陳雨諾， 羅煒程， 鄢宏杰， 陳鷺劍*

(1. 廈門大學 電子科學與技術學院，福建 廈門 361005；2. 廈門城市職業(yè)學院，福建 廈門361008)

1 引 言

在過去的10年中，幾何相位，也稱為PB相位(Pancharatnam-Berry phase)方面的研究取得了令人矚目的進展[1]，與由光程差造成的動態(tài)相位變化不同，幾何相位變化源于光的自旋-軌道相互作用[2](Spin-orbit interaction，SOI)，描述的是當光通過各向異性介質(zhì)時，相位變化和偏振態(tài)變化之間的關系。由于光波的幾何相位僅取決于其通過某一各向異性介質(zhì)時的幾何路徑及偏振態(tài)[3]，這就使得所選用的介質(zhì)無需具有很大的尺寸來提供相位積累，且對制作過程中的瑕疵具有較好的魯棒性[4]。由于以上特點，幾何相位調(diào)制為光學器件的小型化、集成化提供了更多的可能性。

液晶(Liquid crystal)作為一種可動態(tài)取向、電控技術成熟且在可見光波段透過率較高[5]的各向異性材料，是制備幾何相位調(diào)制器件的理想選擇。目前，基于液晶的光電器件已經(jīng)得到了非常廣泛的應用，如空間光調(diào)制器[6]、光開光[7-8]、偏振控制器[9]等，從本質(zhì)上來說，都是利用液晶分子的上述特性，通過外場進行調(diào)控，改變光波的相位，從而實現(xiàn)對光強、偏振態(tài)等光學特性的調(diào)制。

液晶偏振光柵(LC polarization grating，LCPG)就是一種典型的可以實現(xiàn)幾何相位調(diào)制的液晶器件。2004年，美國布朗大學的Crawford等人首次利用兩束正交圓偏振光的全息曝光得到液晶偏振光柵[10]。但由于其使用的是單玻璃基底和取向完全固定的聚合物液晶，所以無法通過電壓進行調(diào)制，這種無源的液晶偏振光柵，被稱為被動式液晶偏振光柵[11]。與之對應的是本文涉及的主動式液晶偏振光柵，其基本特征為：兩塊平板玻璃之間限定具有介電各向異性和光學各向異性的向列相液晶，并通過特定取向使液晶分子沿基板平面進行周期性排布，在每個周期內(nèi)液晶分子的指向矢旋轉(zhuǎn)了180°的光柵[11]。與被動式液晶偏振光柵不同，該光柵可以通過電壓進行調(diào)制，對于本文接下來提到的液晶偏振光柵，若無特殊說明，統(tǒng)一指主動式液晶偏振光柵。

目前，液晶偏振光柵已經(jīng)在高精度高偏轉(zhuǎn)的光束偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)[12-13]中展示出了廣泛的應用前景，如激光掃描系統(tǒng)、紅外凝視系統(tǒng)、偏振成像系統(tǒng)[5]、激光雷達系統(tǒng)[14]等，它也因此被稱為第四代光學元件。但是，國內(nèi)外對其的研究至今還比較有限，仍有一些技術難點未被攻克，以至于至今鮮有成熟的采用液晶偏振光柵為核心器件的光學系統(tǒng)。

自20世紀80年代偏振光柵的概念首次被提出以來，液晶偏振光柵在衍射效率[15]、工作波段[16-19]等方面都有了長足的技術進展。2007年，Komanduri等人基于液晶的彈性連續(xù)體理論構建了液晶偏振光柵的彈性連續(xù)體模型，通過該模型，對液晶偏振光柵的部分結構、電光特性參數(shù)得以被計算并分析，這些分析的結果對于其制備過程是有很大的指導意義的[20]。該工作主要關注液晶偏振光柵周期對兩個基本的特性——臨界盒厚和閾值電壓的直接或間接的影響。液晶偏振光柵的結構特性很大程度上依賴于儲存液晶光柵的液晶盒尺寸，當液晶盒厚超過對應臨界盒厚時，所制備的液晶偏振光柵中會出現(xiàn)液晶分子的排列缺陷，即在無外加電場的情況下，液晶分子指向矢與液晶盒上下表面不嚴格平行，這對液晶偏振光柵的衍射效率和偏振調(diào)制特性有著嚴重的影響。閾值電壓也稱為液晶偏振光柵的弗雷德里克茲轉(zhuǎn)變條件，當給液晶偏振光柵一個小于閾值電壓的外加電壓時，液晶盒內(nèi)的液晶分子排列幾乎不受到該外加電場的影響，而當外加電壓大于閾值電壓時，就可以通過它來控制液晶分子的傾角。鑒于對液晶偏振光柵的各級能量分布、衍射效率、偏振態(tài)等的理論研究和實驗驗證已有不少[5]，實驗成果也已經(jīng)較為完善，且這些實驗都需要建立在液晶盒厚小于臨界盒厚、外加電壓大于閾值電壓的基礎上，所以本文以可以通過偏振或外加電壓來控制液晶偏振光柵衍射光的先決條件：臨界盒厚和閾值電壓為切入點開展分析和研究。

本文首先介紹液晶偏振光柵的彈性連續(xù)體模型的構建，然后應用該模型分別在強錨定條件和弱錨定條件兩種情況下，針對具有不同盒厚與光柵周期的液晶偏振光柵進行理論計算和分析，討論液晶物性參數(shù)對關鍵特性參數(shù)即臨界盒厚和閾值電壓的影響規(guī)律，并進行總結和展望。

2 模型介紹

2.1 液晶偏振光柵的彈性連續(xù)體模型

圖1 液晶偏振光柵結構示意圖

，

(1)

其中，θ和φ分別為空間坐標系中的傾斜角、方位角。由于液晶盒空間邊界條件的限制，θ和φ都是關于y坐標獨立的[5]，因此研究中大多使用如圖1的剖面來表征液晶偏振光柵的基本結構。

其中:K1、K2、K3分別為所使用液晶材料的展曲彈性常數(shù)、扭曲彈性常數(shù)和彎曲彈性常數(shù)。當給液晶偏振光柵外加一個電場時，液晶盒內(nèi)的電場能量密度可表示為：

，

(3)

其中:ε0為真空介電常數(shù)，Δε為所使用液晶材料的介電各向異性。

當給液晶偏振光柵外加一個大于閾值電壓Vth的電壓V，其液晶分子將會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，與玻璃基片間形成一定的傾角。如圖2所示，在給定空間邊界條件限制和外加電場時，可以通過變分法計算總自由能密度最小時的液晶分子指向矢分布[24]，進而進行該平衡態(tài)下其他電光特性參數(shù)的計算。

圖2 V>Vth時液晶偏振光柵結構示意圖

求和得到液晶偏振光柵的總自由能密度為：

，

(4)

其中:

引入一個取值為[-1, 1]的常數(shù)α來替代耦合項f(θ,φ)，最終可以得到液晶分子指向矢傾斜角θ、空間坐標z、液晶盒厚度d以及外加電場場強E之間的關系[23]：

，

(5)

其中:

以式(5)為基礎推導出液晶偏振光柵一系列特性參數(shù)的表達式，并且可以分析圖1與圖2之間的弗雷德里克茲轉(zhuǎn)變過程，特別地，在模型中也使用了α=0.4這一經(jīng)驗取值[20]。

2.2 模型中的錨定條件

由于液晶的流動性，所以一般應用時都將液晶裝在液晶盒內(nèi)，這就使得我們不得不考慮液晶和包裹著它的液晶盒內(nèi)表面間的相互作用，即界面作用。在界面作用中，錨定能(Anchoring energy)的大小決定了錨定條件的強弱，強錨定條件描述的是錨定能足夠大時液晶分子指向矢在表面處被固定且難以被改變的情況，與之相對的，液晶分子指向矢在表面處容易被改變的情況，被稱為弱錨定條件[25-26]。

光取向技術是制備基于液晶材料的幾何相位元件所采用的最主要的取向技術之一[27]，自Ichimura等[28]1988年首次提出光取向技術以來，該技術就得到了廣泛研究和發(fā)展[29-31]。2002年，Chigrinov等人[32]開發(fā)出了一種基于磺酸基偶氮染料及其衍生物的光控取向材料SD1，不僅很好地解決了偶氮類材枓的光、熱穩(wěn)定性問題，改良了偶氮類材枓的電壓保持率，而且使得光取向技術可以提供與摩擦取向技術相比擬的錨定能(>10-4J/m2)[33]。

此外，可以通過改變液晶原材料的平均分子長度[34]、調(diào)整曝光方法[35]、改變光取向材料[36]等方法來改變錨定能。光取向的強錨定條件在目前的技術水平下已經(jīng)是穩(wěn)定可靠的，但受限于實驗條件，有時不得不使用僅能提供弱錨定條件的光取向材料[37]。弱錨定條件下，液晶盒表面處的液晶分子指向矢更容易被改變，對弱錨定條件進行研究有助于解決液晶偏振光柵制備過程中產(chǎn)生瑕疵的問題[38-40]。

2.1節(jié)中的推導過程是基于光取向的強錨定條件，在此基礎上，Komanduri也對模型在弱錨定條件下進行了修正[20]，在體系的總能量密度算式中加入液晶盒中的表面錨定能量密度項[41]：

，

(6)

其中:Wp和Wa分別是液晶盒表面處液晶分子指向矢傾斜角θ和方位角φ方向上的錨定能。并引入關于液晶材料的單一彈性常數(shù)近似，即可獲得適用于弱錨定條件下的模型。使用該模型可以對強、弱兩種錨定條件下液晶偏振光柵的特性參數(shù)進行計算與分析。

2.3 輸入模型的物性參數(shù)

從式(5)可以看出，影響液晶偏振光柵中液晶分子指向矢傾斜角θ、空間坐標z、液晶盒厚度d以及外加電場場強E之間關系的液晶材料物性參數(shù)有：液晶的介電各向異性Δε和分別對應展曲、扭曲、彎曲的彈性常數(shù)K1、K2、K3。

液晶分子在多種性質(zhì)上都呈現(xiàn)出各向異性，而液晶材料在電場中的大部分物理學參數(shù)都是由介電各向異性所決定的[42-43]。對于在光學波段常用的正性液晶材料，其介電各向異性的取值范圍一般為[5, 100][44]。通過摻雜等方法可以對液晶的介電各向異性進行調(diào)整。例如，2004年，Thisayukta等人提出的在向列相液晶中加入銀納米粒子的方法，可以實現(xiàn)對向列相液晶電光特性的改變[45]。

彈性常數(shù)Ki(i=1,2,3)是一種用來描述液晶分子彈性形變的物理量。通常，Ki的取值應在pN量級，且通過實驗已經(jīng)得到了一般液晶的3個彈性常數(shù)之間比值的大致范圍[46]為：

.

(7)

在實驗中，可以通過改變所使用液晶分子的尺寸、剛性或通過摻雜來實現(xiàn)K2/K1和K3/K1值的變化[47]。例如，增大液晶分子的長度或提高液晶分子的剛性即可有效提高K3/K1值[46]。

盡管在液晶體系中，Δε和K1、K2、K3之間存在著一定的相互影響，但在大部分對向列相液晶物性特征的研究中，這些參數(shù)都被分開來討論[48]。因此，在本研究中也將對這兩個輸入的物性參數(shù)分別獨立地在取值范圍內(nèi)取值。

3 強錨定條件下的計算

為了獲得更高的計算效率和精度，本節(jié)把模型移植到MATLAB中進行計算，并做了部分改動和優(yōu)化?？疾煲环N常見的向列相液晶MLC-6080，其介電各向異性為Δε=+7.2，彈性常數(shù)[K1,K2,K3]=[14.4, 7.1, 19.1] pN，且α取值為0.4保持不變，由于彈性常數(shù)在本節(jié)的計算中主要以K2/K1和K3/K1的形式出現(xiàn)，所以固定K1的值不變，通過K2和K3值的改變來實現(xiàn)上述兩個比值的變化。

3.1 臨界盒厚

強錨定條件下，根據(jù)上述構建的模型，在無外加電場且不考慮液晶分子指向矢存在預傾角時，在液晶盒中心即空間坐標z=0處應有θm=0，將此條件代入式(5)得到：

，

(8)

簡化后得到液晶偏振光柵的臨界盒厚dc的表達式：

，

(9)

由此可見，液晶偏振光柵的臨界盒厚是一個由光柵周期Λ和液晶材料彈性常數(shù)比值K2/K1、K3/K1共同決定的參數(shù)。

在一組固定光柵周期Λ下，研究臨界盒厚dc與液晶材料物性參數(shù)K2/K1、K3/K1的關系。由于在越小的光柵周期下，臨界盒厚的確定就越有意義，因此本文在接下來的研究中結合液晶偏振光柵常見的設計光柵周期，在一個較小的微米量級對其進行取值。圖3和圖4分別展示了Λ分別為2，5，10，20 μm時dc與K2/K1、K3/K1的關系，其中紅色曲線反映的是dc的變化規(guī)律，為了直觀體現(xiàn)其與光柵周期的對比，用黑色曲線在縱坐標上標注出了Λ值。

圖3 Λ不同取值時dc與K2/K1的關系。(a) Λ=2 μm；(b) Λ=5 μm；(c) Λ=10 μm；(d) Λ=20 μm。

圖4 Λ不同取值時dc與K3/K1的關系。(a) Λ=2 μm；(b)Λ=5 μm；(c) Λ=10 μm；(d) Λ=20 μm。

可以看出，圖中的黑色曲線和紅色曲線在縱坐標取值上是相當接近的，且表現(xiàn)出與K2/K1、K3/K1不同的相關性，這是由這兩個參數(shù)在式(9)中所處的位置決定的，總結如下：在強錨定條件下，液晶偏振光柵的臨界盒厚dc分別表現(xiàn)出與K2/K1值正相關，與K3/K1值負相關，且dc的值總是與Λ相近的。

理論上，當液晶處在液晶盒中時，液晶分子同時存在展曲、扭曲和彎曲3種形變，扭曲彈性常數(shù)K2描述的就是液晶材料形成扭曲結構難易程度的一個參數(shù)，較低的K2值說明該液晶材料更容易產(chǎn)生扭曲結構，對于使用了K2值較大的液晶材料的液晶偏振光柵，當液晶盒厚度d改變時，扭曲形變將會更容易克服另外兩種形變的約束，造成液晶分子取向不再平行于液晶盒上下表面，容易引起液晶分子排布上的缺陷，進而對液晶偏振光柵的性能產(chǎn)生負面影響，這與本研究分析得出的結果是一致的。

3.2 閾值電壓

強錨定條件下，當液晶盒厚度d小于液晶偏振光柵臨界盒厚dc時，對其施加一個電場使得液晶盒兩端電壓恰好為閾值電壓，此時在液晶盒中心即空間坐標z=0處應有θm=0，將此條件代入式(5)得到：

，

(10)

將式(9)代入化簡即可得到閾值電壓Vth的表達式：

，

(11)

顯然，液晶偏振光柵的閾值電壓是一個由光柵周期Λ、彈性常數(shù)K1、K2、K3、介電各向異性Δε共同決定的參數(shù)，由于Vth的計算同時涉及液晶盒厚度和設計光柵周期的選取，在液晶偏振光柵的設計中，這兩個參數(shù)都十分重要，為了同時將二者都納入變量考慮，結合它們在式(11)中的位置，本文將固定一組液晶盒厚度與光柵周期的比值d/Λ來分別研究Vth與K2/K1、K3/K1以及Δε的關系，由式(11)可知，這一比值的最大值只能為1，否則會產(chǎn)生小于0的閾值電壓。

圖5和圖6分別展示了d/Λ分別為0.2，0.4，0.6，0.8，1，時Vth與K2/K1、K3/K1的關系。

圖5 d/Λ不同取值時Vth與K2/K1的關系

圖6 d/Λ不同取值時Vth與K3/K1的關系

可以看出，在強錨定條件下，液晶偏振光柵的閾值電壓Vth分別表現(xiàn)出與K2/K1正相關、與K3/K1負相關，這與dc在Vth的表達式中所處的位置相符，同時，隨著d/Λ越來越接近1，這種相關性逐漸變強，Vth的值也越來越趨于0，這與隨著液晶盒厚度增大，液晶分子越發(fā)地容易產(chǎn)生相對于液晶盒上下表面的傾斜角是相符的。

圖7展示了d/Λ為0.2，0.4，0.6，0.8，1時，Vth與Δε的關系。其中，d/Λ為0.8和1的曲線幾乎在0處重合，可以看出，在強錨定條件下，液晶偏振光柵的閾值電壓Vth表現(xiàn)出與Δε的負相關性，且使得Vth有一個較大的可調(diào)范圍。同樣，隨著液晶d/Λ的增大，Vth的值也越來越趨于0。

圖7 d/Λ不同取值時Vth與Δε的關系

4 弱錨定條件下的計算

前文已經(jīng)提到，在弱錨定條件下需要引入液晶材料的單一彈性常數(shù)近似，即將所使用液晶材料的展曲彈性常數(shù)K1、扭曲彈性常數(shù)K2和彎曲彈性常數(shù)K3視為相等，在本節(jié)的計算中，同樣考察MLC-6080，當改變其中的某一項物性參數(shù)時，以K=K1作為單一彈性常數(shù)的值，且α取值為0.4保持不變。

4.1 臨界盒厚

，

(12)

顯然，液晶偏振光柵在弱錨定條件下的臨界盒厚是一個由光柵周期Λ、彈性常數(shù)K和表面處液晶分子指向矢傾斜角上的錨定能Wp共同決定的參數(shù)。接下來，本文將固定一組光柵周期來研究此時臨界盒厚與彈性常數(shù)的關系，這里令Wp=10-5J/m2，這是一個弱錨定條件下的錨定能(<10-4J/m2)。

圖8展示了Λ分別為2，5，10，20 μm時，d′c與K的關系，這里對K按照常見彈性常數(shù)值取值[5, 50] pN，圖中紅色曲線體現(xiàn)的是d′c的變化，并用用黑色曲線在縱坐標上標注出了Λ值。

圖8 Λ不同取值時d′c與K的關系。(a) Λ=2 μm；(b) Λ=5 μm；(c) Λ=10 μm；(d) Λ=20 μm。

可以看出，在弱錨定條件下，液晶偏振光柵的臨界盒厚d′c在與光柵周期相近的基礎上表現(xiàn)出與K的負相關性，且在相同條件下，臨界盒厚要比強錨定時的小。

4.2 閾值電壓

弱錨定條件下，把液晶偏振光柵的閾值電壓記作Vth′，使用與3.1.1小節(jié)中類似的化簡過程即可得到其表達式：

，

(13)

其中：

因為β0的取值與強錨定條件下的閾值電壓Vth有關，需要將以上兩式以強錨定為初始條件迭代求解才可以得到在特定Wp時的閾值電壓。

顯然，Vth′是一個由Λ、K和Wp共同決定的參數(shù)，圖9展示了d/Λ分別為0.2，0.4，0.6，0.8，1時，Vth′與K的關系，這里同樣令Wp=10-5J/m2。其中d/Λ為0.8和1的曲線幾乎在0處重合，可以看出，在弱錨定條件下，液晶偏振光柵的閾值電壓Vth′僅在d/Λ較大時表現(xiàn)出與K有較強的負相關性，同時，隨著d/Λ的增大，Vth′的值也越來越趨于0，這與強錨定時的情況是相似的。

圖9 d/Λ不同取值時Vth′與K的關系

圖10展示了d/Λ分別為0.2，0.4，0.6，0.8，1時，Vth′與Δε的關系。其中，d/Λ為0.6、0.8和1的曲線幾乎完全重合，可以看出，在弱錨定條件下，Vth′表現(xiàn)出與Δε負相關，與強錨定時的趨勢是相似的。同樣，隨著液晶盒厚度、光柵周期比值的增大，Vth′的值也越來越趨于0?？傮w來看，在相同條件下無論改變?nèi)我庖粋€物性參數(shù)，弱錨定時的閾值電壓都要比強錨定時的要小。

圖10 d/Λ不同取值時Vth′與Δε的關系

4.3 弱錨定條件與強錨定條件的對比

將4.1節(jié)和4.2節(jié)的結果與強錨定條件下的結果進行對比可見，液晶偏振光柵的臨界盒厚和閾值電壓在強、弱錨定下受到物性參數(shù)的影響存在相似性，在這一小節(jié)，以Wp為自變量，研究錨定能增大的過程中，強、弱兩種錨定條件下推導出的表達式的關系。

保持其他條件不變，固定液晶盒厚度d=2 μm，使強錨定下的液晶偏振光柵臨界盒厚和閾值電壓為定值，而弱錨定下的液晶偏振光柵臨界盒厚和閾值電壓為Wp的函數(shù)，隨著Wp取值從一個幾乎無法提供錨定作用的錨定能(10-7J/m2)到可以提供強錨定作用的錨定能(10-3J/m2)，對于d/Λ分別為0.2，0.4，0.6，0.8，1時，d′c/dc關于Wp的規(guī)律如圖11所示。

圖11 d/Λ不同取值時與Wp的關系

由于當d/Λ為1時Vth=0，Vth′/Vth沒有意義，所以對于d/Λ分別為0.2，0.4，0.6，0.8，做出Vth′/Vth關于Wp的圖像如圖12所示。可以看出，隨著Wp的增加，d′c/dc和Vth′/Vth逐漸增大，且d/Λ越小，增大速度越快，并在錨定強度接近強錨定條件后都趨于1，即當錨定能足夠大時，這兩個表達式與強錨定條件下的表達式是接近等價的，該結論進一步證明了模型在兩種錨定條件下的一致性。

圖12 d/Λ不同取值時Vth′/Vth與Wp的關系

5 結 論

本研究借助Komanduri所構建的液晶偏振光柵彈性連續(xù)體模型[20]，對強錨定、弱錨定兩種條件具有不同盒厚與光柵周期的液晶偏振光柵的兩個基礎性能，即臨界盒厚和閾值電壓與液晶材料物性參數(shù)如彈性常數(shù)、介電常數(shù)等的關系進行分析和對比。以下是對上文分析結果的一個小結，希望對液晶偏振光柵制備過程中的液晶物性參數(shù)選擇給出一定的理論參考依據(jù)。

臨界盒厚：在制備液晶偏振光柵時，尤其是小周期的液晶偏振光柵，一般期望其有足夠大的臨界盒厚，若使用的是可以提供強錨定條件的光取向材料，則選取值K2/K1較大、K3/K1值較小的液晶材料，可以在相同條件下獲得更大臨界盒厚；若使用的是僅能提供弱錨定條件的光取向材料，則應選取K較小的液晶材料可以在相同條件下獲得更大臨界盒厚；在其他條件都相同的情況下，使用能提供強錨定條件的光取向材料可以獲得更大的臨界盒厚。

閾值電壓：與臨界盒厚不同，不同的應用場景對閾值電壓有不同的要求，若使用的是可以提供強錨定條件的光取向材料，當需要液晶偏振光柵有一個較大的閾值電壓時，可以考慮使用K2/K1值較大，K3/K1、Δε值較小的液晶材料，而當需要液晶偏振光柵有一個較小的閾值電壓時，可以考慮使用K2/K1值較小，K3/K1、Δε值較大的液晶材料，且當液晶盒厚度與光柵周期比值越接近1，對閾值電壓的調(diào)整效果越好；若使用的是僅能提供弱錨定條件的光取向材料，當需要液晶偏振光柵有一個較大的閾值電壓時，可以考慮使用Δε值較小的液晶材料，而當需要液晶偏振光柵有一個較小的閾值電壓時，可以考慮使用Δε值較大的液晶材料，特別是當弱錨定條件下液晶盒厚度、光柵周期比值較大時，閾值電壓和K有較強的負相關性。

雖然以上分析解釋了液晶偏振光柵的兩個基礎性能參數(shù)與液晶材料物性參數(shù)的關系，但是液晶偏振光柵還有許多其他的性能參數(shù)尚存在未解決的問題，如光柵響應時間等。在未來的研究中若要對其進行分析，則要將更多的液晶物性參數(shù)納入模型中進行考慮，并對液晶偏振光柵的彈性連續(xù)體模型做進一步的優(yōu)化。