陳峰,楊德森,2,3,桂晨陽,張翔,莫世奇,2,3
(1.哈爾濱工程大學 水聲工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工程大學 水聲技術(shù)重點實驗室,黑龍江 哈爾濱 150001;3.海洋信息獲取與安全工業(yè)和信息化部重點實驗室(哈爾濱工程大學),黑龍江 哈爾濱 150001)
波達方向(direction-of-arrival, DOA)[1-3]估計作為陣列信號處理的一個研究重點,該技術(shù)一直被廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶探測等方面。傳統(tǒng)的高分辨,例如最大似然估計(maximum likelihood, ML)[4]、旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)[5]、多重子空間分類算法(multiple signal classification, MUSIC)[6]以及加權(quán)子空間類算法(weighted subspace fitting, WSF)[7]等,均需要將信源個數(shù)作為先驗知識,才能進行DOA估計[8]。然而,在實際工程中,不能直接獲取目標個數(shù),并且對目標數(shù)目進行準確估計在工程上也具有一定難度和挑戰(zhàn)?,F(xiàn)有的對于目標數(shù)進行估計的算法,包括最小長度描述法 (minimum description length, MDL)[9-10]以及信息論準則 (Akaike information criterion, AIC)[11]。這些經(jīng)典算法最大的弊端在于當環(huán)境噪聲不滿足高斯白噪聲時,很難獲得準確的信源數(shù)目。雖然,有一些算法針對此情況進行了改進,然而,在信噪比 (signal-to-noise ratio, SNR) 較低、快拍數(shù)不足時,依然難以獲得準確的信源數(shù)目。
針對上述問題,有學者提出了無需信源數(shù)目的DOA估計方法,例如眾所傳統(tǒng)波束形成(conventional beamforming, CBF) 以及最小方差無畸變響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)[12]算法,此類算法雖然無需已知信源個數(shù),但是卻不能獲得超分辨。為此,Qian等[13]提出了一種無需信源個數(shù)的DOA算法,此算法主要利用了Toeplitz矩陣重構(gòu),并利用特定矩陣的最大特征值進行DOA估計,實驗證明該算法可以獲得較好的估計性能,但是該算法需要進行Toeplitz矩陣重構(gòu),因而使得算法所能探測的目標數(shù)目減少至陣元數(shù)的一半。文獻[14]提出一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的來進行DOA估計的方法,雖然,此方法也無需已知信源個數(shù),并且不會損失陣列的孔徑,但是為了對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓練,此方法需要提供大量的有效數(shù)據(jù)進行學習。
現(xiàn)有的DOA算法,大多從特征向量入手進行分析,而忽略了對于特征值的運用。雖然文獻[15]提出了一種NSP(noise subspace to power)算法,該算法從特征值入手,利用噪聲功率的不變性,構(gòu)建了空間譜,從而使得算法性能優(yōu)于MUSIC算法,但是此算法依舊沒有擺脫子空間類算法的弊端,需要已知信源個數(shù)。為此,本文在NSP算法的框架上進行分析,提出了一種特殊的特征值排布方式,限定了其最小特征值對應(yīng)的特征向量并利用其在不同角度上的正交特性,構(gòu)建空間譜,從而使得本文算法無需已知信源個數(shù),且擁有著超分辨效果。
假設(shè)K個遠場且相互獨立的窄帶信號入射到一個由M個陣元組成的均勻線陣中,均勻線陣的陣間距d為半波長。因此,陣列接收的信號可以表示為:
X(t)=A(Θ)S(t)+N(t)
(1)
式中:S(t)∈CK×1表示信號;N(t)∈CM×1表示傳感器接收到的加性噪聲;A(Θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]∈CM×K代表陣列導向矢量,Θ=[θ1,θ2,…,θK]代表入射角度的集合,對于角度θ的導向矢量可以表示為:
a(θ)=[1,e-j2πdsin(θ)/λ,…,e-j2π(M-1)dsin(θ)/λ]T
(2)
式中λ代表信號的波長,因此接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以表示為:
R=E[X(t)XH(t)]=A(Θ)RSAH(Θ)+
E[N(t)NH(t)]
(3)
其中RS=E[S(t)SH(t)]代表信號協(xié)方差矩陣。
MUSIC算法主要利用噪聲子空間與導向矢量的正交性進行測向,即:
(4)
式中UN代表由式(3)分解得到的噪聲子空間。由式(4)可知,導向矢量必與噪聲子空間中的每一列正交,因此,可以得到:
(5)
式中eM代表第M個特征值對應(yīng)的特征向量。利用式(5)構(gòu)建空間譜,可得:
(6)
利用式(6)進行仿真,設(shè)置SNR為0 dB,快拍數(shù)為500,陣元數(shù)為6,入射角度為0°和10°進行空間譜仿真實驗,其結(jié)果如圖1所示,從圖1中可以看到,算法雖然在0°和10°處形成了譜峰,但是在非目標處也形成譜峰,產(chǎn)生了虛假目標,從而導致式(6)算法失效。
圖1 算法空間譜Fig.1 Spatial spectrum of the algorithm
為此,可以按照文獻[15]的方法構(gòu)建一個協(xié)方差矩陣:
(7)
(8)
(9)
因此,根據(jù)正交性可得:
(10)
并且存在:
(11)
由式(11)可以看出,目標處與非目標處數(shù)值相差較大,因此式(9)將不會在非目標處形成譜峰,從而克服了式(6)的弊端。
(12)
其中,Δ=βM,令S={1,2,…,K},{λi|i∈S}代表R的特征值。式(8)另外一種情況下的特征值表示為:
(13)
對于式(12)、式(13)的特征值排布模式進行推導:
(14)
(15)
因此只要選取合適的β值便可滿足式(12)的特征值排布情況,同理也可得到式(13)的特征值排布情況。式(12)說明,最小特征值對應(yīng)的特征向量是噪聲所形成的;而式(13)說明,最小特征值對應(yīng)的特征向量是由信號和噪聲組合而成,滿足式(8)。為此文章討論β的取值范圍,根據(jù)式(12)和式(13)中特征值的排布情況,可以得到關(guān)于β的限制條件:
(16)
為了能夠準確獲得β取值范圍,首先必須給出信號功率與信號特征值之間的關(guān)聯(lián),將式(3)進行改寫可得:
(17)
a(θ)aH(θ)=MeeH
(18)
由于rank(a(θ)aH(θ))=1,所以a(θ)aH(θ)特征值可以表示為tr(a(θ)aH(θ))=tr(aH(θ)a(θ))=M。根據(jù)式(18),式(17)可以改寫為:
(19)
根據(jù)文獻[17]中特征值的運算性質(zhì):
eig(A-cI)=λA,i-c
eig(I+cA)=cλA,i+1
式中:A為對稱矩陣;c為常數(shù);λA,i為A的特征值。因此理想情況下信號特征值與信號功率之間的關(guān)系可以表示為:
(20)
根據(jù)式(20)和式(16)可以得到β的邊界條件:
(21)
根據(jù)SNR的定義,并將β進行適量的縮放,選取邊界內(nèi)的一個合適的β,其選取方式可以表示為:
(22)
假設(shè)2個等功率且不相關(guān)的遠場窄帶信號,以0°和10°的波達角入射到一個由6個聲壓傳感器組成的均勻線陣上,陣元間距d=0.5λ,快拍數(shù)為300,設(shè)置SNR為0 dB。進行MVDR、NSP以及本文算法的對比實驗。其結(jié)果如圖2所示,從圖2中,可以看到當2個目標的角度差較小時,MVDR算法無法進行準確識別,而本文算法以及NSP算法卻能準確識別2個目標,從而說明本文算法與NSP算法擁有著高于MVDR算法的分辨率。而且此時本文算法,旁瓣比較平坦,沒有形成錯誤的譜峰,說明式(11)的正確性,進一步說明所提算法理論的正確性可行性。
為了進一步驗證算法的性能,進行200次蒙特卡洛獨立實驗。保持其他條件不變,設(shè)置SNR從-5 dB開始,每次增加2 dB,一直到15 dB,進行3種算法的均方根誤差(root mean square error,RMSE)對比分析實驗,其結(jié)果如圖3所示,從圖3中可以看到隨著信噪比的增加,本文算法以及NSP算法的均方根誤差隨之減小,但是MVDR算法在SNR小于7 dB時,其均方根誤差減小較為緩慢,而在SNR大于7 dB時,算法均方根誤差急劇減小,MVDR算法在小于7 dB時,無法區(qū)分0°和10°的2個目標,從而說明本文算法以及NSP算法在低信噪比時分辨率優(yōu)于MVDR算法,所提算法擁有著超分辨效果。
圖2 不同算法的空間譜對比Fig.2 Comparison of spatial spectrum of algorithm
圖3 不同信噪比下算法的均方根誤差對比Fig.3 Comparison of RMSE of algorithms under different SNR
保持其他條件不變,設(shè)置一個目標的波達角為0°,另外一個角度為(0+φ)°,φ可表示為一個由5開始每次遞增2,直到25為止的等差數(shù)列。因此,φ可以看作2個目標之間的角度差;設(shè)置SNR為0 dB,進行200次蒙特卡洛實驗,得到不同角度差下算法的均方根誤差,其結(jié)果如圖4所示,從圖4中,可以看到,當目標角度差小于10°時,本文算法性能是最好的,說明本文算法更加適用于小角度差的環(huán)境下,隨著角度差的增加,3種算法的均方根誤差趨近于一致,從整體上看本文算法的性能優(yōu)于MVDR算法,說明本文算法可以在無需已知信源個數(shù)的前提下獲得超分辨效果。
為分析快拍數(shù)對于算法的影響,保持其他條件不變,設(shè)置目標入射角度為0°和15°,快拍數(shù)為100開始,每次遞增200,直到900為止,進行200次蒙特卡洛實驗,其均方根誤差如圖5所示。從圖5中,可以看到隨著快拍數(shù)的增加,MVDR算法的均方根誤差也隨之減小,但此時其性能在3種算法中是最差的,而NSP算法是受快拍數(shù)影響較小的算法,本文算法在快拍數(shù)小于300時,受快拍影響較大,當快拍數(shù)大于300時,本文算法的均方根誤差較為穩(wěn)定且與NSP算法較為接近。
圖4 不同角度差下算法的均方根誤差對比Fig.4 Comparison of RMSE of algorithms under different DOA interval
圖5 不同快拍數(shù)下算法的均方根誤差對比Fig.5 Comparison of the RMSE of the algorithm under different snapshots
1)本文通過推導信號特征值與信號功率之間的關(guān)聯(lián),給出了β的邊界條件以及取值方法,從而實現(xiàn)了本文算法,并克服了噪聲最小特征值對應(yīng)的特征向量與掃描導向矢量正交時,掃描譜上出現(xiàn)虛假譜峰的弊端。
2)本文給出一種無需已知信源數(shù)目的DOA算法,其性能優(yōu)于MVDR算法,且在小角度差時,其分辨率高于NSP算法。
3)本文算法雖然擁有較好的估計精度以及分辨率,但算法需要在每個搜索角度進行特征值分解,以獲得所需特征向量,計算量較大。
本文的給出了信號特征值與信號功率之間的數(shù)學表達式,揭示了兩者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。但本文算法的重點在于β的選擇,如何利用β提高算法性能、減小信號檢測門限以及減小算法計算量,是后期的研究重點。