彭笑雨，林成新，*，姚旗，楊東升，田昀

1. 大連海事大學 船舶與海洋工程學院，大連 116026 2. 北京衛(wèi)星制造廠有限公司，北京 100094

隨著航天技術的發(fā)展，對空間結構的需求也朝著大型化、復雜化的方向發(fā)展。各種航天項目的機構規(guī)模越來越大，以滿足不同需求的太空任務[1]。為了在復雜的空間環(huán)境中完成特定任務，人們設計了許多大型空間結構[2-4]。由于發(fā)射空間有限，因此航天器上廣泛應用可展開機構[5]。由于其良好的應用前景，可展開機構已成為航空航天領域的研究熱點之一[6-7]。20世紀80年代，蘭利研究中心提出一種四面體單元的空間概念組裝，隨后Slysh等提出了一種在軌組裝的方法[8]。隨著機械臂和3D打印的發(fā)展，目前已經(jīng)能利用3D打印技術制造微小桁架[9]，人們希望通過機械臂來實現(xiàn)在軌組裝[10]，或者利用一種爬蟲機器人和3D打印技術結合來實現(xiàn)桁架的組裝。在工程應用方面，有美國AEC-Able公司開發(fā)的FAST和ADAM、TRW公司的太陽花展開天線[11]，以及浙江大學關富玲的扭簧驅動四面體天線[12]、燕山大學設計的構架式天線[13]、中國空間技術研究院的環(huán)形桁架式天線[14]、西安空間無線電技術研究院的大型網(wǎng)狀天線[15]、上海交通大學陳務軍的扭簧驅動空間展開桁架結構等[16]，而直接利用空間結構單元來進行組合較為少見。

因此，本文設計了一種五面體可展桁架單元并以此作為桁架基本結構，通過在軌裝配的方式組裝成空間桁架結構，用以搭建大型空間天線結構、太空站等復雜的結構等。

空間桁架廣泛應用于支撐結構，目前主要基于桁架桿和桁架接頭來進行組裝。這種組裝方式雖然靈活度高，但是對于固定的成型面來說，這種方式使得組裝復雜。以五面體可展桁架單元作為桁架可展結構的基本單元，具有多方面的優(yōu)點。相對于桁架桿和桁架接頭的組裝方式而言，以五面體可展桁架單元多為基礎，能減少組裝的復雜程度。并且該單元在存儲運輸時，處于收攏狀態(tài)，能夠節(jié)省存儲空間，并且方便大批量運輸；到達目標位置后，通過一定條件使其展開成設計的形狀并保持穩(wěn)定。使用時，以展開后的五面體可展桁架單元為基礎，可以進行大型空間桁架的拼接與組裝。

1 結構及自由度分析

1.1結構分析

所設計的五面體可展桁架單元展開過程中的結構如圖1(a)所示，其完全展開后如圖1(b)所示。該五面體可展桁架單元的連接均為鉸鏈連接。

圖1 五面體可展桁架單元的展開形態(tài)Fig.1 The expanded form of pentahedral deployable truss unit

五面體可展桁架單元完全展開后，該桁架單元必須能保持穩(wěn)定，這樣，以該五面體可展桁架單元組成的大型桁架才能保持穩(wěn)定。參考Maxwell幾何體系穩(wěn)定性必要判據(jù)[17]，對該五面體可展桁架單元進行分析：

e≥αν-β

(1)

式中：e為邊數(shù)；v為頂點數(shù)；α為維數(shù)；β為自由度數(shù)。對于空間機構，α=3，β=6。

五面體可展桁架單元展開后，e為9，v為5，等式左右均為9，滿足公式(1)條件，公式成立。因此，以該五面體可展桁架單元結構作為基本桁架單元能保證基本單元結構的穩(wěn)定，是實現(xiàn)整體結構穩(wěn)定的前提。

以五面體可展桁架單元作為基本單元，可以組合成多種類型的桁架結構，如圖2所示。

圖2 五面體可展桁架單元組成空間結構Fig.2 Spatial structures composed by pentahedral deployable truss units

在基本單元進行連接時，如圖3所示，通過在該基本單元上設置預留的連接桿，利用接頭將兩個五面體可展桁架單元進行連接。連接的接頭可以使用卡扣式的快速接頭，或者利用記憶合金接頭。在連接時，只需將五面體可展桁架單元上預留的連接桿插入連接的接頭，即可實現(xiàn)連接。對于不同的成型面，可通過改變接頭與兩個五面體可展桁架單元之間角度來實現(xiàn)。

圖3 連接桿Fig.3 Connecting rod

1.2 自由度分析

如圖4所示，以五面體可展桁架單元的錐點o為原點建立空間直角坐標系。圖4中所有連接均為鉸鏈連接，點1～23處的轉動軸在坐標系中的矢量分別為S1～S23，其中轉動軸方向矢量S1、S2、S17、S16垂直于平面xoz，轉動軸方向矢量S7、S6、S12、S11、S21、S22、S23垂直于平面yoz，S3、S4、S5、S20、S19、S18、S15、S14、S13、S10、S9、S8垂直于平面xoy。

圖4 五面體可展桁架單元的坐標系Fig.4 The coordinate system of pentahedral deployable truss unit

則各處轉動副的旋量分別為：

(2)

式中：x1～x5、x8～x10、x13～x20為點1～5、8～10、13～20的x方向坐標，y3～y15、y18～y23為點3～15、18～23的y方向坐標，z2、z6、z11、z16、z21～z23為點2、6、11、16、21～23的z方向坐標，且z2=z6=z11=z16，z21=z23。

對五面體可展桁架單元參考機構的獨立閉環(huán)公式為：

L=p-n+1=5

(3)

式中：L為獨立閉環(huán)數(shù)；p為機構的鉸鏈數(shù)；n為機構的構件數(shù)。

由于該五面體結構擁有5個獨立閉環(huán)，因此，整個五面體可展桁架單元的閉環(huán)旋量約束方程為：

(4)

式中：ωi，i=1,2,…，23，為鉸鏈的旋量坐標；0為6維列向量。

將式(4)寫成矩陣形式:

MN=0

(5)

將式(2)中各轉動副旋量值帶入矩陣M，則矩陣M的秩為：

R(M)=22

(6)

由式(6)可知，矩陣M的秩為22，而矩陣M的列數(shù)為23，矩陣零空間的維數(shù)為列數(shù)減去矩陣的秩，因此可以得到該五面體可展桁架單元的自由度數(shù)為1。

2 可展五面體桁架單元的 運動學分析

2.1位置分析

以五面體桁架單元的錐點o點為頂點在結構中建立空間直角坐標系如圖5所示。以D點、

I點為例對五面體可展桁架單元進行運動學分析。五面體桁架單元展開時，在D點施加驅動，CD、DE桿繞著D點進行轉動。其中，D點的運動可以視為繞著E點的旋轉。I點的運動可視為繞著H點的旋轉。

圖5 五面體可展桁架單元Fig.5 Pentahedral developable truss unit

為了表達各桿件之間的相對位置和姿態(tài)，通常采用D-H方法[18]，其坐標變換所需要的參數(shù)分別是繞x軸轉動的角度，沿x軸移動的距離，繞z軸轉動的角度，沿z軸移動的距離。則o點到E點的坐標變換矩陣TE為：

將坐標軸從o點變換到E點后，桿DE在以E點為原點的變換后的坐標系中的位置如圖6所示。

通過坐標變換得到D點相對于E點的變換矩陣TD為：

式中：l2為桿CD、DE的長度;∠EDC為2θ1。

圖6 以E點為原點的坐標系中的桿DE的位置Fig.6 Location of rod DE in coordinate system with point E as origin

則在以o為原點的坐標系中D(xD,yD,zD)點的坐標為：

(7)

式中：MD為D點在以o點為原點的坐標系下的坐標矩陣。

由式(7)可得出D點的幅值位置方程sD為：

(8)

根據(jù)機構各構件所構成的封閉矢量多邊形OABLCDEKFG，可得出:

(9)

將式(9)分別向x、y、z三個軸投影，最終可以得到D點位置約束方程：

(10)

又因為在D點的驅動已知，結合D點位置方程(7)、D點幅值位置方程(8)和D點位置約束方程(10)，可以描繪出D點的位置幅值變化關系。

同理，I(xI,yI,zI)點的坐標矩陣MI為：

(11)

式中：l3為桿HI、IJ的長度;b4為H點到F點的距離;∠HIJ為2θ2。

根據(jù)式(11)可得出I點的幅值位置方程sI為：

(12)

根據(jù)機構各構件所構成的封閉矢量多邊形OGFHIJNP，可得出：

(13)

將式(13)分別向x、y、z三個軸投影，最終可以得到I點的位置約束方程為：

b1+l1sinβ=l3sinθ2

(14)

在驅動已知的條件下，結合方程I點的位置方程(11)、I點的幅值方程(12)和I點的位置約束方程(14)，可以得出I點的位置幅值變化關系。

2.2 速度分析

對D點進行速度分析，將D點位置方程(7)中的坐標對時間求導，可以得到D點的速度方程為：

(15)

其中：

將D點的位置約束方程(10)對時間求導，可得D點的速度約束方程為：

(16)

根據(jù)式(15)可得D點的速度幅值方程vD為：

(17)

結合D點的速度方程(15)、D點的速度約束方程(16)、D點的速度幅值方程(17)，可求出D點的速度幅值變化關系。

同理，將式(11)中的坐標對時間求導，可得I點的速度方程為：

(18)

將式(14)對時間求導，得到I點的速度約束方程為：

l1cosβ·ωβ=l3cosθ2·ωθ2

(19)

根據(jù)式(18)可得到I點的速度幅值方程vI為：

(20)

結合I點的速度方程(18)、I點的速度約束方程(19)、I點的速度幅值方程(20)，可求出I點的速度幅值變化關系。

2.3 加速度分析

將D點的速度方程(15)對時間求導，可得D點的加速度方程為：

(21)

其中：

將D點的速度約束方程(16)對時間求導，可得D點的加速度約束方程為：

(22)

根據(jù)式(21)可得到D點的加速度幅值方程aD為：

(23)

結合D點加速度方程(21)、D點加速度約束方程(22)和D點加速度幅值方程(23)，可求出D點的加速度幅值變化關系。

同理，將式(18)對時間求導，可得I點的加速度方程為：

(24)

其中：

將式(19)對時間求導可得I點的加速度約束方程為：

(25)

根據(jù)式(24),可得I點的加速度幅值方程aI為：

(26)

結合I點的加速度方程(24)、I點的加速度約束方程(25)和I點的加速度幅值方程(26)，可求出I點的加速度幅值變化關系。

3 扭簧驅動可展五面體桁架單元 動力學分析

3.1系統(tǒng)動能的求解

根據(jù)之前對五面體可展桁架單元做的自由度和運動學分析可知，五面體可展單元的運動位置、速度、加速度以及角度β、θ2都與角度θ1有關，因此取廣義坐標為θ1。只要確定了θ1、ωθ1、αθ1，就能確定機構整體的運動情況。五面體可展桁架單元系統(tǒng)的總動能為14根連桿Ti與4個連接塊的動能Tj之和。關于連接塊的動能求解，可直接將連接塊的質量等效于連接節(jié)點上。而連桿的運動為空間運動，求解會相對復雜。如圖7所示在五面體可展桁架單元中以o為原點建立全局坐標系，在R、V、D、Q處添加扭簧約束，以ED桿為例求解連桿的動能。在E點建立局部坐標系E-xEyEzE如圖7所示。

圖7 整體坐標系中建立局部坐標系Fig.7 Establishing local coordinate system in the whole coordinate system

則連桿ED上任意位置的一點S在全局坐標系o-xyz可以用公式表示為：

rs=RE+AEuS

(27)

式中：rs為S點在全局坐標系中的坐標;RE為E點在全局坐標系中的坐標矩陣;AE為E點的局部坐標系相對于全局坐標系的旋轉矩陣;us為S點在局部坐標系E-xEyEzE的空間坐標。

us在局部坐標系E-xEyEzE的空間坐標可以通過uE和uD來表示：

(28)

式中：uE、uD為E點、D點在局部坐標系E-xEyEzE的空間坐標;c為S點到E點的距離;l2為桿ED的長度。

將式(27)對時間求一階導，并將式(28)帶入可得到S點速度方程為：

(29)

式中：JS為雅克比矩陣。

由于在五面體可展桁架單元中所采用的局部坐標系相對于全局坐標系的旋轉矩陣均與廣義坐標無關，因此可得：

(30)

將式(29)對時間求導，并將式(30)帶入，可得到S點加速度方程為：

(31)

則連桿ED的動能TED表達式為：

(32)

式中：ρ為連桿ED的線密度;m2為連桿ED的質量。

運動學分析時已經(jīng)給出了角度β與θ1之間的關系，旋轉矩陣和各個點在全局坐標系中的坐標都可用前面運動學的分析方法求出，因此由以上條件可以求出連桿ED的動能。同理，可以求出其他連桿的動能。

連接塊L與連桿AB連接，因此可直接將連接塊L的質量等效于連接節(jié)點B點上。所以，連接塊L以A點為原點建立局部坐標，連接塊L的動能為：

(33)

式中：m4為連接塊L的質量；AA為A點的旋轉矩陣；RA為A點的全局坐標；uB為B點在以A為原點的局部坐標系下的空間坐標。

結合以上條件，可以求出連接塊L的動能。同理，其他連接塊的動能可依次求出。結合式(32)(33)，求出所有連桿動能和連接塊動能后，五面體可展桁架單元系統(tǒng)的總動能T為：

(34)

式中：

這里，桿長為l1的桿質量為m1、桿長為l2的桿質量為m2，桿長為l3的桿質量為m3，連接塊質量為m4，β、θ2與θ1之間的關系可通過式(10)(14)得出。

3.2 系統(tǒng)勢能的求解

D點的扭簧的布置示意如圖8所示，其中∠EDC為2θ1。

圖8 驅動扭簧布置示意Fig.8 Layout of driving torsion spring

由于五面體可展桁架單元主要考慮無重力環(huán)境的應用，因此該單元的系統(tǒng)勢能只來自扭簧提供的彈性勢能。整個五面體可展桁架單元中，扭簧被布置在D、Q、R、V四個點處。扭簧的初始扭矩為M，剛度系數(shù)為k。則扭簧在展開過程中的彈性勢能為：

(35)

3.3 動力學方程建立

采用拉格朗日函數(shù)，取廣義坐標為θ1，結合式(34)(35)，對于單個五面體可展桁架單元而言，摩擦力產(chǎn)生的影響很小，可以忽略，所以系統(tǒng)受到的廣義力為0。因此建立動力學微分方程為：

(36)

將式(34)(35)帶入方程(36)，化簡可得扭簧驅動五面體可展桁架單元的動力學方程為：

(37)

4 仿真驗證

4.1運動學仿真驗證

將五面體可展機構模型導入Adams仿真軟件中。在該模型中，設定OA、OG的長度b1為20 mm，AB、GF的長度l1為515.1 mm，CD、DE長度l2為270 mm，F(xiàn)點到K點的x方向距離b2為40 mm，z方向距離b3為5 mm，H點到F點的距離b4為10 mm，K點到E點的距離b5為30 mm，HI、IJ的長度l3為384.3 mm。在D點處施加一個勻速轉動的驅動M，其角速度為30(°)/s。初始時，五面體可展機構的角度∠EDC=30°。設置仿真時間為5 s，步長為500。仿真后，分別從Adams中導出D點、I點的位置、速度和加速度的幅值曲線，將得出的仿真結果與理論推導計算的結果進行對比，其對比結果如圖9所示。

圖9 理論計算與Adams仿真對比曲線Fig.9 Comparison between theoretical calculation and Adams simulation

從Adams的仿真結果可以看出，D點和I點在位移曲線和速度曲線中，理論分析結果與仿真結果幾乎完全吻合，而在加速度仿真中，由于仿真軟件分析時將模型視為純剛性物體，現(xiàn)實中純剛性的物體是不存在的，因此模擬中出現(xiàn)震動和沖擊，導致個別值與理論計算的結果差異較大。但總體上，理論推導的運動學方程與仿真結果基本擬合。因此，該理論分析可以很好地描述空間五面體單元的運動學展開過程。

4.2 不同扭簧剛度下動力學仿真分析

圖10 不同剛度下D點加速度曲線Fig.10 Acceleration curve of point D under different stiffness

由圖10可知，扭簧剛度系數(shù)的增大，對五面體可展桁架單元展開的運動參數(shù)的變化趨勢沒有明顯影響。當扭簧剛度從1增加到2時，時間減少了約0.27 s，展開造成的沖擊增大1倍。結合圖10和式(30)可以看出，節(jié)點的加速度不僅與扭簧的驅動力有關，還和節(jié)點位置和速度有關。在展開后期，節(jié)點位置和節(jié)點速度對節(jié)點加速度的影響比較明顯。

5 結束語

通過對五面體可展桁架單元進行了分析，得出了以下結論：

1)設計了一種可展的五面體可展桁架單元，并通過Maxwell幾何體系穩(wěn)定性必要判據(jù)得出以該模型作為基本桁架單元能保證基本單元結構的穩(wěn)定，是實現(xiàn)整體結構穩(wěn)定的前提。

2)基于螺旋理論對機構進行了分析，并利用旋量約束來分析機構的自由度，得出結構的自由度為1。

3)該五面體可展桁架單元的展開過程進行了建模和運動學分析，并推導了展開過程的運動學方程，其與Adams仿真軟件的仿真結果高度吻合。表明推導的該運動學方程能準確描述模型的展開過程。

4)對扭簧驅動五面體可展桁架單元進行了動力學分析。分析結果表明，當扭簧剛度系數(shù)從1增加到2時，展開所用時間縮短約0.27s，并且沖擊增大一倍。節(jié)點的加速度不僅受扭簧的驅動力影響，還和節(jié)點位置和速度有關。在展開后期，節(jié)點位置和節(jié)點速度對節(jié)點加速度的影響比較明顯。

空間的大型桁架的搭建，下一步的重點是實現(xiàn)五面體可展桁架單元的在軌組裝，設計一種合適、方便、快捷的在軌組裝機構是未來的一個研究方向。