陸林，李海陽，劉將輝，楊路易

國防科技大學 空天科學學院，長沙 410073

月球是人類探測太空奧秘的首選目標，也是人類為擴大生存空間進入深空最合適的中轉站，所以人類也在不斷努力探索各種方式登陸月球[1-2]。隨著嫦娥四號任務的圓滿成功，越來越多的人憧憬中國載人登月夢想能夠盡早實現(xiàn)。早期美國Apollo任務的著陸區(qū)主要集中在赤道附近，但由于月球上水冰的發(fā)現(xiàn)[3-4]，人類對月球極地區(qū)域和其他高緯著陸區(qū)域的關注度不斷增加，將其作為下一步月球探測的熱點區(qū)域[5-6]。而載人月球極地探測軌道的優(yōu)化設計對載人月球極地探測任務的成敗具有重要作用。

目前關于載人登月地月轉移段的軌道設計已經(jīng)比較成熟[7-10]，而針對月地返回軌道的研究相對較少。Wooster[11]針對任意時刻返回，提出了三種月地軌道射入的變軌方案，比較了不同方案消耗的速度增量與異面差的關系，但沒有對這些方案進行優(yōu)化設計。Ocampo等[12]在二體軌道模型下，對月地返回問題展開了研究，但沒有對高精度解進行求解。Jones等[13]利用非線性規(guī)劃算法優(yōu)化求解了不同機動方案的月球逃逸軌道，并做了對比，但只是對月球影響球內(nèi)部的軌道進行了研究。Gavrikova等[14]結合三體問題模型，運用Lambert算法求解了航天器在環(huán)月飛行階段的返回問題，但脈沖消耗較大，優(yōu)化效果不明顯。陳海朋等[15]給出了極地區(qū)、非極地區(qū)月面返回最小軌道面調(diào)整角度計算方法及整個任務期間任意時刻返回上升軌道與目標軌道最大平面夾角最小化的條件。汪中生等[16]基于單脈沖變軌的月地返回軌道方案，進一步設計了兩次變軌方案的優(yōu)化算法流程，并對不同方案進行了討論，但只適合月球探測器采樣返回任務。Feng等[17]提出了一種月球南極探測返回窗口的三級搜索算法，并采用改進的多圓錐截線法求解了初始軌道，但沒有約束轉移時間并且搜索效率不高。

對于從月球返回的載人飛船而言，能夠返回預定的著陸區(qū)，對載人飛船的回收和營救航天員至關重要。因此，定點返回軌道的設計是載人月球極地探測任務中必須解決的關鍵問題，但目前對定點返回軌道的研究不多。Shen等[18]采用MultiStart算法對單脈沖定點返回軌道進行了優(yōu)化求解，但搜索近乎遍歷，效率不高。賀波勇等[19]對著陸窗口與定點返回軌道進行了耦合設計，但循環(huán)遍歷求解的效率不高。

由此可以看出，現(xiàn)有研究主要存在三方面需要提高的地方：1)很多學者假定瞄準地球終端狀態(tài)的雙曲剩余速度矢量已知，僅僅優(yōu)化求解了月心段返回軌道；2)大部分月地返回軌道的研究僅考慮了再入走廊約束，無法保證載人飛船返回預定著陸場；3)現(xiàn)有的定點返回軌道研究均是針對傳統(tǒng)切向單脈沖的情況開展的，并不適合月球極地探測返回任務。因此，本文針對以上不足，對完整的載人月球極地探測多脈沖定點返回軌道進行了優(yōu)化設計。首先，從月球極地軌道的特性出發(fā)，介紹了三種返回軌道機動方案。然后，采用串行求解策略對三脈沖變軌定點返回軌道進行了優(yōu)化設計。在基于近月點偽參數(shù)的三段二體拼接模型下，計算軌道初值；精確計算時，采用逆向和正向高精度數(shù)值積分方法進行兩段軌道拼接。通過仿真測試，驗證了該策略的有效性和精確性。最后，利用該方法進行大量仿真計算，分析了軌道的速度增量特性。研究結論對未來載人月球極地探測定點返回軌道方案的設計具有重要的借鑒作用。

1 極地探測返回軌道機動方案

當環(huán)月軌道為月球極地軌道(lunar polar orbit, LPO)時，其特性與一般的環(huán)月軌道不同，從月球極地軌道出發(fā)返回地球對返回能力的要求較高。當極地軌道面與月地連線方向垂直時，無法有效借助月球公轉速度進行返回，即難以采用單脈沖返回軌道方案。因此，月球極地軌道的特性不能保證低沖量、單脈沖返回解的存在性，需要進行異面變軌。針對這種情況，從理論層面介紹以下三種月球極地軌道出發(fā)返回地球的軌道機動方案。

1.1 兩脈沖返回軌道機動方案

兩脈沖返回軌道機動方案的過程為：首先，在月球極地軌道施加第一次脈沖，離開月球，然后在到達月球影響球處時施加第二次脈沖，進行軌道面的調(diào)整，進入月球逃逸軌道返回地球。兩脈沖返回軌道機動方案示意如圖1所示。

由于用于調(diào)整軌道面的第二次脈沖在月球影響球邊界處施加，因此能夠實現(xiàn)以較小的脈沖調(diào)整至月球逃逸軌道。

1.2 三脈沖返回軌道機動方案

三脈沖返回軌道機動方案的過程為：首先，在月球極地軌道施加第一次脈沖進入大橢圓過渡軌道，施加第一次脈沖處同時也是大橢圓過渡軌道的近月點；然后，在大橢圓過渡軌道的遠月點施加第二次脈沖，進行軌道面的調(diào)整；最后，在大橢圓過渡軌道的近月點施加第三次脈沖進入月球逃逸軌道返回地球。三脈沖返回軌道機動方案示意如圖2所示。

圖2 三脈沖返回軌道機動方案示意Fig.2 Return orbit scheme of three-impulse maneuver

由于在大橢圓軌道的遠月點進行軌道面調(diào)整，因此異面變軌需要的脈沖較小。

1.3 四脈沖返回軌道機動方案

在三脈沖返回軌道機動方案的基礎上，提出一種四脈沖返回軌道機動方案，即在施加第2次脈沖調(diào)整軌道面時，不用完全調(diào)整到位，而是在載人飛船到達月球影響球邊界時再施加第4次脈沖，將軌道面完全調(diào)整好，從而進入月球逃逸軌道返回地球。四脈沖返回軌道機動方案示意如圖3所示。

圖3 四脈沖返回軌道機動方案示意Fig.3 Return orbit scheme of four-impulse maneuver

四脈沖返回軌道機動方案通過施加第2次和第4次脈沖，可以實現(xiàn)較低能量代價的異面變軌。

2 返回軌道設計方法

第1節(jié)提出的三種返回軌道機動方案中，與三脈沖返回軌道機動方案相比，四脈沖返回軌道機動方案在大部分情況下并不會節(jié)省燃料，工程上實現(xiàn)較為復雜；兩脈沖返回軌道機動方案屬于極限情況，在這里不展開深入分析。從工程應用層面考慮，下文主要針對三脈沖返回軌道機動方案，利用數(shù)值方法對載人月球極地探測定點返回軌道進行設計與分析。

2.1 約束條件

與無人探月任務相比，載人月球探測任務在軌道設計方面的要求更為嚴格，所以載人月球極地探測定點返回軌道的設計應該同時滿足許多復雜的約束條件，包括工程和軌道兩方面的約束。工程方面的約束主要是飛行時間約束，載人月球極地探測任務為確保航天員的生命安全，通常限制月地返回時間T不能太長，所以軌道設計需要滿足：

T≤Tmax

(1)

式中：Tmax為月地返回所能允許的最長飛行時間。

軌道方面的約束主要包括極地軌道約束和終端軌道約束，載人月球極地探測定點返回軌道設計需滿足：

(2)

式中：hLPO、ΩLPO、iLPO分別為初始月球極地軌道的軌道高度、升交點赤經(jīng)和軌道傾角；hvcp為真空近地點高度，可以等效為再入角和再入點地心距[20]；ise為返回軌道傾角；λs、φs分別為再入點的經(jīng)度和緯度。

2.2 返回軌道初步設計

返回軌道初步設計階段，提出一種基于近月點偽參數(shù)的三段二體拼接模型，模型示意如圖4所示，以月球逃逸軌道的近月點時刻tprl和出月球影響球時刻tout將定點返回軌道分為三段二體軌道拼接計算。三段二體軌道分別指：月球極地軌道經(jīng)過三脈沖機動至月球逃逸軌道近月點、月球逃逸軌道近月點至月球影響球出口點和月球影響球出口點至大氣層再入點。選取近月點偽經(jīng)度λprl、近月點偽緯度φprl、近月點速度傾角iprl和近月點軌道偏心率eprl作為設計變量[21]，當給定近月點時刻tprl和近月點高度hprl時，可由近月點偽參數(shù)(λprl,φprl,iprl,eprl)確定一條三脈沖定點返回軌道。其中，第一段軌道采用逆向求解方法，第二、三段軌道采用正向二體拼接方法，分別進行計算。

2.2.1 逆向求解方法

令第二次變軌后的LIO2軌道周期與三脈沖機動總時長T1的比例為α，則LIO2軌道半長軸為:

(3)

式中：μm為月球引力常數(shù)。LIO2軌道偏心率為:

(4)

式中：rc為近月距。則第三次脈沖矢量為:

(5)

式中：h2為LIO2軌道面的法向單位矢量。

LIO2和LPO存在兩條交線，選取距LIO2遠月點較近的交線，將LIO2在交線處的B點作為第二次脈沖施加的位置，B點同時也是第二次變軌前的LIO1的遠月點，因此可以得到LIO2上B點的軌道根數(shù)，進而得到位置矢量rL2和速度矢量vL2。第二次變軌的脈沖包括用于改變異面差的脈沖Δv21和用于面內(nèi)變軌的脈沖Δv22，在第二次變軌前后的水平航跡角為：

(6)

圖4 三段二體拼接模型示意Fig.4 Three-segment two-body patched model

式中：fL2為LIO2上B點的真近點角。改變的異面差為：

(7)

式中：ΩL2和iL2分別為LIO2的升交點赤經(jīng)和軌道傾角;uL2為LIO2上B點的緯度幅角。

在LIO2月心LVLH坐標系中，用于改變異面差的脈沖矢量和用于面內(nèi)變軌的脈沖矢量分別為：

(8)

Δv22=

(9)

式中：rA為LPO的軌道半徑;vL2為LIO2上B點的速度。因此，第二次脈沖矢量為：

Δv2=Δv21+Δv22

(10)

由rL2、vL2和Δv2可以得到LIO1上B點的位置和速度矢量，進而得到軌道根數(shù)，則第一次脈沖矢量為：

(11)

式中：h1為LIO1軌道面的法向單位矢量。

2.2.2 正向二體拼接方法

第二段軌道的半長軸為：

(12)

式中：rm為月球半徑。第二段軌道的近月點速度為：

(13)

當給定iprl時，近月點在月心LVLH坐標系中的位置和速度矢量分別為：

rprl=(hprl+rm,0,0)T

(14)

vprl=(0,vprlcosiprl,vprlsiniprl)T

(15)

當給定λprl、φprl時，近月點在月心LVLH坐標系下的位置和速度矢量分別為：

(16)

(17)

式中：M2和M3分別為繞Y軸和Z軸旋轉的轉換矩陣。

進而可以得到近月點在月心J2000坐標系下的位置和速度矢量分別為：

(18)

(19)

式中：Ωm、im、um分別為tprl時刻月球相對于地球的升交點赤經(jīng)、軌道傾角和緯度幅角。M1為繞X軸旋轉的轉換矩陣。

第二段軌道的轉移時長為：

(20)

式中：H為第二段軌道的雙曲近點角，可以由第二段軌道在月球影響球處的真近點角fLSO求得：

(21)

因此，可以得到在月心J2000坐標系下，返回軌道在月球影響球出口處的位置和速度矢量。通過JPL星歷可以求得月球在出月球影響球時刻的位置和速度矢量，從而可得到在地心J2000坐標系下，返回軌道在月球影響球處出口處的位置和速度矢量，進而轉化為軌道根數(shù)，則從月球影響球到再入點的轉移時間為：

(22)

式中：μe為地球引力常數(shù)；aSE為第三段軌道的半長軸；E為再入點的偏近點角，可以由真近點角fRE求得：

(23)

式中：eSE為地心段返回軌道的偏心率；真近點角fRE可以由下式計算得到：

fRE=

(24)

式中：rvcp、rSE分別為真空近地點和再入點的地心距。進而可以得到返回軌道在再入點的位置、速度矢量，然后可以轉換成軌道根數(shù)，最終得到在再入點的經(jīng)緯度。

第二段軌道采用升軌出發(fā)的方式，第三段軌道采用升軌到達的方式。采用SQP_Snopt優(yōu)化算法進行求解，為了提高收斂速度，將等式約束設置為目標函數(shù)[22]：

JI=|i-ise|+σ|h-hvcp|+|λ-λs|+

|φ-φs|

(25)

式中：σ為相對權值因子，根據(jù)角度和距離單位，結合地球半徑計算協(xié)調(diào)均衡；i、h、λ、φ分別為地心段返回軌道傾角、真空近地點高度、再入點經(jīng)度、再入點緯度在迭代過程中的變化值。

2.3 返回軌道精確設計

2.3.1 高精度動力學模型

在地心J2000坐標系中，考慮各類攝動力，載人飛船的軌道動力學方程為：

AR+AD+AP

(26)

式中：R為載人飛船在地心J2000坐標系中的位置矢量；AN為N體引力攝動，這里只需考慮日月攝動，星體間相對位置可以通過DE405/LE405星歷求解；ANSE為地球非球形攝動；ANSM為月球非球形攝動；AR為太陽光壓攝動；AD為大氣阻力攝動；AP為推力加速度。忽略木星、金星等大行星和地球潮汐的攝動，以及相對論效應等微小攝動量的影響。

2.3.2 兩段軌道精確計算方法

在軌道精確計算中，載人月球極地探測定點返回軌道以月球逃逸軌道近月點為界分為兩個部分，即三脈沖機動軌道和月球逃逸軌道，在高精度模型下分別進行逆向和正向積分計算，兩段軌道精確計算均采用SQP_Snopt算法進行優(yōu)化求解。其中，月球逃逸軌道部分，以軌道初步計算結果作為初值，代入高精度模型中直接進行求解，優(yōu)化目標與約束條件設置與初步計算中保持一致。

三脈沖機動軌道部分，選取以下變量作為優(yōu)化變量：第一次脈沖Δv1、第二次脈沖Δv2、第三次脈沖Δv3、前兩次脈沖施加的時間間隔T11。經(jīng)過高精度軌道模型反向外推，得到施加第一次脈沖處的軌道根數(shù)，約束條件為：

(27)

式中：iHP、ΩHP、eHP、hHP為高精度反向外推后得到的環(huán)月軌道傾角、升交點赤經(jīng)、偏心率和軌道高度。

優(yōu)化目標設置為三次脈沖之和最?。?/p>

J=|Δv1+Δv2+Δv3|min

(28)

3 仿真算例

根據(jù)上文提出的軌道設計方法，本節(jié)進行仿真測試，仿真算例參數(shù)設置為：載人飛船到達極地軌道時刻為2028年1月16日12:48:49，在月固系下，LPO升交點經(jīng)度為130.38°，軌道高度為200 km，軌道傾角86.88°，偏心率為0；返回軌道傾角為43°，真空近地點高度為51 km，再入點經(jīng)度為38.67°，再入點緯度為7.3°，最大飛行時間為5d。

根據(jù)上面設置的參數(shù)，利用本文的方法進行求解，得到初步計算和精確計算的軌道設計結果如表1所示，其中三次脈沖矢量均在月心J2000坐標系下表示。

由表1可以看出，初步計算與精確計算的結果比較接近。通過仿真可知，以初步計算結果作為精確計算的初值，能夠使精確計算的過程快速收斂，并且兩者的結果差異較小。在月心J2000坐標系中畫出載人月球極地探測三脈沖機動定點返回精確軌道如圖5所示。

表1 軌道設計結果

圖5 定點返回軌道精確軌跡Fig.5 Accurate trajectory of point return orbit

4 軌道特性分析

在軌道方案設計階段，工程上通常更加關注一類軌道的規(guī)律與特性，而對單條軌道的設計并不關心。由于上文提出的月球極地探測定點返回軌道優(yōu)化設計策略具有精度高、收斂性好的優(yōu)點，所以本節(jié)采用這一設計策略，根據(jù)大量的仿真計算，對軌道的速度增量特性進行分析。

4.1 月心J2000坐標系中升交點赤經(jīng)變化的影響

分析月心J2000坐標系中升交點赤經(jīng)的變化對速度增量的影響，其他參數(shù)設置不變，僅僅改變LPO在月慣系中的升交點赤經(jīng)，計算所需的速度增量，得到2028年1月18日至21日返回時，每天的升交點赤經(jīng)變化與所需速度增量的關系，如圖6所示。

圖6 2028年1月18～21日返回時不同升交點赤經(jīng)與 速度增量的關系Fig.6 Relationship between right ascension of right ascending node and velocity increment when returning January 18th - 21st, 2028

由圖6可以看出，不同日期返回時，LPO在月心J2000坐標系下的升交點赤經(jīng)變化與速度增量關系圖中，均有兩個極大值和兩個極小值，所需最小速度增量約為800 m/s，最大速度增量不超過1 600 m/s。

4.2 月固系中升交點經(jīng)度變化的影響

分析月固系中升交點經(jīng)度的變化對速度增量的影響，其他參數(shù)設置不變，僅僅改變LPO在月固系中的升交點經(jīng)度，計算所需的速度增量，得到2028年1月18日至21日每天的升交點經(jīng)度變化與所需速度增量的關系，如圖7所示。

圖7 2028年1月18～21日返回時不同升交點經(jīng)度與 速度增量的關系Fig.7 Relationship between ascension of right ascending node and velocity increment when returning in January 18th-21st in 2028

由圖7可以看出，不同日期返回時，LPO在月固系中的升交點經(jīng)度變化與速度增量的關系圖形狀相似。在定點返回約束條件下，當升交點經(jīng)度約為90°或270°時，所需的速度增量較低，約為800 m/s；當升交點經(jīng)度約為0°或360°時，所需的速度增量較高，最大速度增量不超過1 600 m/s。由此可以看出，當LPO升交點與降交點連線與地月連線方向接近垂直時，速度增量消耗較小，可以作為最優(yōu)出發(fā)位置，而當LPO升交點與降交點連線與地月連線方向接近時，速度增量消耗較大。上述變化規(guī)律與文獻[23]采用間接法得到的結果一致，但由于本文考慮了定點返回的約束，消耗的速度增量相對大一點。

續(xù)圖7Fig.7 Continued

4.3 飛行時間變化的影響

以升交點經(jīng)度為111.25°的初始LPO，18日返回為例，分析飛行時間對速度增量的影響。圖8給出了速度增量與飛行時間的關系，從圖中可以看出，隨著飛行時間的增大，總速度增量不斷減小。這一特性與文獻[23]采用間接法得到的結論一致。

圖8 飛行時間與速度增量的關系Fig.8 Relationship between flight time and velocity increment

4.4 返回軌道傾角變化的影響

以升交點經(jīng)度為111.25°的初始LPO，18日返回為例，分析飛行時間對速度增量的影響。圖9給出了不同地心返回軌道傾角對速度增量的影響，可以看出地心返回軌道傾角在43°～88°變化時，速度增量不斷增大，但變化范圍很小，不超過40 m/s。

圖9 返回軌道傾角與速度增量的關系Fig.9 Relationship between geocentric return orbit inclination and velocity increment

因此，從以上分析可看出，從不同升交點赤經(jīng)的LPO返回時，速度增量在800 ～1 600 m/s之間變化。當LPO升交點與降交點連線與地月連線方向接近垂直時，速度增量消耗較小。在返回過程中，飛行時間越長，返回軌道傾角越小，速度增量消耗越小。

5 結束語

針對月球極地探測返回任務，本文對定點返回軌道優(yōu)化設計問題開展了研究，并得到了相關結論。

1)基于月球極地軌道特性，介紹了兩脈沖、三脈沖和四脈沖三種返回軌道機動方案；

2)采用從初步計算到精確計算的串行求解策略，可有效優(yōu)化設計三脈沖機動定點返回軌道；

3)當LPO升交點與降交點連線與地月連線方向接近垂直時，速度增量消耗較小，可以作為最優(yōu)出發(fā)位置；

4)隨著飛行時間的增大，速度增量不斷減小，而隨著返回軌道傾角的增大，速度增量不斷增大。

該結論可為未來載人月球極地探測返回軌道方案設計提供理論依據(jù)。