鞏龍延 楊慧 趙生妹

1) (南京郵電大學(xué)理學(xué)院, 江蘇省新能源技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室, 南京 210003)

2) (南京郵電大學(xué)信號(hào)處理與傳輸研究院, 南京 210003)

最近, 基于量子信息理論的統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度引起了人們的關(guān)注. 在噪聲環(huán)境下, 一個(gè)受外界驅(qū)動(dòng)的單量子比特系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為. 本文利用Lindblad 方程, 在Born-Markov 近似下, 研究 N 次中間量子測(cè)量后,在系統(tǒng)演化的最后時(shí)刻 τ , 末態(tài)的統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度 C . 研究發(fā)現(xiàn): 在 τ 由0 變大的過(guò)程中, C 從0 開(kāi)始, 先增大到最大值, 然后減小, 直到再趨近于0; N 較小時(shí), C 伴隨著明顯的不規(guī)則振蕩現(xiàn)象, 振幅隨 τ 逐漸減小; N 越大,C 隨 τ 的變化趨勢(shì)越接近無(wú)中間測(cè)量時(shí)的變化趨勢(shì). 研究結(jié)果給量子態(tài)的操控提供了一定的理論參考.

1 引 言

多年來(lái), 系統(tǒng)的復(fù)雜性相關(guān)研究在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域引起了人們的廣泛關(guān)注[1]. 算法復(fù)雜性、計(jì)算復(fù)雜性、生物復(fù)雜性、生態(tài)復(fù)雜性、演化復(fù)雜性、發(fā)育復(fù)雜性、語(yǔ)法復(fù)雜性、經(jīng)濟(jì)復(fù)雜性、社會(huì)復(fù)雜性等概念被提出[2].以愛(ài)因斯坦為代表的許多科學(xué)家認(rèn)為自然界的基本規(guī)律是簡(jiǎn)單的, 然而物質(zhì)世界呈現(xiàn)在人們面前是層次化、復(fù)雜化的[3]. 簡(jiǎn)單的定律多次重復(fù)應(yīng)用, 在自然界中可以呈現(xiàn)出豐富的結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的現(xiàn)象[4].高維度的物理過(guò)程, 若從低維空間描述, 會(huì)使它們看起來(lái)復(fù)雜; 選取不合適的參考系也可能帶來(lái)描述的復(fù)雜化[2,5].

對(duì)系統(tǒng)復(fù)雜性特征的刻畫, 是一個(gè)脫離主觀評(píng)價(jià)去定義某種可觀測(cè)對(duì)象的問(wèn)題[2]. 由于復(fù)雜性具有多樣性, 這是一個(gè)語(yǔ)境依賴概念[1], 目前科學(xué)界對(duì)它沒(méi)有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí). 復(fù)雜性的測(cè)度, 即復(fù)雜度,有諸多定義[1]. 如基于信息學(xué)理論, 1965 年Kolmogorov[6]最早提出基于序列比特?cái)?shù)的復(fù)雜性測(cè)度;在此基礎(chǔ)上, 1976 年Lemple 和Ziv[7]給出具體算法, 并被稱為L(zhǎng)emple-Ziv 復(fù)雜度; 1995 年, 基于Shannon 熵和失衡( d isequilibrium )度, López-Ruíz等[8]提出統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度, 簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)MC 復(fù)雜度; 1999 年,基于Boltzmann-Gibbs-Shannon 熵, Shiner 等[9]提出可以區(qū)分有序和無(wú)序程度的復(fù)雜度, 簡(jiǎn)稱為SDL 復(fù)雜度. 2020 年, Cesário 等[10]基于LMC 統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度及量子信息理論, 提出量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度,用來(lái)研究量子相變.

另一方面, 隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展, 人們可以對(duì)單量子態(tài)進(jìn)行操控, 探測(cè)其物理性質(zhì), 促進(jìn)了量子信息處理技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用[11]. 最近, 一個(gè)受外界驅(qū)動(dòng)的單量子比特系統(tǒng)引起人們廣泛研究[12?15].在噪聲環(huán)境下, 可以通過(guò)調(diào)節(jié)外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度來(lái)操控系統(tǒng)的量子性特征[12?14]. 趙小新[15]詳細(xì)討論了存在多次中間量子測(cè)量時(shí)系統(tǒng)的量子性特征. 實(shí)際上, 通過(guò)量子測(cè)量可以從系統(tǒng)中提取信息、改變系統(tǒng)的狀態(tài)[16]; 多次測(cè)量可以模擬環(huán)境對(duì)量子系統(tǒng)的影響[17]; 多次測(cè)量也可以用來(lái)操控、監(jiān)控量子系統(tǒng)[18,19]. 眾所周知, 簡(jiǎn)單的系統(tǒng)也可以表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為. 在噪聲環(huán)境下, 受外界驅(qū)動(dòng)的單量子比特系統(tǒng)是一個(gè)典型的例子[12?14], 而多次中間測(cè)量使得該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得更加豐富[15].本文的目的, 是借助于復(fù)雜度概念對(duì)該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行定量刻畫. 為此, 基于Cesário 等[10]提出的量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度, 在不同的外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度和退相噪聲強(qiáng)度作用下, 在多次中間測(cè)量影響下, 研究在系統(tǒng)演化的最后時(shí)刻τ, 末態(tài)的量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度C.結(jié)果表明當(dāng)τ由零變大, 復(fù)雜度從零開(kāi)始, 先增加后減小, 直到再趨近于零; 測(cè)量次數(shù)較小或較大時(shí),復(fù)雜度隨τ的變化規(guī)律有較大差異. 這些結(jié)果有利于人們對(duì)這樣的量子比特進(jìn)行操控、監(jiān)控等量子信息處理.

本文剩余部分安排如下: 第2 節(jié)給出統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度的公式; 第3 節(jié)介紹模型; 第4 節(jié)詳細(xì)討論多次測(cè)量對(duì)量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度的影響; 最后, 第5 節(jié)給出主要結(jié)論.

2 統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度

為了不引起混淆, 經(jīng)典系統(tǒng)和量子的統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度分別被稱為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度和量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度.

2.1 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度

設(shè)某物理量有x1,x2,··· ,xK共K個(gè)可能的值,它 們的 概率 分別 為p1,p2,··· ,pK.記概率矢量p=(p1,p2,··· ,pK), 特別是記同分布概率矢量pI=(1/K,1/K,··· ,1/K). 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度正比于香農(nóng)熵和失衡度[1,8,10]. 定義約化香農(nóng)熵

以及約化失衡度[10]

則經(jīng)典統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度可表示成

對(duì)最無(wú)序情形, 即同分布概率矢量pI, 約化香農(nóng)熵H(p)=1,約化失衡度D(p,pI)=0 ; 對(duì)最有序情形, 即概率矢量p=(0,··· ,0,pi=1,0,··· ,0) ,約化香農(nóng)熵H(p)=0,約化失衡度D(p,pI)=1 . 可見(jiàn), 約化香農(nóng)熵H(p) 可較好地表征無(wú)序程度, 而約化失衡度D(p,pI) 可較好地表征有序程度[8,10]. 在這兩種極端情形下, 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度C(p)=0 , 而在其他情形, 0

2.2 量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度

將以上概念推廣到量子系統(tǒng)[10], 量子態(tài)對(duì)應(yīng)的密度算符ρ代替概率矢量p. 定義約化馮·諾依曼熵

以及約化失衡度

則量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度可表示為[10]

其中約化馮·諾依曼熵S(ρ) 代替(3)式中的約化香農(nóng)熵H(p),I=I/K為最大混合態(tài)密度算符,K是量子態(tài)的希爾伯特空間維度, I 是維度為K的單位算符. 最無(wú)序的量子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)最大混合態(tài)I, 約化馮·諾依曼熵S(I)=1 , 約化失衡度D(I,I)=0 ; 最有序的量子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)純態(tài), 其密度算符ρ=|ψ〉〈ψ|,約化馮·諾依曼熵S(I)=0 , 約化失衡度D(I,I)=1 .在這兩種極端情形下, 量子復(fù)雜度C(ρ)=0 , 而在其他情形, 0

3 模 型

下面將分別介紹受驅(qū)單量子比特系統(tǒng)及多次中間量子測(cè)量.

3.1 受驅(qū)單量子比特系統(tǒng)

考慮的量子比特為受外界驅(qū)動(dòng)的兩能級(jí)系統(tǒng)[12?15], 其含時(shí)哈密頓量為

其中σz為泡利算符z分量, 頻率ω(t)=ω0+κt, 不失一般性, 取ω0=1,κ為外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度. 周圍環(huán)境對(duì)量子系統(tǒng)的影響, 可用Markov 和non-Markov過(guò)程來(lái)近似. 前者用來(lái)模擬系統(tǒng)與環(huán)境處于弱耦合狀態(tài), 環(huán)境的記憶效應(yīng)可以忽略, 系統(tǒng)主方程呈現(xiàn)Lindblad 形式; 后者用來(lái)模擬系統(tǒng)與環(huán)境處于強(qiáng)耦合狀態(tài), 環(huán)境的記憶效應(yīng)不能忽略, 系統(tǒng)與環(huán)境間存在能量和信息的交流, 動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程更加復(fù)雜. 為了重點(diǎn)突出量子測(cè)量的作用, 同時(shí)弱化其他因素的影響, 本文只考慮Markov 過(guò)程近似情形.

在Born-Markov近似下,任意算符X(t) 的Lindblad 方程可表示成

其 中L為L(zhǎng)iouvillian 超算符,γ是退相位噪聲強(qiáng)度, 這里普朗克常數(shù)取為自然單位. Lindblad 方程用矩陣表示為

從(9)式可以看出,σz和單位算符 I 不隨時(shí)間發(fā)生變化, 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 算符X(t) 可用泡利算符σx和σy來(lái)表示, 若定義傳播子

那么[13]

其中θ1=γ(t2-t1)和

3.2 多次中間量子測(cè)量

如同文獻(xiàn)[13], 在t=0 時(shí)刻, 量子比特處在σx的本征態(tài)|+〉上, 密度算符為

在隨時(shí)間演化過(guò)程中,

以{σx,σy}為基, 若無(wú)中間測(cè)量, 根據(jù)(11)式

在時(shí)刻t=τ1,··· ,τn,··· ,τN, 分別進(jìn)行σx(t) 測(cè)量[15],這些算符σx(τ1),··· ,σx(τn),··· ,σx(τN) 是非對(duì)易的. 以{σx,σy}為基, 算符σx可用矩陣表示[13]. 設(shè)初始時(shí)刻t=0 和系統(tǒng)演化的最后時(shí)刻t=τ, 那么[15]

4 數(shù)值結(jié)果

本文研究均勻時(shí)間間隔測(cè)量對(duì)量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度的影響, 即(7)式給出的單量子比特系統(tǒng)從t=0時(shí)刻開(kāi)始隨時(shí)間演化到t=τ時(shí)刻, 進(jìn)行N次中間測(cè)量, 測(cè)量時(shí)刻. 若N=0 , 表示不進(jìn)行中間測(cè)量.

首先研究約化馮·諾依曼熵S與最后演化時(shí)刻τ之間的關(guān)系. 如圖1 所示, 當(dāng)不對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中間測(cè)量(N=0 ),τ=0 時(shí),S=0,然后S隨τ單調(diào)遞增, 當(dāng)τ較大時(shí),S值趨近于1. 同時(shí), 圖1(a)給出了中間測(cè)量次數(shù)較小時(shí)(N=1,2,4) ,S隨τ的變化曲線. 可以看出, 整體上S隨τ是逐漸增加的, 同時(shí)S伴隨著明顯的不規(guī)則振蕩現(xiàn)象, 振幅隨τ逐漸減小. 圖1(b) 給出的是中間測(cè)量次數(shù)較大時(shí)(N=10,102,103,104),S隨τ的變化曲線. 可以看出,S隨τ單調(diào)遞增; 測(cè)量次數(shù)較大,S來(lái)不及完成振蕩就被測(cè)量破壞掉了, 所以觀測(cè)不到S隨τ的振蕩現(xiàn)象.當(dāng)測(cè)量次數(shù)N=104時(shí), 由于量子芝諾效應(yīng),S隨τ的變化曲線幾乎與不對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中間測(cè)量的曲線重合[20,21]. 在相同τ, 有中間測(cè)量時(shí)S的值總是大于或等于無(wú)中間測(cè)量時(shí)S的值. 根據(jù)(4)式給出的約化馮·諾依曼熵的定義及其意義, 這些結(jié)果意味著隨τ逐漸變大, 系統(tǒng)由純態(tài)變成混合態(tài), 最后趨近于最大混合態(tài); 在有中間測(cè)量時(shí), 系統(tǒng)變成最大混合態(tài)更快些.

其次研究約化失衡度D與最后演化時(shí)刻τ的關(guān)系. 圖2 給出的D隨τ的變化趨勢(shì)與圖1 中約化馮·諾依曼熵S隨τ的變化趨勢(shì)相反. 詳細(xì)地, 當(dāng)N=0 時(shí),D隨τ由 1 單調(diào)遞減, 當(dāng)τ較大時(shí),D趨近于 0 . 圖2(a)表明中間測(cè)量次數(shù)較小(N=1,2,4) 時(shí), 整體上D隨τ逐漸減少, 同時(shí)D伴隨著明顯的不規(guī)則振蕩現(xiàn)象. 圖2(b)表明中間測(cè)量次數(shù)較大(N=10,102,103,104) 時(shí),D隨τ單調(diào)遞減;同時(shí), 當(dāng)N=104時(shí),D隨τ的變化曲線幾乎與不對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中間測(cè)量時(shí)的曲線重合. 根據(jù)(5)式給出的約化失衡度D的定義及其意義, 這些結(jié)果也意味著隨τ逐漸變大, 系統(tǒng)由純態(tài)變成混合態(tài), 最后趨近于最大混合態(tài); 在有中間測(cè)量時(shí), 系統(tǒng)變成最大混合態(tài)更快些.

圖1 中間測(cè)量次數(shù)不同時(shí)約化馮·諾依曼熵 S 隨最后演化時(shí)刻 τ 的變化曲線 (a) N=0,1,2,4 ; (b)N =0,10,102,103,104 , 外 界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度 κ=0.95,退相位噪聲強(qiáng)度γ =0.2Fig. 1. The reduced von Neumann entropy S varying with last moment τ , where (a) N=0,1,2,4,(b) N=0,10, 1 02,103,104 ,the driving amplitude κ=0.95,the dephasing intensity γ=0.2 .

圖2 中間測(cè)量次數(shù)不同時(shí)約化失衡度D 隨最后演化時(shí)刻 τ的變化曲線 (a) N=0,1,2,4 ; (b) N=0,10,102,103,104 ,外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度 κ=0.95,退相位噪聲強(qiáng)度γ =0.2Fig. 2. The reduced disequilibrium D varying with last moment τ , where (a) N=0,1,2,4,(b) N=0,10,102,103, 1 04 , the driving amplitude κ=0.95,the dephasing intensity γ=0.2 .

圖3 中間測(cè)量次數(shù)不同時(shí)量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度 C 隨最后演化時(shí)刻 τ的變化曲線 (a) N=0,1,2,4 ; (b)N =0,10,102,103,104 , 外界驅(qū) 動(dòng)強(qiáng)度 κ=0.95,退相位噪聲強(qiáng)度γ =0.2Fig. 3. The quantum statistical complexity C varying with last moment τ , where (a) N=0,1,2,4, (b)N =0,10,102,103,104 , the driving amplitude κ=0.95,the dephasing intensity γ=0.2 .

由(6)式, 結(jié)合圖1 和圖2, 圖3 給出了量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度C隨最后演化時(shí)刻τ的變化關(guān)系. 圖3表明當(dāng)N=0 時(shí),C隨τ由0 單調(diào)遞增至最大, 然后單調(diào)遞減至0, 換句話說(shuō), 系統(tǒng)復(fù)雜性先增加后減小, 在中間某個(gè)τ達(dá)到最大值. 圖3(a)表明中間測(cè)量次數(shù)較小(N=1,2,4) 時(shí) ,C隨τ的變化趨勢(shì)與N=0 時(shí)的變化趨勢(shì)相似, 但C伴隨著明顯的不規(guī)則振蕩現(xiàn)象. 圖3(b) 表明中間測(cè)量次數(shù)較大(N=10,102,103,104) 時(shí), 幾乎觀測(cè)不到C隨τ的振蕩現(xiàn)象;N越小, 在越小的τ,C又回到 0 值; 當(dāng)測(cè)量次數(shù)N=104時(shí),C隨τ的變化曲線幾乎與不對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中間測(cè)量的曲線重合. 總之, 這些結(jié)果意味著, 可以通過(guò)控制中間測(cè)量次數(shù)以及系統(tǒng)的演化時(shí)間來(lái)調(diào)節(jié)末態(tài)的復(fù)雜度.

圖4 中間測(cè)量次數(shù)不同時(shí)量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度 C 隨最后演化時(shí)刻 τ 及外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度 κ 的變化 (a) N=0 ; (b) N=4 ;(c) N=1000 , 退相位噪聲強(qiáng)度γ =0.2Fig. 4. The quantum statistical complexity C varying with last moment τ and driving amplitude κ , where (a) N=0 ,(b) N=4, (b) N=1000 , and the dephasing intensity γ =0.2.

圖3給出的是以外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度κ=0.95 為例.更一般情形, 圖4 給出在不同外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度κ下,量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度C隨最后演化時(shí)刻τ的變化關(guān)系.可以看出, 在N=0 時(shí),C隨τ的變化幾乎與κ無(wú)關(guān);在N?=0 時(shí),C值與κ有 關(guān); 在相同的N不同的κ時(shí),C隨τ的變化趨勢(shì)大體相同. 因此, 影響系統(tǒng)復(fù)雜度的主要因素是中間測(cè)量次數(shù)N和最后演化時(shí)刻τ.

5 結(jié) 論

利用Lindblad 方程, 在Born-Markov 近似下, 重點(diǎn)討論N次中間量子測(cè)量后, 在最后演化時(shí)刻τ, 受外界驅(qū)動(dòng)的單量子比特末態(tài)的量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度C. 研究發(fā)現(xiàn): 整體上,τ由0 變大的過(guò)程中,C從0 先增加到最大值, 然后減小, 直到再趨近于0. 顯然, 開(kāi)始時(shí)量子態(tài)由(12)式給出, 其為純態(tài),對(duì)應(yīng)的C為0; 在環(huán)境噪聲下, 量子態(tài)將演變?yōu)榛旌蠎B(tài), 若時(shí)間足夠長(zhǎng), 將演變?yōu)樽畲蠡旌蠎B(tài), 對(duì)應(yīng)的C也為0.N較小時(shí),C伴隨著明顯的不規(guī)則振蕩現(xiàn)象;N較大時(shí),N越小, 在越小的τ,C又回到0 值;N大到一定程度時(shí),C隨τ的變化曲線幾乎與不對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中間測(cè)量的曲線重合. 由于測(cè)量導(dǎo)致的波包塌縮機(jī)制, 一般情形下,C隨τ的變化存在振蕩現(xiàn)象. 然而當(dāng)N=0 時(shí), 中間過(guò)程無(wú)測(cè)量, 不導(dǎo)致波包塌縮,C隨τ無(wú)振蕩現(xiàn)象; 當(dāng)測(cè)量次數(shù)N較大時(shí),C來(lái)不及完成振蕩就被測(cè)量破壞掉了, 所以觀測(cè)不到C隨τ的振蕩現(xiàn)象. 當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠大(N=104) 時(shí), 由于量子芝諾效應(yīng),C隨τ的變化曲線幾乎與不對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中間測(cè)量的曲線重合. 量子統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度與系統(tǒng)的有序、無(wú)序特征有關(guān), 已經(jīng)用來(lái)研究量子相變[10]. 同時(shí)在量子計(jì)算中, 量子態(tài)的有用性和其復(fù)雜度緊密相關(guān)[22,23]. 量子測(cè)量往往會(huì)影響被測(cè)量的系統(tǒng), 同時(shí)量子測(cè)量也是對(duì)量子態(tài)進(jìn)行制備、操控以及進(jìn)行其他量子信息處理的重要手段. 因此, 可以控制中間測(cè)量次數(shù)以及系統(tǒng)的演化時(shí)間來(lái)調(diào)節(jié)量子系統(tǒng)末態(tài)的復(fù)雜度.

人們借助于量子見(jiàn)證, 對(duì)(7)式給出的受外界驅(qū)動(dòng)的單量子比特進(jìn)行研究, 發(fā)現(xiàn)通過(guò)調(diào)節(jié)外界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度可以較好地操控系統(tǒng)的量子性特征[12?15].與此不同,量子復(fù)雜度可以表征系統(tǒng)的復(fù)雜性特征,因此該研究從新的角度對(duì)該系統(tǒng)量子態(tài)的特性和量子過(guò)程進(jìn)行認(rèn)識(shí).同時(shí),單量子比特是最簡(jiǎn)單的量子系統(tǒng),本文結(jié)果表明,在噪聲影響和外界驅(qū)動(dòng)下,簡(jiǎn)單的系統(tǒng)也具有復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)特征,因此該模型可作為研究復(fù)雜系統(tǒng)的一個(gè)典型例子供人們進(jìn)一步討論.