劉麗麗，姜偕富，尹宗明，郭娜娜

(杭州電子科技大學自動化學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

時滯現象普遍存在于網絡控制、化工、生物等實際應用中，是造成系統性能下降或不穩(wěn)定的主要原因之一[1]。因此，時滯系統的穩(wěn)定性分析受到了眾多學者的關注。過去的二十多年中，廣大學者提出了許多研究時變時滯系統穩(wěn)定性的方法，并取得了豐碩的研究成果[2-11]。例如，文獻[3]研究具有區(qū)間時變時滯線性系統的穩(wěn)定性問題，采用一階、二階零等式，取得較好結果，但計算較為復雜；文獻[5-6]研究一類線性時滯系統的區(qū)間時滯相關穩(wěn)定性問題，用Wirtinger積分不等式和凸組合的方法處理積分項，得到保守性較小的穩(wěn)定性判據；文獻[7]分析了時變時滯系統的穩(wěn)定性問題，構造一種新的時滯乘積型L-K泛函，得到較好的結果。但是，上述文獻只考慮時變時滯的變化范圍和時滯變化率的信息，忽略了時滯的隨機特性。事實上，時變時滯往往是隨機的，如網絡化控制系統中的誘導時滯。文獻[9]研究了具有隨機輸入時滯的網絡控制系統的穩(wěn)定性及控制器設計問題，采用自由權矩陣處理積分交叉項，取得較好結果；文獻[10]研究了具有隨機輸入時滯的網絡控制系統的觀測器控制問題，得到保守性較小的穩(wěn)定性準則；文獻[11]研究了具有隨機時滯的多區(qū)間時滯系統穩(wěn)定性問題，利用Finsler’s引理，得出較好的結果。然而，文獻[9-10]中僅考慮時滯下界為零的情況，文獻[11]只采用Jensen不等式和凸組合的方法來處理積分項，仍有較大的改進空間。本文研究一類具有隨機時滯的區(qū)間時滯系統穩(wěn)定性問題，構造一個新的增廣型L-K泛函并充分利用時滯信息和區(qū)間時滯概率分布信息，給出保守性較小的穩(wěn)定性準則。

1 系統模型

假設線性時變時滯系統模型如下：

(1)

式中，A，Ad為已知的具有適當維數的常矩陣；x(t)∈Rn為系統的狀態(tài)向量；h(t)為系統的時滯函數且滿足h1≤h(t)≤h3，h1和h3為已知標量；φ(t)為系統的初始值。

假設時滯h(t)在[h1,h2]和(h2,h3]上的概率分布是已知的。為了有效利用時滯的概率分布信息，定義如下2個隨機事件：

Ω1∶h(t)∈[h1,h2], Ω2∶h(t)∈(h2,h3]

引入1個隨機變量

定義2個函數h1∶R+→[h1,h2]和h2∶R+→(h2,h3]，則有

不難發(fā)現，δ(t)服從伯努利分布，滿足

Prob={δ(t)=1}=Prob{h1≤h(t)≤h2}=E{δ(t)}=δ,

Prob={δ(t)=0}=Prob{h2

其中δ∈[0,1]，δ和1-δ分別表示時滯h(t)在區(qū)間[h1,h2]和(h2,h3]上的概率。

綜上，通過引入隨機變量δ(t)和隨機輸入時變時滯h1(t)、h2(t)后，可以將系統(1)改寫為：

(2)

2 主要結果

(3)

(4)

(5)

Ξ22=-Q1-R1-4R2，Ξ23=-2R2-U11-U12-U21-U22，Ξ24=U11-U12+U21-U22，

h12=h2-h1，h23=h3-h2。

證明構造如下L-K泛函

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

(6)

為了簡化后續(xù)的推導過程，定義ξT(t)和ei分別如下:

沿系統軌跡(2)對V(xt)作無窮小算子

(7)

式中，

(8)

(9)

(10)

(11)

引入如下零等式

(12)

分別對式(10)中的R1相關積分項使用Jensen不等式處理，對R2和R3相關的積分項使用文獻[4]中的引理2.1和文獻[12]中的引理2處理，對式(11)中的Z相關的二重積分項使用文獻[13]中的引理2處理，結合式(7)—(12)，并對式(7)兩端同時求期望可得:

(13)

當Ξ<0成立時，存在1個足夠小的常數λ>0，使得式(13)小于-λI，即

(14)

采用類似于文獻[14]中的方法，對任意的t≥0，可得:

(15)

3 數值示例

使用MATLAB中的LMI工具箱求解定理1中線性矩陣不等式(3)—(5)，求得所允許的最大時滯上界。選取2個數值示例來驗證本文所得穩(wěn)定性準則的有效性。

例1使用文獻[5]中系統模型

分別采用文獻[5]、文獻[6]及本文方法求出所允許的最大時滯上界h3，結果如表1所示。

表1 不同的h1下，最大允許時滯上界h3

從表1可以看出：根據本文定理1得到的時滯上界比文獻[5]、文獻[6]中的大，雖然本文的決策變量數比文獻[5]、文獻[6]多，但是所得結果較好，說明本文所用方法最終得出的穩(wěn)定性準則具有較小的保守性。

例2使用文獻[11]中系統模型

時滯函數h(t)在2個區(qū)間上的概率分布是已知的。當h2=0.1時，對不同的h1和δ求得時滯上界h3，結果如表2所示。

表2 當h2=0.1時，不同的h1和δ下所允許的最大時滯上界h3

從表2可以看出：當時滯下界h1不變時，增大時滯在區(qū)間[h1,h2]上的概率δ，時滯上界h3隨著概率增大而增大；當區(qū)間[h1,h2]上的時滯概率δ不變時，增大下界h1的值，時滯上界h3隨著h1的增大而增大。通過與文獻[11]中的推論1對比，在h1,h2,δ取值相同的情況下，本文得到的時滯上界較大，驗證了本文采用方法的有效性。

通過上面2個例子可知：時滯上界h3的取值范圍不僅與時滯下界大小有關，還與時滯概率δ分布有關。

4 結束語

本文針對一類具有隨機時滯的區(qū)間時滯系統的穩(wěn)定性問題進行研究。與以往文獻不同的是，本文不僅考慮了時滯信息，還考慮了時滯在區(qū)間上的概率分布。研究結果表明，在充分考慮了時滯在區(qū)間上的概率分布情況下，得到的最大時滯上界比僅考慮時滯信息情況下的大，說明本文所得結果具有較小的保守性。但是，本文只考慮2個概率區(qū)間，下一步將對多個概率區(qū)間的時滯系統保守性問題展開研究。