黃良珂，李 琛，王浩宇*，彭 華，陳 軍，劉立龍

(1.桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，桂林 541004；2.廣西空間信息與測繪重點實驗室，桂林 541004；3.武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，武漢 430079；4.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢 430079)

電離層總電子含量是表征電離層延遲的重要參量，提高垂直總電子含量(vertical total electron content，VTEC)預(yù)報精度可以提升全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)定位精度；此外，在震前電離層擾動、地球磁場研究、太陽活動對電離層的影響[1-3]等領(lǐng)域亦具有重要意義。常用的VTEC預(yù)報模型主要有灰色模型[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[5]、Holt-Winters模型[6-7]、ARMA(autoreg ressive moving average)模型[8]和ARIMA(autoregressive integrated moving average)模型[9]等。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以無限逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，其能較好地用于VTEC的預(yù)測，但存在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化復(fù)雜、參數(shù)選取困難和個別預(yù)測值誤差大等缺點，在一定程度上限制了其實際應(yīng)用?；跁r間序列分析法的總電子含量(total electron content，TEC)預(yù)報，已取得豐碩的成果[8-9]。但是直接使用單一的時間序列模型預(yù)測TEC，會降低其預(yù)測精度。為提高TEC預(yù)報精度，文獻(xiàn)[10]將小波分解結(jié)合ARIMA模型(WARIMA)對TEC進(jìn)行預(yù)報，結(jié)果表明：采用WARIMA模型對電離層總電子含量進(jìn)行預(yù)測具有可行性且預(yù)報精度優(yōu)于ARIMA模型。由此可知，對TEC進(jìn)行預(yù)處理可提高TEC預(yù)報精度。

經(jīng)驗正交函數(shù)(empirical orthogonal function，EOF)分解是一種數(shù)理分析方法，可將原矩陣分解成為時間函數(shù)和空間函數(shù)，根據(jù)方差貢獻(xiàn)率來簡化剔除冗余信息，已廣泛應(yīng)用于具有時空特性和非平穩(wěn)特性的數(shù)據(jù)分析中，如降水量分析[11]、平均氣溫距平值預(yù)測[12]和沉降數(shù)據(jù)的分析[13]等。但目前鮮有文獻(xiàn)將EOF函數(shù)引入到ARIMA模型對中國地區(qū)電離層VTEC進(jìn)行短期預(yù)報研究，尤其在中國低緯度地區(qū)。該地區(qū)的電離層不僅存在赤道異?，F(xiàn)象[14]，也是臺風(fēng)、火山和地震的頻發(fā)區(qū)[15-16]；而臺風(fēng)、火山和地震發(fā)生前電離層VTEC會發(fā)生異常，高精度的VTEC預(yù)報值可以為中國地區(qū)(尤其是低緯度地區(qū))地震預(yù)報分析[17]和臺風(fēng)對電離層的影響分析[18]提供重要數(shù)據(jù)源。因此，探討利用EOF-ARIMA模型對中國地區(qū)(2.5°N～55°N，70°E～135°E)的電離層VTEC值進(jìn)行預(yù)測具有重要意義。

1 模型原理簡介

1.1 EOF分解和重構(gòu)基本原理簡介

已有文獻(xiàn)表明[9-11]，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變化，可對原始數(shù)據(jù)信息進(jìn)行簡化并能剔除其冗余信息，而EOF分解則是一種常用的方法，其可將原始矩陣分解成空間函數(shù)矩陣V和時間函數(shù)矩陣Y兩部分。其中，空間函數(shù)部分取決于變量場的主要變化特征，不隨時間變化而變化；分解出的時間函數(shù)則是由空間點的變量線性組合所構(gòu)成，為主要分量。具體的過程如下。

(1)設(shè)具有時空特性的VTEC為矩陣Xij，空間函數(shù)vik和時間函數(shù)ykj(k=1,2,…,m)，關(guān)系為

(1)

其矩陣表現(xiàn)形式為

(2)

(2)計算方差貢獻(xiàn)率，篩選出貢獻(xiàn)率超過95%的主分量進(jìn)行重構(gòu)，可以有效地剔除原始序列中的多余信息并確保重構(gòu)后的時空序列可以得到較高精度，方差貢獻(xiàn)率可由式(3)得到：

(3)

(3)對符合要求的主分量構(gòu)成矩陣PC，通過式(4)進(jìn)行重構(gòu)。

X=VPC

(4)

1.2 EOF-ARIMA建模過程

假設(shè)一個平穩(wěn)的時間序列為xt(t=1,2,…,N)，則ARMA結(jié)構(gòu)為

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+K+φpxt-q+εt+θ1εt-1-θ1εt-1-θ2εt-2-K-θpεt-q+εt

(5)

式(5)中：K為誤差；{θ}為白噪聲序列；p和q為季節(jié)性或非季節(jié)性的階數(shù)；φ1,φ2,…，φn為自回歸參數(shù)。ARIMA模型是對ARMA模型進(jìn)行差分優(yōu)化得到，適用于預(yù)報非平穩(wěn)時間序列[19]。

EOF-ARIMA建模步驟如下。

步驟1 數(shù)據(jù)預(yù)處理。研究所使用實驗數(shù)據(jù)為覆蓋中國地區(qū)的308個格網(wǎng)點2 h分辨率的VTEC值，為此對308個格網(wǎng)點一個季節(jié)10 d的原始矩陣為X308×120的數(shù)據(jù)進(jìn)行EOF分解，分解出時間函數(shù)Y308×120和空間函數(shù)V121×120。

步驟2 階數(shù)的確定。對主分量進(jìn)行季節(jié)性分析，以確定ARIMA模型中對季節(jié)性預(yù)測或非季節(jié)性預(yù)測的選擇，由于選取的電離層總電子含量實驗樣本具有周期為1 d的周期性變化，因此 季節(jié)性預(yù)測會獲得較高精度；使用序列圖分析主分量的周期性，確定是否進(jìn)行季節(jié)性差分D或非季節(jié)性差分d；通過自相關(guān)圖ACF和偏相關(guān)圖PACF確定非季節(jié)性p和q的階數(shù)、季節(jié)性P和Q的階數(shù)。

步驟3 預(yù)測。根據(jù)實驗需要確定預(yù)測天數(shù)，使用相應(yīng)的階數(shù)對主分量進(jìn)行季節(jié)性預(yù)測。

步驟4 重構(gòu)。把預(yù)測后的主分量構(gòu)成矩陣PC，根據(jù)式(6)重構(gòu)得到5 d的預(yù)測值。

2 實驗分析

已有文獻(xiàn)表明[9]：影響預(yù)報精度的因素包括樣本數(shù)、預(yù)報的天數(shù)和電離層自身的異常。在控制樣本數(shù)相同的條件下，結(jié)果表明預(yù)報前10 d的相對精度最高，超過30 d后預(yù)報的精度明顯下降；在控制預(yù)報天數(shù)相同的情況下，當(dāng)樣本數(shù)遞增至大于30 d后，對預(yù)報的精度提升并不明顯。因此，結(jié)合預(yù)報的影響因素和中國地區(qū)的實際情況，對國際GNSS服務(wù)(international GNSS service,IGS)中心提供的2015年全球VTEC格網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行提取，獲得覆蓋中國地區(qū)(2.5°N～55°N，70°E～135°E)的308個格網(wǎng)點2 h分辨率的VTEC數(shù)據(jù)(圖1)?？紤]到太陽黑子11 a周期變化[20]，選取4個季節(jié)各10 d，共計40 d(年積日分別為春季82～91 d，夏季184～193 d，秋季266～275 d和冬季318～327 d)的VTEC值作為建模數(shù)據(jù)，采用EOF-ARIMA模型對后5 d的VTEC數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報，并與ARIMA模型進(jìn)行對比。以IGS中心提供的VTEC值為參考值，采用標(biāo)準(zhǔn)差(STDd)和平均相對精度(Ppd)評估模型預(yù)報結(jié)果，其表達(dá)式為

(6)

(7)

式中：Ipre(t)為預(yù)報結(jié)果；Iigs(t)為IGS中心提供的VTEC原始序列；由于數(shù)據(jù)分辨率2 h，因此t代表數(shù)據(jù)個數(shù)，一天的數(shù)據(jù)個數(shù)為12個；STDd表示預(yù)報結(jié)果與IGS中心提供的VTEC觀測值差值的日標(biāo)準(zhǔn)差；Ppd表示預(yù)報結(jié)果的日平均相對精度。

▲表示選取的中國地區(qū)具有代表性的6個網(wǎng)格點圖1 中國地區(qū)格網(wǎng)點分布Fig.1 Grid mesh distribution in China

3 實驗結(jié)果分析

3.1 EOF-ARIMA模型預(yù)測精度分析

利用EOF-ARIMA模型和ARIMA模型分別對覆蓋中國地區(qū)的308個格網(wǎng)點4個季節(jié)的VTEC進(jìn)行了預(yù)報分析。限于篇幅，只選取了中國地區(qū)具有代表性的6個格網(wǎng)點分析預(yù)報精度，結(jié)果如圖2～圖7所示。由于IGS提供VTEC時間分辨率為2 h，則每天含有12個VTEC。

由圖2～圖7可以看出：在所選的6個格網(wǎng)點的4個季節(jié)中，EOF-ARIMA模型和ARIMA模型的預(yù)測值與IGS中心提供的實測值的變化趨勢均具有良好的一致性，但是EOF-ARIMA模型預(yù)報的VTEC值與IGS實測值更接近，尤其在(45°N，80°E)格網(wǎng)點處，ARIMA模型表現(xiàn)出較大的預(yù)測偏差，說明EOF-ARIMA模型比ARIMA模型表現(xiàn)出更好的預(yù)報性能；然而，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)中VTEC值波動較大時，如(35°N,105°E)、(45°N,80°E)和(50°N,130°E)格網(wǎng)點的夏季，兩模型的預(yù)報精度均有所下降，主要原因可能是ARIMA模型自身的缺陷，面對復(fù)雜且規(guī)律不明顯的時間序列預(yù)測其擬合效果較差。盡管如此，經(jīng)過聯(lián)合EOF的EOF-ARIMA模型預(yù)報性能仍然優(yōu)于ARIMA模型，在(45°N,80°E)和(50°N,130°E)格網(wǎng)點尤為明顯。

圖2 5°N,110°E格網(wǎng)點VTECFig.2 Grid point VTEC of 5°N,110°E

圖3 25°N,115°E格網(wǎng)點VTECFig.3 Grid point VTEC of 25°N,115°E

圖4 30°N,85°E格網(wǎng)點VTECFig.4 Grid point VTEC value of 30°N,85°E

圖5 35°N,105°E格網(wǎng)點VTECFig.5 Grid point VTEC of 35°N,105°E

圖6 45°N,80°E格網(wǎng)點VTECFig.6 Grid point VTEC of 45°N,80°E

圖7 50°N,130°E格網(wǎng)點VTECFig.7 Grid point VTEC of 50°N,130°E

為進(jìn)一步分析EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)的預(yù)報效果，統(tǒng)計了中國地區(qū)308個格網(wǎng)點不同季節(jié)的平均日峰值、季節(jié)最大日峰值、季節(jié)平均標(biāo)準(zhǔn)差、季節(jié)平均相對精度，結(jié)果如表1所示；此外，對中國地區(qū)6個代表性格網(wǎng)點兩種模型的預(yù)報精度也進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如表2所示。

由于4個季節(jié)的季節(jié)VTEC平均值存在一定的差異，不宜直接使用標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行精度評估。因此，為更好地反映模型的預(yù)報精度，采用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)=季節(jié)平均標(biāo)準(zhǔn)差/季節(jié)VTEC平均值)作為精度指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)越高表明預(yù)報的精度越低。由表1可知，EOF-ARIMA模型4個季節(jié)的平均相對精度均高于80%，在冬季的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)最高，為13.40%；ARIMA模型4個季節(jié)的平均相對精度高于70%，在春季的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)最高，為15.77%，其在秋季的預(yù)報精度低于其他季節(jié)，說明在中國地區(qū)的VTEC短期預(yù)報中，EOF-ARIMA模型較ARIMA模型具有更高的預(yù)報精度和穩(wěn)定性。由表2可知，在相同季節(jié)中，EOF-ARIMA模型的相對精度和標(biāo)準(zhǔn)差均保持在同一預(yù)測精度上，比ARIMA模型更穩(wěn)定，進(jìn)一步說明EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)VTEC短期預(yù)報中具有更好的穩(wěn)定性?？傊?，EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)預(yù)報VTEC的平均相對精度為83.3%，平均標(biāo)準(zhǔn)差為3.51 TECu，在不同的季節(jié)中均能保持良好的穩(wěn)定性，說明在ARIMA模型中引入EOF分解能改善ARIMA模型的VTEC短期預(yù)報精度。

表1 兩種模型在中國地區(qū)的VTEC預(yù)報精度統(tǒng)計Table 1 The VTEC prediction accuracy statistics of the two models in China

表2 兩種模型在中國地區(qū)6個代表性格網(wǎng)點的VTEC預(yù)報精度統(tǒng)計Table 2 The VTEC prediction accuracy statistics of the two models in six representative character nodes in China

3.2 不同緯度預(yù)報精度分析

電離層赤道異常是由于赤道附近的電離層電子沿著磁力線上升后向高緯度兩端移動，在北半球形成駝峰現(xiàn)象，北駝峰主要發(fā)生在地磁緯度10°N～12.5°N(地理緯度20°N～22.5°N)[21]。中國地區(qū)疆域遼闊，南北方向橫跨低、中、高緯度地區(qū)，各季節(jié)的最大日峰值均出現(xiàn)在低緯度地區(qū)且日峰值最大值遠(yuǎn)大于中國地區(qū)的平均日均值。由于在低緯度地區(qū)電離層存在赤道異?，F(xiàn)象，因此有必要進(jìn)一步分析EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)不同緯度的適用性，尤其在中國低緯度地區(qū)的適用性。

選取中國地區(qū)位于不同緯度的8個格網(wǎng)點[(5°N,110°E)、(15°N,110°E)、(17.5°N,110°E)、(20°N,110°E)、(22.5°N,110°E)、(30°N,110°E)、(40°N,110°E)、(50°N,110°E)]，分析其在不同緯度處預(yù)報精度。選取8個格網(wǎng)點夏季的10 d VTEC作為建模數(shù)據(jù)(圖8)，采用EOF-ARIMA模型對年積日184～193 d(夏季)的數(shù)據(jù)進(jìn)行后5 d預(yù)測，預(yù)報結(jié)果如表3所示。

圖8 中國地區(qū)中、低、中高緯度IGS站實測VTECFig.8 Measured VTEC of IGS stations at middle，low and high latitudes in China

由圖8可知，在15°N～22.5°N區(qū)域VTEC高于其他緯度帶，且與緯度不存在相關(guān)性，在22.5°N～50°N區(qū)域，由于受到太陽輻射較少，VTEC隨緯度的升高而降低，說明中國低緯度地區(qū)存在電離層赤道異?，F(xiàn)象。由表3可以看出，EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)不同緯度的VTEC預(yù)報相對精度均在80%以上，且標(biāo)準(zhǔn)差不存在較大波動，在5°N～22.5°N區(qū)域的相對精度達(dá)到了84%以上，說明EOF-ARIMA模型的短期預(yù)報精度不受電離層赤道異常的影響?？傮w上，EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)不同緯度的平均相對精度均高于80 %，說明EOF對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理具有剔除冗余信息的作用。通過引入EOF分解可提高ARIMA模型VTEC短期預(yù)報能力，使EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)能取得較高的VTEC短期預(yù)報精度。因此，EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)對VTEC進(jìn)行短期預(yù)報具有較好的適用性和穩(wěn)定性。

表3 EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)不同緯度的預(yù)報精度統(tǒng)計Table 3 Prediction accuracy statistics of eof-arima model at different latitudes in China

4 結(jié)論

基于EOF分解具有對非平穩(wěn)時間序列進(jìn)行簡化及剔除冗余信息的功能，在ARIMA模型中引入EOF分解，得到組合模型EOF-ARIMA。利用IGS中心提供的覆蓋中國地區(qū)的2015年2 h分辨率的308個格網(wǎng)點的VTEC數(shù)據(jù)，分析EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)對VTEC進(jìn)行短期預(yù)報的適用情況，得出如下結(jié)論。

(1)在中國地區(qū)，EOF-ARIMA模型的整體預(yù)報效果優(yōu)于ARIMA模型，EOF-ARIMA模型預(yù)報5 d的VTEC均方根誤差為3.51 TECu，平均相對精度為83.3%，ARIMA模型的標(biāo)準(zhǔn)差為3.67 TECu，平均相對精度為80.0%。

(2)EOF-ARIMA模型的預(yù)報性能無明顯季節(jié)變化，ARIMA模型在秋季的預(yù)報精度低于其他季節(jié)，說明在ARIMA模型中引入EOF分解可以提升其VTEC短期預(yù)報的穩(wěn)定性和精度。

(3)通過對中國地區(qū)低、中、中高緯度格網(wǎng)點的VTEC實測值進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在中國低緯度地區(qū)VTEC存在赤道異?，F(xiàn)象。盡管如此，EOF-ARIMA模型在不同緯度的平均相對預(yù)報精度仍然高于80%，且在5°N～22.5°N區(qū)域的VTEC預(yù)報的相對精度和標(biāo)準(zhǔn)差未出現(xiàn)異常波動，說明EOF-ARIMA模型的短期預(yù)報性能不受電離層赤道異常的影響。

基于EOF-ARIMA模型在中國地區(qū)及中國低緯度地區(qū)赤道異常處進(jìn)行VTEC短期預(yù)報能保持良好的精度和穩(wěn)定性，為專家學(xué)者在該地區(qū)進(jìn)行GNSS導(dǎo)航定位、地震預(yù)報分析、火山或者臺風(fēng)對電離層的影響分析以及電離層赤道異常區(qū)域分析等其他研究時提供可靠的預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行。