許 娟，張 輝

（安慶師范大學數理學院，安徽安慶246133）

在?3中磁場微極流方程組描述如下：

在無窮遠處假設

其中，u(x,t)∈?3，表示未知的速度場；b(t,x)∈?3，表示未知的磁場；w(t,x)∈?3，表示微旋轉速度場；p(t,x)∈?，表示未知的壓力；(u0,w0,b0)是給定的初始值，且在分布意義下滿足??u0=??b0=0。

磁場微極流方程組是非常重要的流體力學方程組，它不僅反映了重要的物理現象，而且結構上還耦合了許多重要的流體力學方程組，如（Magneto-hydrodynamics）（MHD）方程組、微極流方程組、Navier-Stokes方程組等。類似于Navier-Stokes方程組的解的情形，在文獻[1-2]中已經論證了方程組在三維情形下強解的局部存在性與Leary-Hopf型弱解的整體存在性。一個自然的想法就是能否將Navier-Stokes方程組的一些正則性準則或爆破準則推廣到磁場微極流方程組。最近有一些文獻[4-8]研究了磁場微極流方程組弱解的正則性準則和強解的爆破性準則，但是，需要指出的是，在討論部分分量正則性準則時，會出現許多本質上的困難，這是由于速度場和磁場以及微旋度場的非線性耦合。

1 磁場微極流方程組的正則性準則

本文的目的是討論帶有部分速度分量和磁場分量的正則性準則。研究的動機來源于不可壓Navier-Stokes 方程組和MHD 方程組的相關研究，文獻[9-10]對Navier-Stokes 方程組給出了只涉及速度場水平分量的正則性準則：

文獻[11]對MHD方程組給出了涉及速度場和磁場的部分分量的正則性準則：

一個自然的想法就是探討式（5）（6）能否推廣到磁場微極流方程組。通過能量估計的方法獲得了如下結論。

定理1假設初值(u0,w0,b0)∈H1(?3)，且在分布意義下有div u0=div b0=0，三元函數(u,w, b)是磁場微極流方程組(1)(2)的弱解，如果滿足

則(u,w, b)在存在區(qū)間[0,T)上是唯一的強解。

注1磁場微極流方程組在一定條件下可以退化成Navier-Stokes方程組和MHD方程組，因此定理1的結論是Navier-Stokes方程組和MHD方程組相關結果的推廣。

注2 正則性準則與微旋度場無關，對應的微極流方程組

在無窮遠處假設

那么定理1又蘊含著如下的正則性準則。

定理2假設初值(u0,w0)∈H1(?3)，二元函數(u,w)是方程組（9）（10）的弱解，且滿足：

則(u,w)實際是存在區(qū)間[0,T)上的唯一強解。

注3為了簡便，本文中函數的Lp范數用‖ · ‖p表示，Hs范數用‖ · ‖Hs表示，常數用C表示，它可能涉及某些已經假定的量，如初值。

2 光滑解的先驗估計證明

為了證明定理，先對光滑解給出如下的先驗估計。

引理令(u,w, b)是方程組（1）（2）在[0,T)上的光滑解，若滿足條件（7）或（8），則有

證明將方程組（1）中u-方程、w-方程、b-方程分別與-Δu、w、-Δb做L2內積，則有

下面對式（12）進行逐項估計，對于I1項，由[9-10]并結合Ho¨lder不等式和Young不等式有

其中，指標滿足如下條件：

其中，指標滿足下面條件：

接著估計I2。將I2分解成2個部分：

結合Ho¨lder不等式和Young不等式將I21、I22兩項分別估計如下：

I2還可以這樣估計，先將I2分解成4個部分：

然后對這4項分別估計如下：

由于I3，I4在形式上與I2類似，所以省略兩種具體的分解方法，有

最后，我們估計I5，I6。利用Ho¨lder不等式和Young不等式有

同時利用Gagliardo-Nirenberg不等式

且通過適當選取參數λi，i=1,2,3,…,9，并綜合上面的各式便可得到：

或者

利用Gronwall不等式，立即可以得到引理的證明。

3 正則性準則的證明

由于磁場微極流方程組的弱解如果滿足H.da Veiga型準則，則弱解是[0,T]上的強解。具體地說，原保全[4]給出了如下的正則性準則：

上述結果表明，方程組解的奇性可以由速度場單獨控制，因此只要能夠說明在條件（7）或（8）下，速度場滿足式（13），則完成定理的證明。通過一個標準的光滑過程，并結合引理的結論，可以得出當方程組（1）（2）的弱解滿足條件（7）或（8）時，速度場?u ∈L∞(0,T;L2(?3))，至此完成定理的證明。

4 結 論

本文研究了磁場微極流方程組的正則性準則問題，利用能量估計的方法證明了速度場和磁場的水平方向滿足條件

時，弱解在(0,T]上便是唯一的強解。結果表明，可以僅通過部分的速度場和磁場的分量來控制方程的奇性發(fā)展，這個結果展示了微旋度場似乎是一個“好”的物理量。