陳峰，楊德森,2,3，桂晨陽，張翔，莫世奇,2,3

(1.哈爾濱工程大學 水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學 水聲技術(shù)重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001；3.海洋信息獲取與安全工業(yè)和信息化部重點實驗室(哈爾濱工程大學)，黑龍江 哈爾濱 150001)

波達方向(direction-of-arrival, DOA)[1-3]估計作為陣列信號處理的一個研究重點，該技術(shù)一直被廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶探測等方面。傳統(tǒng)的高分辨，例如最大似然估計(maximum likelihood, ML)[4]、旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)[5]、多重子空間分類算法(multiple signal classification, MUSIC)[6]以及加權(quán)子空間類算法(weighted subspace fitting, WSF)[7]等，均需要將信源個數(shù)作為先驗知識，才能進行DOA估計[8]。然而，在實際工程中，不能直接獲取目標個數(shù)，并且對目標數(shù)目進行準確估計在工程上也具有一定難度和挑戰(zhàn)?，F(xiàn)有的對于目標數(shù)進行估計的算法，包括最小長度描述法 (minimum description length, MDL)[9-10]以及信息論準則 (Akaike information criterion, AIC)[11]。這些經(jīng)典算法最大的弊端在于當環(huán)境噪聲不滿足高斯白噪聲時，很難獲得準確的信源數(shù)目。雖然，有一些算法針對此情況進行了改進，然而，在信噪比 (signal-to-noise ratio, SNR) 較低、快拍數(shù)不足時，依然難以獲得準確的信源數(shù)目。

針對上述問題，有學者提出了無需信源數(shù)目的DOA估計方法，例如眾所傳統(tǒng)波束形成(conventional beamforming, CBF) 以及最小方差無畸變響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)[12]算法，此類算法雖然無需已知信源個數(shù)，但是卻不能獲得超分辨。為此，Qian等[13]提出了一種無需信源個數(shù)的DOA算法，此算法主要利用了Toeplitz矩陣重構(gòu)，并利用特定矩陣的最大特征值進行DOA估計，實驗證明該算法可以獲得較好的估計性能，但是該算法需要進行Toeplitz矩陣重構(gòu)，因而使得算法所能探測的目標數(shù)目減少至陣元數(shù)的一半。文獻[14]提出一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的來進行DOA估計的方法，雖然，此方法也無需已知信源個數(shù)，并且不會損失陣列的孔徑，但是為了對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓練，此方法需要提供大量的有效數(shù)據(jù)進行學習。

現(xiàn)有的DOA算法，大多從特征向量入手進行分析，而忽略了對于特征值的運用。雖然文獻[15]提出了一種NSP(noise subspace to power)算法，該算法從特征值入手，利用噪聲功率的不變性，構(gòu)建了空間譜，從而使得算法性能優(yōu)于MUSIC算法，但是此算法依舊沒有擺脫子空間類算法的弊端，需要已知信源個數(shù)。為此，本文在NSP算法的框架上進行分析，提出了一種特殊的特征值排布方式，限定了其最小特征值對應(yīng)的特征向量并利用其在不同角度上的正交特性，構(gòu)建空間譜，從而使得本文算法無需已知信源個數(shù)，且擁有著超分辨效果。

1 基于特征值排序的DOA估計算法

1.1 數(shù)據(jù)模型

假設(shè)K個遠場且相互獨立的窄帶信號入射到一個由M個陣元組成的均勻線陣中，均勻線陣的陣間距d為半波長。因此，陣列接收的信號可以表示為：

X(t)=A(Θ)S(t)+N(t)

(1)

式中：S(t)∈CK×1表示信號；N(t)∈CM×1表示傳感器接收到的加性噪聲；A(Θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]∈CM×K代表陣列導向矢量，Θ=[θ1,θ2,…,θK]代表入射角度的集合，對于角度θ的導向矢量可以表示為：

a(θ)=[1,e-j2πdsin(θ)/λ,…,e-j2π(M-1)dsin(θ)/λ]T

(2)

式中λ代表信號的波長，因此接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以表示為：

R=E[X(t)XH(t)]=A(Θ)RSAH(Θ)+

E[N(t)NH(t)]

(3)

其中RS=E[S(t)SH(t)]代表信號協(xié)方差矩陣。

1.2 算法思路及空間譜構(gòu)造

MUSIC算法主要利用噪聲子空間與導向矢量的正交性進行測向，即：

(4)

式中UN代表由式(3)分解得到的噪聲子空間。由式(4)可知，導向矢量必與噪聲子空間中的每一列正交，因此，可以得到：

(5)

式中eM代表第M個特征值對應(yīng)的特征向量。利用式(5)構(gòu)建空間譜，可得：

(6)

利用式(6)進行仿真，設(shè)置SNR為0 dB，快拍數(shù)為500，陣元數(shù)為6，入射角度為0°和10°進行空間譜仿真實驗，其結(jié)果如圖1所示，從圖1中可以看到，算法雖然在0°和10°處形成了譜峰，但是在非目標處也形成譜峰，產(chǎn)生了虛假目標，從而導致式(6)算法失效。

圖1 算法空間譜Fig.1 Spatial spectrum of the algorithm

為此，可以按照文獻[15]的方法構(gòu)建一個協(xié)方差矩陣：

(7)

(8)

(9)

因此，根據(jù)正交性可得：

(10)

并且存在：

(11)

由式(11)可以看出，目標處與非目標處數(shù)值相差較大，因此式(9)將不會在非目標處形成譜峰，從而克服了式(6)的弊端。

1.3 β邊界條件分析

(12)

其中，Δ=βM，令S={1,2，…,K}，{λi|i∈S}代表R的特征值。式(8)另外一種情況下的特征值表示為：

(13)

對于式(12)、式(13)的特征值排布模式進行推導：

(14)

(15)

因此只要選取合適的β值便可滿足式(12)的特征值排布情況，同理也可得到式(13)的特征值排布情況。式(12)說明，最小特征值對應(yīng)的特征向量是噪聲所形成的；而式(13)說明，最小特征值對應(yīng)的特征向量是由信號和噪聲組合而成，滿足式(8)。為此文章討論β的取值范圍，根據(jù)式(12)和式(13)中特征值的排布情況，可以得到關(guān)于β的限制條件：

(16)

為了能夠準確獲得β取值范圍，首先必須給出信號功率與信號特征值之間的關(guān)聯(lián)，將式(3)進行改寫可得：

(17)

a(θ)aH(θ)=MeeH

(18)

由于rank(a(θ)aH(θ))=1，所以a(θ)aH(θ)特征值可以表示為tr(a(θ)aH(θ))=tr(aH(θ)a(θ))=M。根據(jù)式(18)，式(17)可以改寫為：

(19)

根據(jù)文獻[17]中特征值的運算性質(zhì)：

eig(A-cI)=λA,i-c

eig(I+cA)=cλA,i+1

式中：A為對稱矩陣；c為常數(shù)；λA,i為A的特征值。因此理想情況下信號特征值與信號功率之間的關(guān)系可以表示為：

(20)

根據(jù)式(20)和式(16)可以得到β的邊界條件：

(21)

根據(jù)SNR的定義，并將β進行適量的縮放，選取邊界內(nèi)的一個合適的β，其選取方式可以表示為：

(22)

2 計算機仿真實驗及結(jié)果分析

2.1 算法可行性分析

假設(shè)2個等功率且不相關(guān)的遠場窄帶信號，以0°和10°的波達角入射到一個由6個聲壓傳感器組成的均勻線陣上，陣元間距d=0.5λ，快拍數(shù)為300，設(shè)置SNR為0 dB。進行MVDR、NSP以及本文算法的對比實驗。其結(jié)果如圖2所示，從圖2中，可以看到當2個目標的角度差較小時，MVDR算法無法進行準確識別，而本文算法以及NSP算法卻能準確識別2個目標，從而說明本文算法與NSP算法擁有著高于MVDR算法的分辨率。而且此時本文算法，旁瓣比較平坦，沒有形成錯誤的譜峰，說明式(11)的正確性，進一步說明所提算法理論的正確性可行性。

2.2 算法統(tǒng)計性能分析

為了進一步驗證算法的性能，進行200次蒙特卡洛獨立實驗。保持其他條件不變，設(shè)置SNR從-5 dB開始，每次增加2 dB，一直到15 dB，進行3種算法的均方根誤差(root mean square error，RMSE)對比分析實驗，其結(jié)果如圖3所示，從圖3中可以看到隨著信噪比的增加，本文算法以及NSP算法的均方根誤差隨之減小，但是MVDR算法在SNR小于7 dB時，其均方根誤差減小較為緩慢，而在SNR大于7 dB時，算法均方根誤差急劇減小，MVDR算法在小于7 dB時，無法區(qū)分0°和10°的2個目標，從而說明本文算法以及NSP算法在低信噪比時分辨率優(yōu)于MVDR算法，所提算法擁有著超分辨效果。

圖2 不同算法的空間譜對比Fig.2 Comparison of spatial spectrum of algorithm

圖3 不同信噪比下算法的均方根誤差對比Fig.3 Comparison of RMSE of algorithms under different SNR

保持其他條件不變，設(shè)置一個目標的波達角為0°，另外一個角度為(0+φ)°，φ可表示為一個由5開始每次遞增2，直到25為止的等差數(shù)列。因此，φ可以看作2個目標之間的角度差；設(shè)置SNR為0 dB，進行200次蒙特卡洛實驗，得到不同角度差下算法的均方根誤差，其結(jié)果如圖4所示，從圖4中，可以看到，當目標角度差小于10°時，本文算法性能是最好的，說明本文算法更加適用于小角度差的環(huán)境下，隨著角度差的增加，3種算法的均方根誤差趨近于一致，從整體上看本文算法的性能優(yōu)于MVDR算法，說明本文算法可以在無需已知信源個數(shù)的前提下獲得超分辨效果。

為分析快拍數(shù)對于算法的影響，保持其他條件不變，設(shè)置目標入射角度為0°和15°，快拍數(shù)為100開始，每次遞增200，直到900為止，進行200次蒙特卡洛實驗，其均方根誤差如圖5所示。從圖5中，可以看到隨著快拍數(shù)的增加，MVDR算法的均方根誤差也隨之減小，但此時其性能在3種算法中是最差的，而NSP算法是受快拍數(shù)影響較小的算法，本文算法在快拍數(shù)小于300時，受快拍影響較大，當快拍數(shù)大于300時，本文算法的均方根誤差較為穩(wěn)定且與NSP算法較為接近。

圖4 不同角度差下算法的均方根誤差對比Fig.4 Comparison of RMSE of algorithms under different DOA interval

圖5 不同快拍數(shù)下算法的均方根誤差對比Fig.5 Comparison of the RMSE of the algorithm under different snapshots

3 結(jié)論

1)本文通過推導信號特征值與信號功率之間的關(guān)聯(lián)，給出了β的邊界條件以及取值方法，從而實現(xiàn)了本文算法，并克服了噪聲最小特征值對應(yīng)的特征向量與掃描導向矢量正交時，掃描譜上出現(xiàn)虛假譜峰的弊端。

2)本文給出一種無需已知信源數(shù)目的DOA算法，其性能優(yōu)于MVDR算法，且在小角度差時，其分辨率高于NSP算法。

3)本文算法雖然擁有較好的估計精度以及分辨率，但算法需要在每個搜索角度進行特征值分解，以獲得所需特征向量，計算量較大。

本文的給出了信號特征值與信號功率之間的數(shù)學表達式，揭示了兩者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。但本文算法的重點在于β的選擇，如何利用β提高算法性能、減小信號檢測門限以及減小算法計算量，是后期的研究重點。