北京市第十七中學(xué) 白雪峰

中外教育家都非常重視啟發(fā)式教 學(xué)。在中國，孔子提出“不憤不啟、不悱不發(fā)”的著名教學(xué)思想，成為“啟發(fā)”一詞的來源?！秾W(xué)記》提出“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”，這是對孔子“啟發(fā)式”教學(xué)思想的再發(fā)展，闡明在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中教師應(yīng)該發(fā)揮的引導(dǎo)、激勵和點(diǎn)撥作用。在西方，蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”強(qiáng)調(diào)教師要用“問答方式”來激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生自己去探求真知和尋求答案，“一個(gè)壞的教師奉送真理，一個(gè)好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理”是他的名言。我認(rèn)為：啟發(fā)式教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要方式，在貫徹落實(shí)這種育人思想的過程中，特別需要遵循反思性教學(xué)原則，以發(fā)揮促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用。

一、反思學(xué)習(xí)過程的過程與方法

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：反思是一種復(fù)雜的內(nèi)部認(rèn)知過程，它包括對自己認(rèn)知過程的認(rèn)知，即元認(rèn)知。涂榮豹指出：反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)顧名思義就是通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程的反思來進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也就是學(xué)習(xí)者要對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程以及活動過程中所涉及的有關(guān)材料、信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行反向思考。這是一種有效的學(xué)習(xí)方式。

在日常數(shù)學(xué)的概念定理、公式法則、解題練習(xí)、問題解決等學(xué)習(xí)活動中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行認(rèn)真回顧，總結(jié)歸納學(xué)習(xí)過程中所運(yùn)用的基本方法、解決問題的主要手段以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)觀念等。例如，在解題學(xué)習(xí)之初，教師可以提出下面的問題以喚起學(xué)生對以往解題經(jīng)驗(yàn)的深度思考和提煉概括。

問題1：解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，請回顧你多年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，對于數(shù)學(xué)解題你有哪些經(jīng)驗(yàn)，請你舉例說明并總結(jié)梳理出兩條和大家分享；

問題2：如果請你對于一般的數(shù)學(xué)解題過程進(jìn)行總結(jié)概括，你認(rèn)為解決數(shù)學(xué)問題一般需要幾個(gè)階段（步驟）？

再如，在解題學(xué)習(xí)之后教師還可以再提出下面的問題，以引導(dǎo)學(xué)生對在新的解題過程中所獲得的內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思和概括，并與原有基本解題活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行融會貫通。

問題3：請思考本節(jié)課的研究過程，你獲得了哪些研究平面幾何解析問題的有效經(jīng)驗(yàn)？請?zhí)釤挸鲆粌蓷l和大家分享。

問題4：請你說說對“波利亞解題表”的獨(dú)到理解，你將在今后的解題學(xué)習(xí)中如何自覺運(yùn)用這一解題表？請說說你的想法。

上述問題有利于學(xué)生梳理問題解決過程的有效經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)他們重構(gòu)自己的學(xué)習(xí)理解，激活個(gè)人的學(xué)習(xí)潛能，并在活動所涉及的各個(gè)方面相互作用的情況下，產(chǎn)生超越僅僅獲得一般知識與技能的范疇，使學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展。

二、反思學(xué)習(xí)過程的順境與障礙

學(xué)習(xí)過程不會是一帆風(fēng)順的。學(xué)生在某個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理、公式或法則等內(nèi)容（特別是一些核心概念）的學(xué)習(xí)過程中，有時(shí)會感覺挺順利，自信心倍增，而有時(shí)又會感覺老師怎么講都聽不明白，好似有條鴻溝難以逾越。在課堂這個(gè)集體學(xué)習(xí)過程中，教師要允許每個(gè)學(xué)生有不同的表現(xiàn)，通過營造安全和諧的學(xué)習(xí)氛圍，提高學(xué)生的歸屬感，使每個(gè)學(xué)習(xí)者都能以更加飽滿的狀態(tài)積極參與到學(xué)習(xí)研究中來，一起面對困難和挑戰(zhàn)。

（一）尋找形成學(xué)習(xí)障礙的內(nèi)因

在反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了有“歸納概括類型”的反思，還有“查漏補(bǔ)缺類型”的反思。例如：對于學(xué)習(xí)目的不同、學(xué)習(xí)能力有限、學(xué)習(xí)水平差異顯著且個(gè)性千差萬別的學(xué)生，他們在同一數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中會呈現(xiàn)出不同的狀態(tài)、不同的層次、產(chǎn)生不同的問題。那么如何指導(dǎo)他們探尋學(xué)習(xí)障礙形成的內(nèi)在而真實(shí)的原因呢？這就需要教師肯于慢下來，舍得花時(shí)間，善于利用新知學(xué)習(xí)中的挑戰(zhàn)與契機(jī)，通過問題驅(qū)動學(xué)生主動對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的困難進(jìn)行深度內(nèi)省，以幫助學(xué)生學(xué)會準(zhǔn)確找到自己在學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容時(shí)的具體障礙點(diǎn)。

問題5：請大家全面回顧新知識學(xué)習(xí)過程（如概念的抽象、定理的證 明、公式的探究、法則的提煉等過程），你認(rèn)為哪一部分理解得最透徹，哪一部分最難理解？為什么？

問題6：如果某個(gè)同學(xué)不能理解上述學(xué)習(xí)內(nèi)容，你想通過怎樣的講解或舉例來幫助他（她）邁過這個(gè)“難關(guān)”呢？請分享你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

上述問題鼓勵溝通與交流，支持通過團(tuán)隊(duì)合作來解決問題，不僅有利于“學(xué)困生”突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，克服自身的學(xué)習(xí)困難，更有利于優(yōu)秀學(xué)生變“為學(xué)而學(xué)”為“為教而學(xué)”，通過智慧分享過程使優(yōu)秀學(xué)生對知識形成更加深刻而準(zhǔn)確的理解，其有效的學(xué)習(xí)方法和有益的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也得以效益最優(yōu)化。

（二）克服學(xué)習(xí)過程出現(xiàn)的失誤

課堂學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生主體與課堂環(huán)境之間相互作用的過程，是各種學(xué)習(xí)資源不斷循環(huán)轉(zhuǎn)化的過程，更是一種信息輸入和輸出的復(fù)雜過程。數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生理性精神的重要途徑。這個(gè)過程常常伴隨著學(xué)生誤區(qū)的形成和錯誤的產(chǎn)生。但是，誤區(qū)和錯誤決不僅僅是一種循環(huán)和反饋，它代表了學(xué)生信息交換過程中自然呈現(xiàn)出來的多種表現(xiàn)，既是教師調(diào)整改進(jìn)教學(xué)的契機(jī)，更是一種寶貴的學(xué)習(xí)資源。

那么，如何才能“變廢為寶”呢？這就需要教師具有善于發(fā)現(xiàn)誤區(qū)、利用錯誤因勢利導(dǎo)的實(shí)踐智慧，善于引導(dǎo)學(xué)生探究錯誤中隱藏的問題，從問題中找準(zhǔn)出錯的內(nèi)因。通過有效利用學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的錯誤資源，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)積極思考，促進(jìn)學(xué)生批判性思維、審辨式思維的優(yōu)化和發(fā)展，讓錯誤成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維交互碰撞的載體，成為學(xué)生持續(xù)成長的動力之源。例如：在發(fā)現(xiàn)了學(xué)生問題回答、習(xí)題解答中的錯誤時(shí)，教師要學(xué)會延遲評價(jià)，提出下面的問題以引導(dǎo)學(xué)生重新思考和審視答案，鍛煉發(fā)現(xiàn)錯誤的“慧眼”。

問題7：請你把語速放慢一點(diǎn)兒，再把剛才的回答重新講一遍，也請其他同學(xué)認(rèn)真傾聽，看看他的回答中是否存在錯誤？如果有，錯誤是什么？如何修正？這個(gè)錯誤的本質(zhì)是什么？

問題8：請你把答案再重新審視（或檢查）一遍，看看能否發(fā)現(xiàn)其中的問題？并思考一下問題產(chǎn)生的原因是什么？今后，若遇到同類問題，解答過程中應(yīng)該如何避免呢？

上述問題不僅有利于“犯錯”的學(xué)生調(diào)整情緒，放松心態(tài)，通過自我糾正消除錯誤認(rèn)知，形成正確的邏輯體系，以提高自主檢視與核查的能力。同時(shí)，也有利于增強(qiáng)學(xué)生之間的思維互動，構(gòu)建“對話與思辨”的課堂文化，創(chuàng)建和諧生動的學(xué)習(xí)生態(tài)。

三、反思適合數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式

對于大多數(shù)人而言，學(xué)習(xí)可謂是我們“最熟悉的陌生人”。熟悉是因?yàn)槲覀兠總€(gè)人從出生一直與學(xué)習(xí)相伴，陌生則是因?yàn)槲覀兂３２坏靡I(lǐng)而在學(xué)習(xí)中迷茫甚至碰壁。因此，教師的職責(zé)之一就是要引導(dǎo)學(xué)生找到適合數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)在學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟精要，學(xué)會學(xué)習(xí)。同時(shí)，促進(jìn)他們不斷提升熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的志趣，始終秉持終身學(xué)習(xí)的態(tài)度。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，更需要學(xué)生熟練掌握并靈活運(yùn)用適切的學(xué)習(xí)方法（或方式），提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能感。

例如：在學(xué)完了“平面向量的線性運(yùn)算”之后，教師就要通過問題或任務(wù)，指導(dǎo)學(xué)生對向量運(yùn)算學(xué)習(xí)過程進(jìn)行整體回顧和深度反思，梳理適合這個(gè)內(nèi)容有效的學(xué)習(xí)方式。

問題9：類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算，請你采用表格（結(jié)構(gòu)圖或思維導(dǎo)圖）的形式，通過三種數(shù)學(xué)語言梳理平面向量的加、減和數(shù)乘三種運(yùn)算，比較三種運(yùn)算的運(yùn)算律，說明平面向量的線性運(yùn)算的特點(diǎn)，并選擇典型例題來說明這種特點(diǎn)在解決相關(guān)問題時(shí)所發(fā)揮的作用。

問題10：上述類比（對比）學(xué)習(xí)的方式有什么特點(diǎn)？在以往哪些知識的學(xué)習(xí)過程中還曾運(yùn)用？請舉例說明。

再如：在學(xué)習(xí)“平面向量的數(shù)量積”的運(yùn)算法則時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)下面的問題：

問題11 ：請你說出平面向量的數(shù)量積的物理背景，并利用一般化的數(shù)學(xué)語言概括表達(dá)平面向量的數(shù)量積的計(jì)算公式。

問題12：回顧平面向量的幾種運(yùn)算，請你說明向量的數(shù)量積與向量的線性運(yùn)算有什么差異？并利用幾何圖形解釋其幾何意義。

縱觀上述問題，可以看到：通過“歸納和類比”學(xué)習(xí)旨在幫助學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系，通過“一般化與特殊化”的協(xié)同學(xué)習(xí)，學(xué)生會對平面向量的運(yùn)算及其運(yùn)算律形成一定的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，促進(jìn)內(nèi)涵式和實(shí)質(zhì)性理解。上述支持啟發(fā)性聯(lián)想的問題不僅有利于學(xué)生深刻認(rèn)識平面向量及其運(yùn)算，幫助學(xué)生形成“正遷移”，并且通過問題10 和11 的回答，也有利于促進(jìn)學(xué)生深化對歸納與類比（或?qū)Ρ龋?、一般化與特殊化這種學(xué)習(xí)方式的認(rèn)識，這也恰是適合數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式。

正如荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Hans Freudenthal）指出的，“反思是數(shù)學(xué)活動的中心”。波利亞認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)最令人感到困惑也是最引人入勝的環(huán)節(jié)之一，就是如何發(fā)現(xiàn)定理和怎樣證明定理。數(shù)學(xué)學(xué)科具有數(shù)學(xué)抽象的特殊性、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)過程的探究性以及數(shù)學(xué)語言的簡潔性等特性，對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，也要從數(shù)學(xué)以外的有關(guān)知識和實(shí)踐中獲得啟發(fā)。 我認(rèn)為：作為數(shù)學(xué)教師，必須善于指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中牢固掌握和堅(jiān)持運(yùn)用反思性學(xué)習(xí)，通過有思維空間、有一定啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的優(yōu)質(zhì)問題，促進(jìn)學(xué)生有效開展反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，支持學(xué)生領(lǐng)悟和洞察數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)特征。