◇ 廣東 李文東

1 利用平面向量的線性運(yùn)算

例1如圖1所示，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，的模分別為，且與的夾角為α，c o sα＝與的夾角為45°，若則m＋n＝_________．

圖1

解析

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CD∥OA交OB的延長(zhǎng)線于D，于是1，則．在△OCD中，由正弦定理得

圖2

點(diǎn)評(píng)

2 建立坐標(biāo)系，引入坐標(biāo)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算

例2（2017年全國(guó)卷Ⅲ理12）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若，則λ＋μ的最大值為（ ）．

解析

如圖3所示，設(shè)BD與☉C切于點(diǎn)E，連接CE．以A為原點(diǎn)，AD為x軸正半軸，AB為y軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，1）．

圖3

因?yàn)閨CD|＝1，|BC|＝2．所以．因?yàn)锽D切☉C于點(diǎn)E，所以CE⊥BD．所以CE是Rt△BCD中斜邊BD上的高．

即☉C的半徑為．因?yàn)镻在☉C上，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x0，y0），則點(diǎn)P滿(mǎn)足

點(diǎn)評(píng)

坐標(biāo)法是解決向量問(wèn)題的一個(gè)基本方法，解題時(shí)一定要根據(jù)題意合理構(gòu)建坐標(biāo)系．

3 利用平方將向量關(guān)系化為數(shù)量關(guān)系

例3給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°．如圖4所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上 變 動(dòng)．若，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為_(kāi)________．

解析

圖4

點(diǎn)評(píng)

因?yàn)楹蜑閮蓚€(gè)已知的向量，而向量的模已知，因此兩邊平方后可以實(shí)現(xiàn)將向量轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，從而得到x，y的數(shù)量關(guān)系，然后利用不等式的知識(shí)解決．

4 借助三點(diǎn)共線的結(jié)論

例4設(shè)G為△ABC的重心，P為△GBC內(nèi)一點(diǎn)，若，求λ＋μ的取值范圍．

解析

如圖5所示，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)Q，設(shè)由 于于 是三 點(diǎn)共線，于是t λ＋tμ＝1，則λ＋，結(jié)合圖形易知，從而

圖5

點(diǎn)評(píng)

平面中A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是對(duì)于該平面內(nèi)任意的一點(diǎn)O，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得且x＋y＝1．這是平面向量中的一個(gè)重要結(jié)論，利用此結(jié)論可以將系數(shù)和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的模之比．

5 利用平面向量的等和線

例5給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量它們的夾角為120°．如圖6所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上 變 動(dòng)．若，其中x，y∈R，求2x＋3y的范圍．

圖6

解析

圖7

點(diǎn)評(píng)

6 利用數(shù)量積表示系數(shù)

例6正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若，求λ＋μ的值．

解析

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，如圖8所示，顯然

兩式相加得

圖8

點(diǎn)評(píng)

為了將向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量，得到系數(shù)λ，μ，可以進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，建立λ，μ的方程組，然后分別求出λ，μ，這種方法很巧妙，值得推廣．