龐仕林

摘? ? 要：注重知識(shí)結(jié)構(gòu)是深度學(xué)習(xí)的前提，課堂以知識(shí)體系為線索穩(wěn)步推進(jìn)，才能建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).深度學(xué)習(xí)，要深挖教材內(nèi)容的內(nèi)涵，找出知識(shí)間的聯(lián)系以及包含的數(shù)學(xué)思想方法，而且還需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)安排內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);知識(shí)結(jié)構(gòu);認(rèn)知結(jié)構(gòu)

指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課主要是優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，改善陳述性記憶系統(tǒng)效能，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、簡(jiǎn)約化，讓學(xué)生減少遺忘，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系，培養(yǎng)知識(shí)遷移和轉(zhuǎn)化化歸能力，進(jìn)而在深度思考中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面以《三角形中的范圍問(wèn)題》復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談一談教學(xué)過(guò)程和思考.

一、以題引入? ?回憶舊知

教師的課堂設(shè)計(jì)就像電影的劇本一樣，要拍出吸引人的電影，劇本一定要有吸引力.什么是“好劇本”呢？

首先，要有邏輯性，不能上下沒(méi)有任何聯(lián)系就橫空出世，這樣就容易讓觀眾（學(xué)生）云里霧里，搞不清方向.比如，本節(jié)復(fù)習(xí)課前面就是以舊知為基礎(chǔ)，通過(guò)演繹推理來(lái)解決問(wèn)題，這樣的復(fù)習(xí)就不僅僅是回憶知識(shí)點(diǎn)，而且能對(duì)知識(shí)點(diǎn)加深認(rèn)識(shí)并且靈活運(yùn)用.在此過(guò)程中學(xué)生明晰運(yùn)算對(duì)象，選擇正確的算法，算出結(jié)果，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

課堂開(kāi)始，請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成下面6道小題：

（1）[12sinx+32cosx=]? ? ? ? ? ? ? .

（2）[32sinx+32cosx=]? ? ? ? ? ? ? .

（3）在[△ABC]中，[A=π6， B=π3]，則[C=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（4）在[△ABC]中，[b2+c2-a2=bc，]則[A=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（5）[在△ABC]中，[A=π6， b=1， c=2，]則[S△ABC=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（6）如圖1，在[△]ABC中，[a=1， A=π6]，則[△ABC]外接圓的半徑[R=]? ? ? ? ? ? ? .

【設(shè)計(jì)意圖】教師應(yīng)為提升學(xué)生的認(rèn)知水平而設(shè)計(jì)教學(xué).本堂課教師幫助學(xué)生預(yù)備和激活知識(shí)，用簡(jiǎn)單題喚醒學(xué)生在本節(jié)課所用到的舊知，為學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用鋪下臺(tái)階，從而進(jìn)入深度學(xué)習(xí).

其次，要有趣味性.進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，問(wèn)題要從情感上讓學(xué)生愿意接受，進(jìn)而有探究的欲望.本節(jié)課交代問(wèn)題研究的背景，從而勾起學(xué)生研究的欲望.

師：根據(jù)圖2，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)下面兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行思考.

問(wèn)題1：已知兩角一邊，三角形能否確定？

問(wèn)題2：已知一邊一角，三角形能否確定？

問(wèn)題背景：不定三角形.

【設(shè)計(jì)意圖】用熟悉的問(wèn)題引出研究的問(wèn)題，交代問(wèn)題背景，引起學(xué)生探索的欲望，使學(xué)生能夠盡快進(jìn)入角色，為進(jìn)入深度學(xué)習(xí)打下情感基礎(chǔ).

最后，要有梯度，注意鋪設(shè)的臺(tái)階數(shù)和臺(tái)階的高度，這個(gè)主要取決于學(xué)生的實(shí)際水平.對(duì)于層次低一點(diǎn)的學(xué)生臺(tái)階數(shù)盡量多一點(diǎn)，臺(tái)階高度盡量低一點(diǎn);對(duì)于層次高的學(xué)生，臺(tái)階數(shù)可以減少，臺(tái)階的高度也可以高一些.題目可以設(shè)置多問(wèn)，讓學(xué)生一步步解決，最終解決最后一問(wèn)，這樣學(xué)生能夠非常專(zhuān)注而且積極地投入到解決更復(fù)雜的問(wèn)題中去.而深度學(xué)習(xí)向更高認(rèn)知水平邁進(jìn)，這一點(diǎn)在本堂課接下來(lái)例題設(shè)置的小問(wèn)上能夠體現(xiàn)出來(lái).

二、一題多解? ?認(rèn)識(shí)本質(zhì)

將解答例題的方法用來(lái)解決類(lèi)似問(wèn)題，是對(duì)學(xué)生真正理解該方法的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一，也是進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一.深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)整合，把多種知識(shí)和信息進(jìn)行聯(lián)系，通過(guò)學(xué)生的同化和順應(yīng)，與原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行深度融合[1].所以在課堂上，我們要將例題中學(xué)生所學(xué)到的方法，通過(guò)變式，引導(dǎo)學(xué)生深入分析出幾種不同方法進(jìn)行解答，真正理解該問(wèn)題的本質(zhì)，使知識(shí)方法能夠發(fā)生遷移.例如，在本堂課中的例題先用常用的代數(shù)方法，然后再用幾何方法解釋代數(shù)方法，使其了解問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而能夠進(jìn)行方法的遷移.為后面研究已知一邊及鄰邊問(wèn)題，提供解決的策略.學(xué)生能夠通過(guò)例題的研究方法解決該變式問(wèn)題，形成方法的遷移，進(jìn)而對(duì)該方法有深度的理解，從而對(duì)該方法能夠靈活運(yùn)用.

例1? ?如圖3，在[△ABC]中，角[A， B， C]所對(duì)的邊分別為[a， b， c， A=π3，a=3]，

（1）求角[B]的取值范圍;

（2）求[sinB+sinC]的取值范圍;

（3）求[b+c]的取值范圍.

生1：（1）[0

（2）[sinB+sinC=sinB+sin[π-（A+B）]]

[? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =sinB+sin（π3+B）]

[=32sinB+32cosB]

[=3sin（B+π6）]

[又∵π6

[∴32

（3）[∵asinA=332=2=2R，]

∴b=2RsinB=2sinB，c=2RsinC=2sinC.

[∴b+c=2（sinB+sinC）]∈（[3]，2[3] ].

師：同學(xué)們，從上面計(jì)算過(guò)程來(lái)看，這兩邊之和取得最值時(shí)∠[B]的大小是多少呢？

生2：當(dāng)∠[B]為[π3]時(shí)取最大值，而且此時(shí)△ABC為等邊三角形，當(dāng)∠[B]接近0弧度時(shí)，就接近最小值.

師：這位同學(xué)回答很正確，我們借助幾何畫(huà)板，直觀來(lái)觀察一下.

（通過(guò)幾何畫(huà)板移動(dòng)[A]點(diǎn)位置，觀察[b+c]的大小變化）

【設(shè)計(jì)意圖】要求學(xué)生深度學(xué)習(xí)，題目設(shè)置必須是促進(jìn)式的、層次性的、階梯式的.這道例題設(shè)置了3問(wèn)，層層相扣，前一問(wèn)為后一問(wèn)搭橋，難度層層遞進(jìn)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜.這道例題除了用代數(shù)的方法解之外，還要求用幾何的方法求解，利用幾何畫(huà)板演示，通過(guò)展示發(fā)現(xiàn)[A]點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到[BC]弧的中點(diǎn)時(shí)達(dá)到最大，從而直觀地解釋代數(shù)方法，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，為知識(shí)遷移打下基礎(chǔ).

例2? ?如圖4，在[△ABC]中，角[A，B，C]所對(duì)的邊分別為a， b， c，

A[=π3，a=3，]則[△ABC]面積的最大值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

生3：BC邊不變，當(dāng)A點(diǎn)到BC邊上的距離達(dá)到最大值時(shí)面積最大，且A在半徑固定的外接圓上運(yùn)動(dòng)，面積達(dá)到最大值時(shí)[△]ABC恰好為等邊三角形，

[Smax=34（3）2=334]

變式? ?在[△ABC]中，角[A， B， C]所對(duì)的邊分別為[a， b， c， AB=23，C=2π3，]求[△]ABC面積的最大值（如圖5）.

生4：由畫(huà)圖可知，當(dāng)C點(diǎn)在圓上轉(zhuǎn)到離AB距離最大時(shí)面積達(dá)到最大，此時(shí)AB=AC，高h(yuǎn)就為C 到AB的距離，所以[Smax=12ABh=3].

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，將上題的求周長(zhǎng)問(wèn)題改為求面積問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)入一個(gè)看似新的環(huán)境，促使學(xué)生對(duì)內(nèi)容的有機(jī)整合，讓知識(shí)之間建立聯(lián)系，以達(dá)到記憶深刻及能夠遷移應(yīng)用.變式將角度變?yōu)殁g角，通過(guò)改變一個(gè)小條件，檢測(cè)學(xué)生對(duì)上述方法的掌握，從而達(dá)到靈活運(yùn)用幾何方法的目的. 必要時(shí)還可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解，使之達(dá)到拓展水平.

三、問(wèn)題拓展? ?知識(shí)遷移

授魚(yú)還是授漁，數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁[2].所以我們要授之以漁，就必須滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟，進(jìn)而能夠達(dá)到融會(huì)貫通，舉一反三之功效，這是進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的前提條件.筆者在本節(jié)課中，有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，在例題中用圖形來(lái)解釋代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.另外在解決問(wèn)題的過(guò)程中，將不熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，這又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.正是有了這些思想方法的滲透，才使得知識(shí)遷移成為可能.

例3? ?如圖6，在銳角[△ABC]中，角[A， B， C]所對(duì)的邊分別為[a， b， c， B=π3，c=1，]

（1）求角[C]的取值范圍;

（2）求[sinAsinC]的取值范圍;

（3）求[△ABC]面積的取值范圍.

生5：（1）[π6

（2） [sinAsinC=sin （2π3-C）sinC=32tanC+12∈（12，2）];

（3） [S =12acsinB = 12 asinB =34sinAsinC]

[∈（38，32）].

生6：第（3）問(wèn)，[S=34a]，當(dāng)越接近C角的最小值時(shí)，[a]邊會(huì)越大.當(dāng)越接近C角的最大值時(shí)，[a]邊會(huì)越小，所以面積的取值范圍為[（38，32）].

【設(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題條件由已知邊及其對(duì)角遷移到已知一邊及其鄰角，求面積的最大值.學(xué)生通過(guò)前面的鋪墊，已經(jīng)具備解決該問(wèn)題的方法，學(xué)生要解決這個(gè)新的問(wèn)題需要將前面的知識(shí)和方法遷移過(guò)來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的最高認(rèn)知水平.

四、總結(jié)提升? ?優(yōu)化建構(gòu)

深度學(xué)習(xí)著重學(xué)習(xí)過(guò)程的反思.所以一堂完整的課，總結(jié)是必不可少的.通過(guò)總結(jié)，可以使自身的知識(shí)建構(gòu)得以圓滿(mǎn).

師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)本堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容及解決問(wèn)題策略進(jìn)行總結(jié).

生7：這節(jié)課主要針對(duì)的是三角形中的范圍問(wèn)題，并用幾何法和代數(shù)法兩種方法，從中我領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的解題策略和轉(zhuǎn)化與化歸的解題策略.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)總結(jié)加深對(duì)方法的理解，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)建構(gòu)反思，從而養(yǎng)成反思、調(diào)整、改造的良好習(xí)慣.

本堂課教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的各板塊聯(lián)系緊密，先喚起本堂課所用到的舊知，再交代研究問(wèn)題的背景，然后再對(duì)常見(jiàn)的定外接圓求角和邊的范圍問(wèn)題求解，最后過(guò)渡到已知一角及鄰邊的不熟悉問(wèn)題求解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.學(xué)生從熟悉問(wèn)題向不熟悉問(wèn)題探索，思維也逐步向高階思維發(fā)展.發(fā)展學(xué)生的高階思維，有助于實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).同樣，深度學(xué)習(xí)也有助于高階思維的發(fā)展.另外，教學(xué)提倡深度學(xué)習(xí)，要深挖教材內(nèi)容的內(nèi)涵，找出知識(shí)間的聯(lián)系以及包含的數(shù)學(xué)思想方法，而且還需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)安排內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃加衛(wèi).例析基于核心素養(yǎng)的“深度學(xué)習(xí)”[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（9）：12-16.

[2]游璐璠.“授魚(yú)”還是“授漁”[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（15）：107.