馮 翔 宇， 石 茂 林， 馬 躍， 宋 學(xué) 官， 孫 偉， 田 騰

( 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

數(shù)據(jù)建模是實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，是完成工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析及優(yōu)化的重要前提.在眾多的數(shù)據(jù)建模方法中，支持向量回歸(support vector regression，SVR)是具有代表性的一種，具有魯棒性好、泛化學(xué)習(xí)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，因此在計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真及工程設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用.例如，Lute等[3]通過支持向量回歸建立了橋梁設(shè)計(jì)參數(shù)與最大應(yīng)力應(yīng)變的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了斜拉橋設(shè)計(jì)主梁和塔柱的應(yīng)力應(yīng)變預(yù)測(cè)；Edwin Raja Dhas等[4]基于支持向量回歸建立焊接電學(xué)參數(shù)與焊接后部件殘余應(yīng)力相關(guān)關(guān)系，用于焊接過程的參數(shù)分析；Rahman等[5]基于汽車懸架臂的荷載和材料數(shù)據(jù)，采用支持向量回歸預(yù)測(cè)懸架臂最大位移量及最大主應(yīng)力；Lostado等[6]利用支持向量回歸刻畫了軸承預(yù)緊力、荷載和位移與車軸表面接觸壓力之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系.錢驥等[7]基于支持向量回歸建立鋼絞線應(yīng)力預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型，并用于大跨度橋梁的檢測(cè)監(jiān)測(cè)；滕軍等[8]以結(jié)構(gòu)的動(dòng)力和靜力響應(yīng)數(shù)據(jù)作為輸入，多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)作為輸出，使用支持向量回歸構(gòu)建二者間的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了有限元模型多個(gè)參數(shù)的修正；狄勤豐等[9]基于有限元模型獲得了套管部件的應(yīng)力數(shù)據(jù)，通過支持向量回歸建立了最大等效應(yīng)力的預(yù)測(cè)模型.由以上工作可以看出，支持向量回歸在預(yù)測(cè)、優(yōu)化及分析等工程問題中均取得了成功應(yīng)用.然而，以上研究中輸入?yún)?shù)均為定量參數(shù)，而定量參數(shù)與定性參數(shù)并存的現(xiàn)象在工程實(shí)際中普遍存在[10].例如，機(jī)械零件尺寸設(shè)計(jì)參數(shù)可做定量改變，相應(yīng)材料只能定性選擇，設(shè)計(jì)出的零件應(yīng)力應(yīng)變等特性受尺寸定量參數(shù)與材料定性參數(shù)的共同影響[11-12].由于既有建模方法多基于輸入?yún)?shù)間的空間距離描述彼此之間的相關(guān)關(guān)系，只能實(shí)現(xiàn)定量參數(shù)的數(shù)據(jù)建模，以至于既有方法不適用于描述定性參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系.因此如何實(shí)現(xiàn)定量參數(shù)與定性參數(shù)的有效建模成為亟待解決的工程問題.

針對(duì)定量參數(shù)與定性參數(shù)混合建模問題，已經(jīng)有很多學(xué)者提出了解決方案，并將定量參數(shù)及定性參數(shù)統(tǒng)稱為定量因子(quantitative factors)和定性因子(qualitative factors)[13].其中具有代表性的是基于高斯過程的定性-定量因子建模方法.Qian等[14]建立了高斯過程模型中定性因子相關(guān)結(jié)構(gòu)的一般框架，該框架采用半定規(guī)劃估計(jì)法，保證了相關(guān)結(jié)構(gòu)的正定性.Zhou等[15]在Qian等的高斯過程模型基礎(chǔ)上，引入了超球參數(shù)化對(duì)定性因子之間的關(guān)系進(jìn)行建模，量化了定性因子之間的關(guān)系.Deng等[16]進(jìn)一步改進(jìn)了定性因子之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，提出了更靈活的加性高斯過程模型，并通過數(shù)值及工程案例證明了所提方法具有更好的預(yù)測(cè)性能.然而，以上定性-定量因子混合建模方法基于高斯過程，需要對(duì)相關(guān)性矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算，要求訓(xùn)練樣本的均布性較高，以保證求解的穩(wěn)定性，且存在模型易過擬合等弊端[17].支持向量回歸可通過將訓(xùn)練數(shù)據(jù)設(shè)置為支持向量及非支持向量提升模型泛化能力，并通過正則化系數(shù)控制擬合程度，而其相應(yīng)的定性-定量因子混合建模方法還未見報(bào)道.為此，本文提出一種定性-定量因子支持向量回歸算法解決定性-定量因子混合的問題.在該算法中，構(gòu)建一種新型核函數(shù)描述定性-定量因子間的耦合關(guān)系，利用優(yōu)化核函數(shù)超參數(shù)獲取最優(yōu)模型.本文采用多個(gè)數(shù)值案例驗(yàn)證所提方法的有效性，核驗(yàn)數(shù)個(gè)經(jīng)典工程問題，并通過種植牙中種植體骨應(yīng)力預(yù)測(cè)的應(yīng)用，檢驗(yàn)該算法解決實(shí)際工程問題的能力.

1 算法介紹

1.1 支持向量回歸

支持向量回歸源于支持向量機(jī)(SVM)，其通過在高維空間構(gòu)建最優(yōu)超平面來擬合樣本，對(duì)于一組數(shù)據(jù)集{(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)}，有

yi=wTφ(xi)+b；i=1，2，…，m

(1)

其中w=(w1w2…wm)是權(quán)重矢量，b是偏置項(xiàng)，φ(x)為低維空間到高維空間的映射函數(shù).在實(shí)際的預(yù)測(cè)問題中，數(shù)據(jù)很難滿足式(1)中所示回歸方程.為此，研究人員對(duì)于式(1)進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)定模型輸出和真實(shí)輸出之間最多有≥0的偏差，記為不敏感損失參數(shù).為了得到最大間隔的劃分超平面，優(yōu)化參數(shù)w和b，求解如下公式：

(2)

s.t.yi-(wTφ(xi)+b)≤+ξi

(wTφ(xi)+b)-yi≤+ξi

(3)

(4)

偏置項(xiàng)b為

(5)

通過核函數(shù)R(x，xi)表示數(shù)據(jù)映射關(guān)系φ(x)，則支持向量回歸的最終表達(dá)形式為

(6)

1.2 定性-定量因子支持向量回歸

記輸入數(shù)據(jù)中有p個(gè)定量因子x=(x1x2…xp)T和q個(gè)定性因子z=(z1z2…zq)T，且對(duì)于第j個(gè)定性因子zj有mj個(gè)等級(jí).

對(duì)于定量因子輸入數(shù)據(jù)建模，支持向量回歸的核函數(shù)映射關(guān)系為

φ(·)=σ2R(·|θ)

(7)

其中σ2是方差參數(shù)，R(·|θ)是由核函數(shù)參數(shù)向量θ=(θ1θ2…θp)T確定的核函數(shù).對(duì)任意兩組具有相同維度的定量因子輸入量xi=(xi1xi2…xip)T和xj=(xj1xj2…xjp)T，核函數(shù)表述如下：

(8)

(9)

結(jié)合式(8)所示定量因子高斯核函數(shù)和式(9)所示定性因子相關(guān)性矩陣，選用一種核函數(shù)組成結(jié)構(gòu)，用于分析定量因子映射關(guān)系和定性因子相關(guān)性之間的組合形式[16].此核函數(shù)組成結(jié)構(gòu)的映射關(guān)系如下所示：

(10)

為了使算法能更加精確地建立映射關(guān)系，本文引入灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimizer，GWO)[19]，用于提出算法的參數(shù)尋優(yōu).

(11)

ψj，r，s∈(0，π)
σj≥0

(12)

除了核函數(shù)映射關(guān)系中的參數(shù)，支持向量回歸的不敏感損失參數(shù)和正則化參數(shù)C也需要優(yōu)化取得合適的數(shù)值[20].在算法模型的建立過程中，將以上需要優(yōu)化的參數(shù)設(shè)置在同一個(gè)位置向量P中，并根據(jù)約束條件設(shè)置合適的尋優(yōu)范圍，超參數(shù)優(yōu)化解都由灰狼優(yōu)化算法經(jīng)迭代求解得到.

本文提出的定性-定量因子支持向量回歸(quantitative-qualitative factors support vector regression，QQ-SVR)算法建立過程的偽代碼如下：

輸入：混合定性-定量因子的輸入數(shù)據(jù)(x，z)；輸出數(shù)據(jù)y

輸出：QQ-SVR模型

1： 設(shè)置GWO的種群規(guī)模數(shù)A、最大迭代次數(shù)Imax、誤差閾值Rmin；設(shè)置迭代次數(shù)的初始值I←1；

2： 設(shè)置待優(yōu)化超參數(shù)向量P的初始值及優(yōu)化區(qū)間；

3： whileR

4： GWO調(diào)整P中超參數(shù)位置；

5： 將(x，z)和P代入式(10)，得到核函數(shù)映射φ；

6： 將φ和y代入式(4)～(6)，構(gòu)建QQ-SVR臨時(shí)模型；

7： 將(x，z)代入QQ-SVR臨時(shí)模型，計(jì)算預(yù)測(cè)結(jié)果；

8： 計(jì)算預(yù)測(cè)結(jié)果與y之間的誤差R；

9： 迭代次數(shù)I←I+1；

10： end

11： return最終的QQ-SVR模型

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文通過多組測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證提出的定性-定量因子支持向量回歸(QQ-SVR)算法的預(yù)測(cè)性能，如表1所示.實(shí)驗(yàn)中，采用拉丁超立方抽樣方法為定量因子輸入采樣，定性因子輸入為全析因設(shè)計(jì)，其包含所有的等級(jí)組合.輸入數(shù)據(jù)組合了定性因子和定量因子，并通過給定函數(shù)獲取輸出數(shù)據(jù)，生成訓(xùn)練樣本與測(cè)試樣本.在訓(xùn)練樣本輸出數(shù)據(jù)中添加區(qū)間為～U[-0.1，0.1]的白噪聲.為檢驗(yàn)算法對(duì)樣本均布的依賴程度，設(shè)置測(cè)試函數(shù)(1)～(4)中訓(xùn)練樣本的定量因子采樣區(qū)間與測(cè)試樣本不同.與此同時(shí)，選用來自UCI數(shù)據(jù)庫的基準(zhǔn)測(cè)試數(shù)據(jù)集對(duì)算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，其輸入數(shù)據(jù)同時(shí)包含定性因子和定量因子，各數(shù)據(jù)集的基本信息如表2所示，訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本皆為隨機(jī)抽取.

表1 測(cè)試函數(shù)數(shù)據(jù)集

表2 基準(zhǔn)測(cè)試數(shù)據(jù)集

采用基于灰狼優(yōu)化算法的支持向量回歸(SVR)算法，文獻(xiàn)[15-16]中的兩種定性-定量因子高斯過程回歸算法(UC和AD_UC)，以及本文提出的QQ-SVR算法構(gòu)建預(yù)測(cè)模型.設(shè)定SVR和QQ-SVR中用于參數(shù)尋優(yōu)的GWO種群規(guī)模數(shù)為20，最大迭代次數(shù)為50，誤差閾值為0.01.為了減少隨機(jī)因素影響，每組數(shù)據(jù)集做30次獨(dú)立分析，并以30次預(yù)測(cè)值的均方根誤差(Erms)作為算法預(yù)測(cè)效果的評(píng)估指標(biāo)，如下所示：

(13)

2.2 結(jié)果與討論

計(jì)算并統(tǒng)計(jì)每次實(shí)驗(yàn)得到的均方根誤差值，獲得四分位箱線圖如圖1、2所示.可以看出，本文提出的算法相比于SVR、UC和AD_UC能夠提供更好的預(yù)測(cè)結(jié)果，對(duì)各組測(cè)試樣本預(yù)測(cè)的均方根誤差的平均值有較為顯著的降低，其數(shù)值統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示.

(a) 測(cè)試函數(shù)(1)

(b) 測(cè)試函數(shù)(2)

(c) 測(cè)試函數(shù)(3)

(d) 測(cè)試函數(shù)(4)

(e) 測(cè)試函數(shù)(5)

(f) 測(cè)試函數(shù)(6)

(g) 測(cè)試函數(shù)(7)

(h) 測(cè)試函數(shù)(8)

(i) 測(cè)試函數(shù)(9)

(j) 測(cè)試函數(shù)(10)

(k) 測(cè)試函數(shù)(11)

(l) 測(cè)試函數(shù)(12)

(m) 測(cè)試函數(shù)(13)

(n) 測(cè)試函數(shù)(14)

(o) 測(cè)試函數(shù)(15)

(p) 測(cè)試函數(shù)(16)

(a) Servo

(b) Yacht

(c) Auto-MPG

(d) ENB

表3 均方根誤差平均值

為了統(tǒng)計(jì)性地比較本文提出算法與其他算法預(yù)測(cè)性能，采用t檢驗(yàn)對(duì)各組測(cè)試函數(shù)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，零假設(shè)及備擇假設(shè)如表4所示.檢驗(yàn)結(jié)果列于表5，可以看出大部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果的t檢驗(yàn)得到的p值小于0.05，拒絕零假設(shè)，即在多數(shù)情況下提出算法的預(yù)測(cè)誤差顯著低于對(duì)照算法.提出算法在面對(duì)不同種類的定性-定量因子混合輸入的數(shù)據(jù)集時(shí)，都能獲得較為理想的結(jié)果.

表4 t檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)

表5 t檢驗(yàn)分析結(jié)果

通過以上數(shù)值實(shí)驗(yàn)的分析可以得知：與普通的支持向量回歸算法相比，式(10)所示的核函數(shù)映射關(guān)系能有效地描述定性因子與定量因子之間的耦合關(guān)系.此外，因訓(xùn)練樣本中存在白噪聲，且測(cè)試函數(shù)(1)～(4)中訓(xùn)練樣本的數(shù)據(jù)均布性較差，對(duì)相應(yīng)數(shù)據(jù)集測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析可以得知：與基于高斯過程回歸的定性-定量因子算法(UC、AD_UC)相比，本文算法的支持向量回歸結(jié)構(gòu)使得它所構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型具有較好的魯棒性和泛化性.

3 經(jīng)典工程算例

將算法應(yīng)用于3例經(jīng)典工程問題，分別為彈簧設(shè)計(jì)[21]、焊接梁設(shè)計(jì)[22]和壓力容器設(shè)計(jì)[23].這些工程問題中，輸入?yún)?shù)同時(shí)包含定性因子與定量因子，所以適用于檢驗(yàn)算法對(duì)于此類工程問題的建模效果.實(shí)驗(yàn)中，定量因子由拉丁超立方抽樣方法采樣，定性因子采用包含所有組合情況的全析因設(shè)計(jì)，并通過工程函數(shù)生成訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本.分別使用基于灰狼優(yōu)化算法的支持向量回歸(SVR)算法、兩種基于高斯過程回歸的定性-定量因子算法(UC和AD_UC)，以及本文提出的QQ-SVR算法建立相應(yīng)的預(yù)測(cè)模型，其中算法的參數(shù)設(shè)置同2.1節(jié)所述.

3.1 彈簧設(shè)計(jì)

該問題的目標(biāo)是預(yù)測(cè)如圖3所示的彈簧質(zhì)量，它受3個(gè)變量影響：導(dǎo)線直徑(d)、線圈直徑(D)以及有效圈數(shù)(N)，其中d和D是定量因子，而N是定性因子.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如表6所示.各算法預(yù)測(cè)誤差如表7所示，本文提出的算法預(yù)測(cè)精度最高.

圖3 彈簧設(shè)計(jì)示意圖

表6 彈簧設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

表7 彈簧設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)均方根誤差

3.2 焊接梁設(shè)計(jì)

該問題的目標(biāo)是預(yù)測(cè)如圖4所示的焊接梁成本，它受3個(gè)變量影響：焊縫厚度(h)、桿件附加部分長度(l)以及桿件的型號(hào)(P)，其中h和l是定量因子，P只能被定性選取.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如表8所示.各算法預(yù)測(cè)誤差如表9所示，本文提出的算法預(yù)測(cè)精度最高.

圖4 焊接梁設(shè)計(jì)示意圖

表8 焊接梁設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

表9 焊接梁設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)均方根誤差

3.3 壓力容器設(shè)計(jì)

該問題的目標(biāo)是預(yù)測(cè)如圖5所示的壓力容器總成本，它受4個(gè)變量影響：殼體厚度(Ts)、封頭厚度(Th)、內(nèi)徑規(guī)格(R)以及圓柱長度規(guī)格(L)，其中R和L是定量因子，而Ts和Th被設(shè)定為定性選取.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如表10所示，各算法預(yù)測(cè)誤差如表11所示，本文提出的算法預(yù)測(cè)精度最高.

圖5 壓力容器設(shè)計(jì)示意圖

表10 壓力容器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

表11 壓力容器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)均方根誤差

通過此3個(gè)經(jīng)典工程算例的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得知：相較于其他算法，本文算法在解決受定性-定量因子混合影響的工程問題時(shí)，具有更強(qiáng)的建模能力，預(yù)測(cè)精度也更高.實(shí)驗(yàn)結(jié)果同時(shí)也表明，本文算法適用于解決工程問題，在工程實(shí)踐的設(shè)計(jì)與應(yīng)用中具備一定的參考價(jià)值.

4 種植牙骨應(yīng)力預(yù)測(cè)

4.1 問題描述

將本文算法進(jìn)一步應(yīng)用于種植牙中種植體骨應(yīng)力預(yù)測(cè)以檢驗(yàn)其工程實(shí)踐意義.如文獻(xiàn)[24-25]所示，種植體骨應(yīng)力在種植體的設(shè)計(jì)過程中是一個(gè)重要的參考指標(biāo)，通常在設(shè)計(jì)過程中使用有限元分析生成數(shù)據(jù)集，再建立代理模型，通過少量采樣點(diǎn)獲取種植體結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)與骨應(yīng)力在全部空間中的相關(guān)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)空間中任意一點(diǎn)骨應(yīng)力的預(yù)測(cè).種植體骨應(yīng)力主要受種植體結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料類型的影響，其中結(jié)構(gòu)參數(shù)可按設(shè)計(jì)需求做出改變，而材料類型則相對(duì)有限.然而現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，多數(shù)的代理模型忽略材料類型對(duì)種植體骨應(yīng)力的影響，或?qū)⒉牧项愋偷倪x取簡單等效成材料參數(shù)的數(shù)值變動(dòng)，如Roy等[26]基于有限元分析的結(jié)果，僅針對(duì)種植牙尺寸參數(shù)建立骨應(yīng)力優(yōu)化的遺傳算法模型；Kitagawa等[27]基于有限元分析的結(jié)果，將不同材料的皮質(zhì)骨彈性模量作為輸入，建立種植牙骨應(yīng)力預(yù)測(cè)模型.這樣的建模方式容易忽略材料類型變量中潛在的耦合關(guān)系，造成骨應(yīng)力預(yù)測(cè)的結(jié)果不準(zhǔn)確.因此，有必要在建立預(yù)測(cè)模型的過程中充分考慮兩類變量的混合影響.在種植體骨應(yīng)力分析中，尺寸參數(shù)可視為定量因子，材料類型可視為定性因子，在本節(jié)中，即通過本文提出的定性-定量因子支持向量回歸(QQ-SVR)算法實(shí)現(xiàn)種植體骨應(yīng)力預(yù)測(cè).

4.2 有限元模型

構(gòu)建由皮質(zhì)骨、松質(zhì)骨、種植體、牙冠、中央螺絲5部分組成的種植牙系統(tǒng)模型，如圖6所示.

圖6 種植牙系統(tǒng)模型剖面圖

本文選取結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：種植體長度(Li)、螺紋長度(Ls)、螺紋螺距(P′)、等腰三角形種植體牙型底邊長度(Lt)、底角角度(β)，相應(yīng)取值范圍如表12所示.種植體和牙冠可選材料共有3種，具體參數(shù)及相應(yīng)定性因子如表13所示，模型其余

部分的材料參數(shù)如表14所示.

表14 其余組成部分的材料參數(shù)

種植牙系統(tǒng)有限元網(wǎng)格劃分如圖7所示，其中種植體、牙冠、中央螺絲接觸方式為Frictional，摩擦因數(shù)為0.3；種植體與骨組織接觸、松質(zhì)骨與皮質(zhì)骨的接觸類型均為Bonded.設(shè)置皮質(zhì)骨的底面邊界條件為全約束，側(cè)面邊界條件為無摩擦約束，在牙冠上加載豎直向下荷載150 N，中央螺絲預(yù)緊力加載150 N.經(jīng)過有限元計(jì)算后得到的種植體骨應(yīng)力云圖如圖8所示.

圖7 種植牙系統(tǒng)有限元網(wǎng)格劃分

圖8 種植體骨應(yīng)力云圖

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中，使用拉丁超立方抽樣方法對(duì)種植體模型中的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行采樣，種植體和牙冠的材料采用包含所有組合情況的全析因設(shè)計(jì).將結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定為定量因子，種植體和牙冠的材料類型編號(hào)設(shè)定為定性因子，結(jié)合成為輸入數(shù)據(jù).將相對(duì)應(yīng)的有限元模型計(jì)算得到的種植體骨應(yīng)力作為輸出數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)一共得到50組輸入和輸出數(shù)據(jù)，隨機(jī)選取40組作為訓(xùn)練樣本，剩下10組作為測(cè)試樣本.采用基于灰狼優(yōu)化算法的支持向量回歸(SVR)算法、兩種基于高斯過程回歸的定性-定量因子算法(UC和AD_UC)以及本文提出的QQ-SVR算法分別構(gòu)建種植體骨應(yīng)力預(yù)測(cè)模型，算法參數(shù)設(shè)置同2.1節(jié)所述.計(jì)算各模型對(duì)種植體骨應(yīng)力的預(yù)測(cè)值與測(cè)試樣本中真實(shí)值之間的均方根誤差作為算法預(yù)測(cè)效果的評(píng)估指標(biāo).實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表15所示.

表15 種植體骨應(yīng)力預(yù)測(cè)均方根誤差

從表中可以看出，本文提出的QQ-SVR算法相比對(duì)照算法可以顯著提升種植體骨應(yīng)力的預(yù)測(cè)精度.相較于SVR、UC和AD_UC，本文算法對(duì)種植體骨應(yīng)力預(yù)測(cè)的均方根誤差分別降低了43.8%、31.4%和68.6%.實(shí)驗(yàn)結(jié)果同時(shí)也再一次表明，此算法適用于工程實(shí)際中基于定性-定量因子混合輸入的建模，具有一定的實(shí)用價(jià)值.

5 結(jié) 語

本文回顧了支持向量回歸在計(jì)算機(jī)仿真和數(shù)值設(shè)計(jì)中的應(yīng)用以及對(duì)定性-定量因子混合輸入建模的研究現(xiàn)狀，并針對(duì)現(xiàn)有算法對(duì)定性-定量因子難以有效建模的問題，提出了定性-定量因子支持向量回歸算法.在該算法中，通過一種新型核函數(shù)描述定性-定量因子耦合關(guān)系，在此基礎(chǔ)上給出了定性-定量因子支持向量回歸推導(dǎo)及參數(shù)優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了定性-定量因子混合數(shù)據(jù)的有效建模.多組計(jì)算機(jī)數(shù)值實(shí)驗(yàn)、經(jīng)典工程算例分析以及種植體骨應(yīng)力預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)表明，所提算法相比較于現(xiàn)有的其他算法，對(duì)定性-定量因子混合輸入的建模能力更好，能夠提供更為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果，并具有一定的工程實(shí)踐能力.