■許小如(指導(dǎo)教師：徐 揚(yáng))

作者單位：浙江省天臺(tái)中學(xué)2018級(jí)(14)班

由圓錐曲線上一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的相關(guān)問(wèn)題的解決，都回避不了主動(dòng)點(diǎn)的假設(shè)，如何設(shè)立這個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，這正是許多讀者感到困難的一點(diǎn)。

例題已知直線x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C：(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：分別交于M，N兩點(diǎn)。

(Ⅰ)求橢圓C的方程。

(Ⅱ)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值。

解：(Ⅰ)橢圓C的方程為。

(Ⅱ)總體視角。若S點(diǎn)確定，則直線AS，BS，點(diǎn)M，N都也跟著確定。這需先找一個(gè)主動(dòng)變量t，變化范圍是清楚的，使得(變量)表示為主變量t的函數(shù)，然后求的最小值。

視角1：參數(shù)設(shè)置法——換元法。由于圓錐曲線既有普通方程，又有參數(shù)方程，所以設(shè)定坐標(biāo)時(shí)可以只含有一個(gè)參數(shù)，參數(shù)設(shè)置法應(yīng)該是首選的方法。

解法1：設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2cosθ，sinθ)(θ∈(0，π))，則直線AS的方程為y=，得M，所以。設(shè)即3tsinθ+6cosθ=10，由題意得10，即。

所以線段MN的長(zhǎng)度的最小值為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)S為。

視角2：一般坐標(biāo)(x，y)設(shè)置法——直接設(shè)置法。圓錐曲線的普通方程有其“普通性”，則其應(yīng)用一定有“廣泛性”。直接設(shè)置法的特點(diǎn)是設(shè)置(x，y)時(shí)簡(jiǎn)單，應(yīng)要充分注意這個(gè)主動(dòng)點(diǎn)所在曲線的性質(zhì)——x與y的制約關(guān)系。

解法2：設(shè)點(diǎn)S(x0，y0)，，，且yM＞0，yN＜0，則。故，所以有，即。

視角3：在能決定點(diǎn)S的相近關(guān)系中設(shè)置方法——間接設(shè)置法。如果直線AS確定了，那么點(diǎn)S也就定了，這樣，有時(shí)也對(duì)產(chǎn)生點(diǎn)S的“源頭”進(jìn)行設(shè)定。間接設(shè)置法的特點(diǎn)是運(yùn)算量大，但思路自然，操作簡(jiǎn)單。不過(guò)，有時(shí)在“源頭”中有多個(gè)“頭”，這樣就要選擇一個(gè)適當(dāng)、合理、清晰的條件設(shè)置。但有時(shí)這些“頭”的地位是并列的，此時(shí)就要選其中的一個(gè)進(jìn)行設(shè)置。

解法3：因?yàn)橹本€AS的斜率k顯然存在，且k＞0，所以可設(shè)直線AS的方程為y=k(x+2)，得。由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0，它的一個(gè)根為-2。

設(shè)S(x1，y1)，則得。又B(2，0)，得kBS=。

總結(jié)：這里我們共同探索了常用的三種方法，其中解法3的思路最優(yōu)，解法2的思路最巧，解法1的思路最自然。