楊盛慶，王禹，王丹娜，林榮峰，杜耀珂，鐘超

1. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109 2. 上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109

航天任務(wù)日趨復(fù)雜，傳統(tǒng)的大衛(wèi)星雖然功能強(qiáng)大，但也面臨成本高昂的問(wèn)題。且衛(wèi)星受自身軌道運(yùn)動(dòng)和地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)造成的時(shí)空約束，單個(gè)衛(wèi)星難以實(shí)現(xiàn)全球性的實(shí)時(shí)測(cè)量或通信功能，小衛(wèi)星星座應(yīng)運(yùn)而生[1-4]。同時(shí)，隨著航天工業(yè)的發(fā)展，電推進(jìn)系統(tǒng)的性能逐漸完善，已應(yīng)用于多類航天器，提供高效穩(wěn)定的連續(xù)軌控動(dòng)力輸出。

星座的軌道控制任務(wù)包括入軌機(jī)動(dòng)、構(gòu)型保持和離軌機(jī)動(dòng)[5-8]。連續(xù)小推力條件下星座軌道機(jī)動(dòng)的核心問(wèn)題，是考慮軌道運(yùn)動(dòng)在連續(xù)小推力條件下的弧段效應(yīng)。傳統(tǒng)的軌跡優(yōu)化求解方法大致可以分為直接法和間接法兩大類，間接法是基于Pontryagin極值原理將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)Hamiltonian邊值問(wèn)題，直接法則將連續(xù)的最優(yōu)控制問(wèn)題離散并參數(shù)化，直接用數(shù)值方法對(duì)性能指標(biāo)尋優(yōu)[9]。連續(xù)小推力的軌跡優(yōu)化問(wèn)題最早出現(xiàn)在深空探測(cè)任務(wù)的軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中[10]，文獻(xiàn)[11]采用間接法構(gòu)造了兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，對(duì)地球靜止軌道衛(wèi)星小推力條件下的多圈轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。近地軌道空間環(huán)境更復(fù)雜，軌道周期性的弧段效應(yīng)明顯[12]。對(duì)于小衛(wèi)星一箭多星的入軌方式，使用傳統(tǒng)的軌跡優(yōu)化方法只會(huì)圖增算法復(fù)雜性。因此，將入軌的多星布局置入任務(wù)視為軌道面內(nèi)的相位調(diào)整問(wèn)題[13]，通過(guò)分析分時(shí)抬軌的軌道動(dòng)力學(xué)特性，給出多星入軌布局置入的機(jī)動(dòng)方案。在軌道抬升階段，軌控的弧段效應(yīng)會(huì)造成升交點(diǎn)赤經(jīng)的偏差，通過(guò)解析方法分析軌道傾角的偏置補(bǔ)償公式，目前尚無(wú)此類問(wèn)題的理論方法和研究成果。離軌機(jī)動(dòng)的任務(wù)是在降低軌道高度的同時(shí)，設(shè)置軌道偏心率，使近地點(diǎn)盡可能低，依靠大氣層的作用加速衛(wèi)星離軌。離軌機(jī)動(dòng)主要調(diào)整軌道的半長(zhǎng)軸和偏心率，連續(xù)推力下兩者的控制具有耦合效應(yīng)，為節(jié)省燃料可以進(jìn)行半長(zhǎng)軸和偏心率的聯(lián)合調(diào)整。上述各階段的軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)，均需對(duì)被控軌道參數(shù)在相應(yīng)控制弧段的曲線積分進(jìn)行定性分析，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)合理的控制弧段，提出控制策略的優(yōu)化問(wèn)題，并進(jìn)行數(shù)值求解。

綜上所述，本文通過(guò)星座軌道機(jī)動(dòng)的實(shí)例，闡述了使用基于曲線積分的解析方法進(jìn)行機(jī)動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。具體為針對(duì)連續(xù)小推力條件的軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)，提出了由分時(shí)序抬軌實(shí)現(xiàn)相位調(diào)整的多星入軌布局置入方法。為使離軌機(jī)動(dòng)盡可能節(jié)省燃料，設(shè)計(jì)了半長(zhǎng)軸和偏心率聯(lián)合調(diào)整的優(yōu)化方法。

1 星座軌道動(dòng)力學(xué)

1.1 標(biāo)稱軌道與軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)

基于載荷的覆蓋特性分析，采取均勻分布的星座構(gòu)型設(shè)計(jì)[14]，參照Oneweb星座的規(guī)模，星座共18個(gè)軌道面，每個(gè)軌道面40顆衛(wèi)星。軌面內(nèi)相鄰衛(wèi)星相位差9°，異軌面相鄰衛(wèi)星的相位差4.5°。該構(gòu)型設(shè)計(jì)主要針對(duì)星座南北極存在的交匯情況，能夠兼顧安全性和星座的幾何均勻分布要求。星座空間構(gòu)型如圖1所示，標(biāo)稱軌道參數(shù)如表1所示。

圖1 大型星座布局情況Fig.1 Configuration of huge constellation

表1 標(biāo)稱軌道參數(shù)

經(jīng)軌道仿真分析，星座在南北極交匯時(shí)任意兩星間的最小距離約20 km。自然攝動(dòng)下發(fā)生星座內(nèi)碰撞的風(fēng)險(xiǎn)較小，但仍要盡量避免在高緯度地區(qū)實(shí)施長(zhǎng)弧段的軌道機(jī)動(dòng)。

1.2 連續(xù)小推力下的軌道動(dòng)力學(xué)方程

(1)

式中：n為軌道角速度：f為真近點(diǎn)角；r=a(1-ecosE)；u為緯度幅角；p=a(1-e2)。

對(duì)于小偏心率軌道，連續(xù)推力的軌道運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化為[17]:

(2)

由式(2)可知，小偏心率軌道條件下控制半長(zhǎng)軸最高效的方式是采用航向的控制力，偏心率控制以真近點(diǎn)角為參數(shù)，具有明顯的弧段效應(yīng)；控制軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)最高效的方式是采用法向的控制力，兩者的控制具有以緯度幅角為參數(shù)的弧段效應(yīng)。

2 星座入軌布局置入

針對(duì)連續(xù)推力的軌道抬升控制的工作時(shí)長(zhǎng)、分時(shí)抬軌的相位調(diào)整策略、軌道傾角偏置補(bǔ)償升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移等研究?jī)?nèi)容開展理論設(shè)計(jì)。

2.1 一箭多星的布局置入

(3)

式(3)作為近地、近圓軌道上的連續(xù)小推力軌道控制動(dòng)力學(xué)的等效一階特性，其曲線積分能有效體現(xiàn)連續(xù)控制的弧段效應(yīng)。由式(3)可得：

(4)

相位漂移的距離向與半長(zhǎng)軸偏差的估計(jì)關(guān)系為：

Δl=-1.5ntΔa

(5)

相位角偏差與半長(zhǎng)軸偏差的估計(jì)關(guān)系為：

(6)

分時(shí)抬軌機(jī)動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)是在星座布局結(jié)構(gòu)均勻的條件下，任意相鄰衛(wèi)星之間的相位偏差一致，即任意相鄰兩星分時(shí)抬軌機(jī)動(dòng)的時(shí)延一致。因此，一箭多星的入軌布局機(jī)動(dòng)可以歸結(jié)為抬軌延時(shí)問(wèn)題,抬軌的控制過(guò)程如圖2所示。

圖2 多星相位布局置入及抬軌過(guò)程Fig.2 Configuration insertion of constellation and arising-orbit maneuver process

假設(shè)待求解時(shí)延為tx，相位偏置滿足：

(7)

(8)

式(7)可以改寫為:

(9)

圖3 分時(shí)序抬軌的絕對(duì)半長(zhǎng)軸和相對(duì)半長(zhǎng)軸變化情況Fig.3 Transformations of semi-major axis and relative semi-major axis in time-delay maneuver sequence

2.2 抬軌的軌道傾角偏置補(bǔ)償

軌道抬升的過(guò)程采用長(zhǎng)弧段連續(xù)小推力控制，盡可能采用真近點(diǎn)角的對(duì)稱弧段，保持偏心率基本不變。但是半長(zhǎng)軸的連續(xù)緩慢變化，會(huì)導(dǎo)致升交點(diǎn)赤經(jīng)累積改變?？紤]到星座安全性問(wèn)題，避免在高緯度地區(qū)實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)。而在低緯度弧段實(shí)施升交點(diǎn)赤經(jīng)的修正代價(jià)較大，因此考慮在入軌時(shí)對(duì)軌道傾角進(jìn)行偏置，預(yù)先補(bǔ)償升交點(diǎn)赤經(jīng)的變化，抬軌到位后在低緯度對(duì)稱弧段修正軌道傾角的偏差。以最可靠的方式和較小的代價(jià)，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)的捕獲控制。

參考文獻(xiàn)[19]和[20]討論了穩(wěn)態(tài)運(yùn)行條件下基于自然攝動(dòng)的構(gòu)型漂移與軌道傾角偏置。區(qū)別于上述文獻(xiàn)，本文介紹的方法針對(duì)連續(xù)小推力軌道機(jī)動(dòng)作用下的軌道傾角偏置。

升交點(diǎn)赤經(jīng)在主要攝動(dòng)項(xiàng)引力場(chǎng)J2項(xiàng)作用下的變化率可以表述為[16,21]：

(10)

軌道抬升到目標(biāo)軌道后的升交點(diǎn)赤經(jīng)滿足積分:

(11)

因此考慮入軌時(shí)，設(shè)置軌道傾角的偏置，使升交點(diǎn)赤經(jīng)變化率改變，進(jìn)而補(bǔ)償抬軌過(guò)程中的損失。軌道傾角偏置Δi情況下，升交點(diǎn)赤經(jīng)的變化率偏差滿足下式：

(12)

依據(jù)泰勒展開公式：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+o(x-x0)

(13)

由式(12)可得:

cos (i+Δi)≈cos (i)-sin (i)Δi+o(Δi)

(14)

軌道抬升過(guò)程中，由軌道傾角偏置產(chǎn)生的升交點(diǎn)赤經(jīng)偏差的解析解如式(15)所示，軌道傾角偏置的解析解需要滿足Δ2Ω≈ΔΩ。對(duì)于ΔΩ=0.048°的升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移，設(shè)置軌道傾角偏置Δi=-0.088°，可以使得升交點(diǎn)赤經(jīng)的末態(tài)與初始狀態(tài)保持一致，抬軌到位后只需在低緯度對(duì)稱弧段修正軌道傾角偏置量即可完成高精度的初始入軌。抬軌過(guò)程中，不同軌道傾角初值設(shè)置下的升交點(diǎn)赤經(jīng)變化情況如圖4所示。

圖4 抬軌過(guò)程中升交點(diǎn)赤經(jīng)的變化情況Fig.4 Transformation of RAAN during arising-orbit maneuver

(15)

3 快速離軌機(jī)動(dòng)

3.1 軌道參數(shù)聯(lián)合調(diào)整的動(dòng)力學(xué)描述

星座中衛(wèi)星數(shù)量較多，當(dāng)其中的衛(wèi)星出現(xiàn)故障退役時(shí)，需要進(jìn)行離軌機(jī)動(dòng)，并由備份星進(jìn)行補(bǔ)位。由于軌道高度較高，軌道的自然衰減速率較慢。為避免數(shù)量眾多的退役衛(wèi)星成為太空垃圾，需要設(shè)計(jì)快速離軌機(jī)動(dòng)方法。機(jī)動(dòng)目標(biāo)是使近地點(diǎn)盡可能的低，依據(jù)大氣阻力使軌道加速衰減，并最終墜入大氣層[22]。為了縮短機(jī)動(dòng)時(shí)間，需要進(jìn)行半長(zhǎng)軸和偏心率的聯(lián)合調(diào)整。

由式(2)可以發(fā)現(xiàn)，偏心率的調(diào)整沿航向控制效率為徑向控制效率的2倍，沿航向控制結(jié)合半長(zhǎng)軸的調(diào)整控制以減少耗肼量。因此，僅考慮沿航向的軌道機(jī)動(dòng)，式(2)可以簡(jiǎn)化為:

(16)

式中半長(zhǎng)軸的調(diào)整主要依靠軌道面內(nèi)沿航向控制，基本不受緯度幅角或真近點(diǎn)角的影響。由于降軌機(jī)動(dòng)主要實(shí)施反飛行方向的控制，為了同時(shí)增大偏心率，只能在遠(yuǎn)地點(diǎn)附近弧段進(jìn)行控制，且偏心率的控制效率較高。因此，快速離軌機(jī)動(dòng)策略如下：

1)考慮到半長(zhǎng)軸衰減使用反飛行方向的控制力，因此設(shè)計(jì)在遠(yuǎn)地點(diǎn)的對(duì)稱弧段進(jìn)行半長(zhǎng)軸和偏心率的聯(lián)合調(diào)整；

2)當(dāng)偏心率調(diào)整到位后，遠(yuǎn)地點(diǎn)偏置±90°相位的相應(yīng)弧段施加反飛行方向的控制力，控制半長(zhǎng)軸衰減到目標(biāo)值。此階段內(nèi)，根據(jù)偏心率的控制效果，可以分為保持偏心率(對(duì)稱弧段，如圖5所示)和增大偏心率兩類(非對(duì)稱弧段，如圖6所示)。

圖5 組合1的兩階段半長(zhǎng)軸和偏心率的聯(lián)合調(diào)整Fig.5 Two-phase united-control for combination of semi-major axis and eccentricity in group 1

圖6 本文兩階段的半長(zhǎng)軸和偏心率的聯(lián)合調(diào)整Fig.6 Two-phase united-control for combination of semi-major axis and eccentricity in optimization structure

3.2 軌道參數(shù)聯(lián)合調(diào)整的優(yōu)化問(wèn)題及其數(shù)值解

軌道半長(zhǎng)軸和偏心率的聯(lián)合調(diào)整最優(yōu)化問(wèn)題形式可描述為:

圖7和表2是不同組合的聯(lián)合調(diào)整策略效果比對(duì)。組合1在遠(yuǎn)地點(diǎn)對(duì)稱弧段施加控制，降低半長(zhǎng)軸的同時(shí)，高效調(diào)整偏心率到位，然后調(diào)整半長(zhǎng)軸并保持偏心率，該組策略能耗較大，作為比對(duì)項(xiàng)。后兩組策略為本文構(gòu)造的最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)值解，分別對(duì)應(yīng)能量最優(yōu)和時(shí)間最優(yōu)。

圖7 半長(zhǎng)軸和偏心率的聯(lián)合調(diào)整效果Fig.7 United-control for semi-major axis and eccentricity

表2 不同組合的聯(lián)合調(diào)整策略

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于連續(xù)小推力軌道機(jī)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)軌道機(jī)動(dòng)方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究難點(diǎn)在于地球衛(wèi)星明顯的軌道周期特性和連續(xù)推力控制的弧段效應(yīng)。核心思想是對(duì)連續(xù)小推力條件下軌道動(dòng)力學(xué)這一可積系統(tǒng)進(jìn)行曲線積分。使用軌道控制弧段對(duì)應(yīng)的曲線積分作用，對(duì)軌道參數(shù)的連續(xù)變化進(jìn)行刻畫，并基于曲線積分的結(jié)果，給出入軌傾角偏置的解析解和離軌組合控制優(yōu)化問(wèn)題的格式。

本文方法解決了如下問(wèn)題：1)連續(xù)小推力條件下，通過(guò)分時(shí)序抬軌控制，實(shí)現(xiàn)多星入軌的構(gòu)型布局置入；2)通過(guò)軌道傾角的偏置實(shí)現(xiàn)升交點(diǎn)赤經(jīng)的目標(biāo)末態(tài)控制；3)退役衛(wèi)星的離軌機(jī)動(dòng)，考慮到連續(xù)推力條件下偏心率的控制效果在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)具有明顯的弧段效應(yīng)，對(duì)半長(zhǎng)軸和偏心率進(jìn)行聯(lián)合調(diào)整。在保證衛(wèi)星快速離軌的同時(shí)，有效減少燃料的消耗。

低軌道考慮地影，地影中電推進(jìn)系統(tǒng)是否輸出推力由整星電源規(guī)劃?？刂葡到y(tǒng)可根據(jù)星座中不同軌道面，分析其在特定歷元下與太陽(yáng)的照射關(guān)系，進(jìn)而提煉出該軌道面內(nèi)每個(gè)軌道周期的推進(jìn)空閑時(shí)間。在入軌抬升軌道階段，可以使用占空比概念進(jìn)行規(guī)劃。對(duì)于離軌聯(lián)合調(diào)整的最優(yōu)化問(wèn)題，則體現(xiàn)為待優(yōu)化變量的取值范圍。上述兩種情況，均意味著受地影的影響，軌道控制的耗時(shí)增長(zhǎng)，本文介紹的方法框架仍可適用。