是為了片面追求課堂教學的效率，故而縮減了學生的探究過程；還可能是多年來受應試教育的影響，于是將是否掌握規(guī)律并熟練運用規(guī)律解決問題作為一個重要的考量標準。

三、思考與做法

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、猜測、實驗、推理、驗證、計算等活動過程。

因此，教師在教學實際中應該有計劃地引導學生積極參與到探索活動之中，著重引領學生經(jīng)歷有序觀察、大膽猜測、科學實驗、合情推理、合理驗證，以及準確計算等探索過程。至于“規(guī)律”的內(nèi)容，重在引導學生去感悟，同時鼓勵學生進行自主表達，在此基礎上適當運用獲得的“規(guī)律”解決相關(guān)的實際問題。

1.探索規(guī)律需要有序觀察

“探索規(guī)律”的學習活動，首先要從學生學會有序觀察開始。觀察，是有目的、有計劃的知覺活動，是以視覺為主，融其他感覺為一體的綜合感知，而且觀察包含著積極的思維活動，因此稱之為知覺的高級形式。在“探索規(guī)律”等數(shù)學活動的觀察中，還應做到歸類、有序，才有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

例如，在教學六年級上冊的“表面涂色的正方體”這一內(nèi)容時，關(guān)鍵是要引導學生有序觀察、合理分類、展開想象，教師在此基礎上組織以下幾個層次的探索活動：

第一層次，組織學生通過觀察一個表面涂上紅色的正方體積木（課件演示“每條棱都被平均分成2份”），引導學生思考：如果沿線切開，能得到多少個小正方體？這些小正方體分別有幾個面被涂到紅色？學生通過觀察，容易想到：在“切成”的小正方體中，只有原來露在表面的那些面才會被涂到紅色。

第二層次，通過組織學生觀察“每條棱被平均分成3份、4份、5份……的正方體”，探索“表面涂色的正方體”的規(guī)律。這一層次的教學活動極為關(guān)鍵，因為第一層次探索活動中的正方體是個特例：棱長二等分后得到的8個小正方體都在原來的頂點處，均有3面被涂到紅色。因此探索“每條棱被三等分的正方體”的情況將是關(guān)鍵，引導學生通過有序觀察發(fā)現(xiàn)：若按規(guī)定切開，切成的小正方體中有3面涂色（在頂點處）、2面涂色（在棱中間）、1面涂色（在面中間），并且數(shù)量不同。在此基礎上，再有序觀察“每條棱被平均分成4份、5份……的正方體”，并通過觀察、比較3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方體的個數(shù)，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

第三層次，嘗試歸納總結(jié)規(guī)律，并用字母、符號進行適當?shù)谋磉_。

數(shù)學中的許多規(guī)律、公理都來源于觀察。這一專題中的“規(guī)律”帶有一定的隱蔽性，在探索活動中教師需要引導學生進行合理分類、有序觀察。這里的“有序”主要體現(xiàn)在兩個方面：其一，通過觀察要將一個正方體中“切割”得到的小正方體按涂色的面數(shù)進行分類；其二，要有序地觀察將正方體每條棱二等分、三等分、四等分、五等分的情況，并由此展開想象。因此，有序觀察在探索數(shù)學規(guī)律的過程中具有普遍價值。

2. 探索規(guī)律需要大膽猜想

法國數(shù)學家龐加萊曾說：“邏輯用于論證，直覺可用于發(fā)明?！痹谖覀償?shù)學“探索規(guī)律”的教學中，也需要我們的學生擁有這種直覺思維。因為直覺思維有著：直接性、經(jīng)驗性、迅速性、跳躍性、或然性等特征，而這些正是小學生思維的特點。

例如，教師在教學五年級下冊“和與積的奇偶性”這一探索活動時，就要充分利用學生的已有經(jīng)驗，鼓勵學生大膽猜想。

這一專題活動的探索，學生會有兩次直覺猜想：第一次是關(guān)于“和的奇偶性”，從探究“兩個數(shù)相加”開始并逐步拓展，學生憑直覺——幾個偶數(shù)相加，和一定是偶數(shù)，因此“和的奇偶性”關(guān)鍵看加數(shù)中奇數(shù)的情況。第二次是關(guān)于“積的奇偶性”，學生憑經(jīng)驗——幾個奇數(shù)相乘，積一定是奇數(shù)，因此“積的奇偶性”關(guān)鍵看乘數(shù)中的偶數(shù)的情況。學生僅憑直覺或數(shù)感得出這樣的猜想，沒有邏輯推理，但是這種猜想極其重要，因為針對這一規(guī)律的探索正是從這樣的猜想開始的。學生有了這樣的直覺猜想，接下來的舉例驗證才有方向與目標。

因此，教師在組織“探索規(guī)律”專題活動時，要充分利用學生的直覺思維，積極鼓勵他們大膽地猜測與假設。在探索過程中允許學生“即興回答”，允許學生根據(jù)線索片段做出直覺判斷。教師在此基礎上引導學生展開合理想象、動手操作，從而習得規(guī)律。

3. 探索規(guī)律需要合理驗證

探索規(guī)律不僅是去探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，更主要的是引領學生經(jīng)歷從特殊到一般、從一般到特殊的探索規(guī)律和驗證規(guī)律的過程，了解從特殊到一般、從一般到特殊的數(shù)學思想方法。

例如，四年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容，在探索過程中教師就要引領學生經(jīng)歷從特殊到一般的驗證過程。第一次驗證，是關(guān)于四邊形的內(nèi)角和，學生容易想到兩個特殊的四邊形——長方形和正方形，它們的內(nèi)角和是360°，因為它們每個內(nèi)角都是90°。需要驗證的是，是不是每一個四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？從而，結(jié)合已有的經(jīng)驗——把四邊形分成兩個三角形，進行探索一般四邊形的內(nèi)角和。第二次需要驗證的是：是不是任意多邊形都能像四邊形那樣分成若干個三角形呢？通過操作與想象，答案顯然是肯定的。第三次要驗證的是：是不是分成的三角形的個數(shù)總比多邊形的邊數(shù)少2呢？通過對劃分成三角形的多邊形的分析發(fā)現(xiàn)：分成的所有三角形中，只有兩個三角形中的兩條邊是多邊形的邊，其余三角形都只有一條邊是多邊形的邊，所以三角形的個數(shù)總比多邊形的邊數(shù)少2。從而歸納出：多邊形的內(nèi)角和＝（多邊形的邊數(shù)-2）×180°。

一個數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，如果僅停留在猜想的階段，那么它永遠是一個猜想，而不會真正成為“規(guī)律”，要使其成為真正的數(shù)學規(guī)律，就得經(jīng)歷合理的驗證。因此，合理驗證是探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律過程中極為重要的環(huán)節(jié)。

4. 探索規(guī)律需要科學實驗

探索規(guī)律的教學貴在探索，而探索有可能找不到規(guī)律，也有可能找不對規(guī)律，還可能找不全規(guī)律，這才是真實的探索過程。于是，探索規(guī)律需要不斷地實驗，只有科學地進行數(shù)學實驗才能對發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”進行調(diào)整、糾偏。

例如，五年級上冊“釘子板上的多邊形”，乍一看“釘子板上的多邊形”學生很難立即想到這些多邊形與“釘子數(shù)”有關(guān)，甚至不會想到與多邊形邊上還是內(nèi)部的釘子數(shù)量之間的關(guān)系。如果教師完全按照教材提供的問題線索組織學生進行探索研究，那么這樣的“探索”只是按圖索驥，并沒有問題思路的整理和實驗步驟的確定。因此，筆者覺得針對數(shù)學規(guī)律的探索活動有必要引領學生以科學的態(tài)度進行數(shù)學實驗。在實際的教學中，教師可以組織學生進行以下幾個層次的數(shù)學實驗活動：

第一次實驗：多邊形的面積與釘子的數(shù)量有關(guān)。教學時，教師提供各種情況的多邊形——多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)不統(tǒng)一，同時學生在點子圖上任意畫幾個多邊形，此時學生只是“有所察覺”而不成“規(guī)律”，但能激發(fā)學生探究的興趣。第二次實驗：這次實驗是基于第一次實驗的困惑，學生有所發(fā)現(xiàn)，當多邊形內(nèi)部只有1枚釘子時，多邊形的面積數(shù)正好是邊上釘子數(shù)的一半。于是再次進行實驗——在點子圖上任意畫“內(nèi)部有1枚釘子的多邊形”。學生通過這次實驗，對“規(guī)律”已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)，只是不夠完整，但激發(fā)學生欲罷不能的探索欲望——是不是只有當“多邊形內(nèi)部只有1枚釘子”時才有這樣的規(guī)律呢？第三次實驗：多邊形的面積數(shù)與其邊上和內(nèi)部的釘子數(shù)都有關(guān)系。引導學生組織畫圖實驗——依次探索多邊形內(nèi)部有1枚、2枚、3枚……以及內(nèi)部沒有釘子的圖形進行探索，從而獲得完整的規(guī)律。

“數(shù)學實驗，這種建立在對物質(zhì)世界的直接經(jīng)驗基礎上的真正的學習，使數(shù)學成為一門有趣的、受學生歡迎并使學生都能理解的學科?！币虼?，在“探索規(guī)律”的教學中，教師除了組織學生根據(jù)問題的引領去關(guān)注“探索什么”，更應該引導學生通過科學實驗去經(jīng)歷“如何探索”的過程，這才是學生探索數(shù)學規(guī)律的真諦所在。

5. 探索規(guī)律需要合情推理

教師引領學生學習“探索規(guī)律”這一專題內(nèi)容，實際上就是引領學生走進數(shù)學世界，進行合理地推理與有效地演繹。對于學生來說，合情推理具有可操作性，因為學生可以通過歸納與類比得到自己推理的結(jié)果。

例如，教師在組織教學六年級下冊“面積的變化”這一專題活動時，就要充分利用學生已有的經(jīng)驗——圖形的放大與縮小，引領學生通過聯(lián)想、歸納與類比進行合情推理。具體的探索活動如下：

首先，組織學生測量一大一小兩個長方形的長和寬，明確大長方形與小長方形對應邊的比是3∶1，即大長方形是小長方形按3∶1的比放大的。在此基礎上，學生發(fā)現(xiàn)這兩個長方形面積的比是9∶1，并產(chǎn)生聯(lián)想：這里的“9”會不會是“3×3”得到的呢？第二，引導學生自主探索。從簡單、熟悉的圖形開始，如大小兩個正方形之間的面積關(guān)系，更容易發(fā)現(xiàn)：如果正方形按3∶1放大，面積是32∶1；如果正方形按2∶1放大，面積就是22∶1……再推廣到三角形、圓等圖形。第三，幫助學生從特殊走向一般，逐漸歸納出數(shù)學規(guī)律：一個平面圖形如果按n∶1放大，那么放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

歸納推理與類比推理是兩種用途最廣的合情推理，正如數(shù)學家拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！碑斎唬瑥膰乐?shù)倪壿嬇袛鄟碇v，合情推理得到的結(jié)果不一定全部準確，但學生的思維是在合情推理中得到鍛煉的，推理能力也是在這樣的合情推理中逐步形成的，同時也有利于增強學生的探究意識。

6. 探索規(guī)律需要準確計算

“探索規(guī)律”主要分布于“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”等領域，不少規(guī)律的探索過程都是在準確計算的基礎上進行的，而準確計算也為順利進行探索活動提供了保障。

例如，在三年級下冊“有趣的乘法計算”這一探索活動中，“準確計算”既是基礎和前提，也是教學目標。首先，教師組織學生計算一組“兩位數(shù)與11相乘”的計算題，在此基礎上引導學生觀察乘積與這個兩位數(shù)之間的關(guān)系。第二，學生各自舉例再次計算進行驗證，并通過觀察豎式中的計算過程以理解這一計算規(guī)律的算理，有利于促進學生真正掌握“兩位數(shù)與11相乘”的計算規(guī)律。否則學生掌握的可能只是關(guān)于乘積表象的一句口訣：“兩端一拉，中間相加，滿十進一?！敝劣谔剿鳌笆幌嗤覀€位上的數(shù)相加等于10的兩個數(shù)相乘”和“形如（n-1）×（n+1）乘法”的計算規(guī)律，同樣是在學生準確計算的基礎上通過觀察發(fā)現(xiàn)。

再如，四年級上冊“簡單的周期”這一探索活動，也需要學生進行準確計算，當然更重要的是對“余數(shù)”的理解。

學生通過準確計算探索發(fā)現(xiàn)這些運算規(guī)律之后，反過來又再次促進了運算能力。這樣的探索過程使學生既明確算理，又掌握計算技巧，對發(fā)展學生的運算能力這一數(shù)學核心素養(yǎng)非常有益。

另外，獲得相應的數(shù)學規(guī)律之后，我們就需要對規(guī)律進行概括與表達，這也是規(guī)律的精華所在。筆者認為，對于學生而言，對有些規(guī)律的表達可以個性化呈現(xiàn)，例如關(guān)于“間隔排列”的規(guī)律，它屬于簡單情境下的變化規(guī)律，又比較貼近生活實際，在表達時允許學生運用文字、符號或字母，只要能感悟其本質(zhì)就行。當然，對有些規(guī)律的表達則需要“公式化”，例如“多邊形的內(nèi)角和”屬于數(shù)學本身的規(guī)律，它具有一定的隱蔽性，用公式表達更能體現(xiàn)數(shù)學的簡約性和符號化，也有利于幫助學生建模。

關(guān)于應用規(guī)律解決實際問題，是規(guī)律的價值所在，也是“探索規(guī)律”的教學目標之一。但在小學階段，教師不宜將“探索規(guī)律”的教學重點落在解決問題上，學生能體會規(guī)律的應用價值就行，更不應該將應用規(guī)律解決實際問題的水平作為評價的主要標準。

基于以上思考，筆者認為關(guān)于小學數(shù)學中“探索規(guī)律”的教學，教師應該跳出傳統(tǒng)教學中“應試”的思維去思考與實踐。在教學中我們除了關(guān)注這些“規(guī)律”的內(nèi)容或承載的知識之外，更應該重視學生探索數(shù)學規(guī)律的方法，感悟相應的數(shù)學思想，積累數(shù)學活動的基本經(jīng)驗，并培養(yǎng)數(shù)學實驗的科學態(tài)度。

“探索規(guī)律”的教學，主要目的是讓學生學會研究數(shù)學的方法，使學生的數(shù)學思維更加開放、多元，促進思維能力的發(fā)展。蘇教版數(shù)學教材中8個“探索規(guī)律”的專題活動，盡管以獨立的課時截取了數(shù)學中某一片段的內(nèi)容予以呈現(xiàn)，但與很多內(nèi)容有著直接的、緊密的聯(lián)系；它們就像一顆顆“種子”植入學生的大腦，這些“種子”蘊含著數(shù)學文化、數(shù)學思維品質(zhì)和數(shù)學關(guān)鍵能力。因此，需要教師積極探索，在組織教學時為學生提供充分的自主學習空間，并引領學生用數(shù)學的眼光去觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維去思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言去表達現(xiàn)實世界，用數(shù)學的方法去分析和解決現(xiàn)實生活中的問題。