文環(huán) 靖

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，函數(shù)建模也是模型思想的一個(gè)重要組成部分。在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)。這三種函數(shù)在考查內(nèi)容和考查要求上幾乎是相同的。

一、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式

例1 根據(jù)下列條件，分別確定二次函數(shù)的表達(dá)式：

（1）圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)是-5；

（2）圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-3）。

【分析】待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是?？碱}型，它一般位于綜合題的第一問(wèn)。無(wú)論是哪種函數(shù)，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式的步驟一般都是統(tǒng)一的：（1）根據(jù)題目條件設(shè)出合適的函數(shù)關(guān)系式；（2）將圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)代入，建立方程（組）；（3）解方程（組），確定待定系數(shù)；（4）寫出函數(shù)關(guān)系式。

把點(diǎn)（0，-5）代入得-5，解得

（方法2）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c（a≠0）。

解得

因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-3），

所以-3=a-4，a=1。

所以二次函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）2-4=

【點(diǎn)評(píng)】在所有步驟中，對(duì)同學(xué)們分析問(wèn)題能力要求最高的是第一步——設(shè)表達(dá)式。我們必須要仔細(xì)審題確定是哪種函數(shù)，弄清到底什么樣的表達(dá)式合適。以二次函數(shù)為例，如果題目條件只是任意給了不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，那么可以設(shè)一般式；如果像第（1）問(wèn)那樣給出兩個(gè)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可以設(shè)交點(diǎn)式；若題目條件是頂點(diǎn)坐標(biāo)，那么則可設(shè)頂點(diǎn)式。確定合適的函數(shù)關(guān)系式，將為后期問(wèn)題是否能夠快速準(zhǔn)確解決奠定非常重要的基礎(chǔ)。第二步——代入，必須明確不是任何點(diǎn)都能代入，只有在圖像上的點(diǎn)才能代入。

二、利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問(wèn)題

例2 已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

【分析】第（1）問(wèn)是探究與x軸的交點(diǎn)情況，所以y=0，此處實(shí)際上是判斷方程2·（x-1）（x-m-3）=0 的根的情況。第（2）問(wèn)“該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方”指的是圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，由此構(gòu)造出關(guān)于m的不等式。

（1）證明：當(dāng)y=0 時(shí)，2（x-1）（x-m-3）=0。

解得x1=1，x2=m+3。

當(dāng)m+3=1，即m=-2 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)m+3≠1，即m≠-2 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

所以，不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

（2）解：當(dāng)x=0 時(shí)，y=2m+6，即該函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2m+6。

當(dāng)2m+6＞0，即m＞-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

【點(diǎn)評(píng)】第（1）問(wèn)判斷一元二次方程根的情況可以分別從根的判別式或者解方程兩種途徑來(lái)解決。結(jié)合方程特征，同學(xué)們要學(xué)會(huì)優(yōu)化。本題方程結(jié)構(gòu)很明顯，利用因式分解法解方程最簡(jiǎn)單。第（2）問(wèn)“該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方”，若有的同學(xué)對(duì)這句話不太理解，解決函數(shù)問(wèn)題的基本策略——畫圖像就派上用場(chǎng)了，通過(guò)畫圖便能將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。