李暾 張夢丹 姜琰 葛新廣

摘? 要：楊慶山風速譜是Davenport風速譜的近似，可簡化結(jié)構(gòu)風振響應的分析.傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)響應的表達式比較復雜，為此，提出了一種簡明封閉解法.首先，研究了考慮空間相關性的楊慶山風速譜的建筑結(jié)構(gòu)脈動風壓的功率譜密度函數(shù)改進表達式;其次，基于1階微分方程的虛擬激勵法獲得了建筑結(jié)構(gòu)風振響應（結(jié)構(gòu)層絕對位移及其振動速度、層間位移及其變化率）的功率譜密度函數(shù)的統(tǒng)一簡明封閉解;最后，研究了結(jié)構(gòu)層絕對位移和層間位移響應的0—2階及4階的譜矩的簡明封閉解.以10層建筑結(jié)構(gòu)為例，利用該方法和傳統(tǒng)虛擬激勵法進行對比分析，結(jié)果表明：該方法為楊慶山風速譜激勵下結(jié)構(gòu)風振響應的精確解法，且可用于判斷傳統(tǒng)虛擬激勵法分析的精度.

關鍵詞：楊慶山風速譜;1階微分方程虛擬激勵法;譜矩;簡明封閉解

中圖分類號：TU311.3? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.04.001

0? ? 引言

近年來隨著中國城市化的快速發(fā)展，人口大量涌入城市，高層住宅成為城市解決市民居住的主要途徑.高層建筑向著高強輕質(zhì)的方向發(fā)展，因此，建筑結(jié)構(gòu)相對較柔，對風荷載的作用比較敏感.風對建筑的作用由平均風壓引起的側(cè)移和脈動風壓引起的振動組成，其中，脈動風壓所引起的振動對于高層建筑的居住舒適度影響較大[1-3].Davenport[4]首次提出了著名的Davenport風速譜，其已成為各國建筑規(guī)范風荷載取值的基礎，但其表達式比較復雜，工程應用時無法獲得解析解或者解析解比較復雜[1].為此，工程界出現(xiàn)了基于Davenport風速譜的改進風速譜[1，5].楊慶山等[5]利用濾波方程提出了近似的風速譜，并應用于懸索橋的風振分析，但所得結(jié)構(gòu)響應的表達式比較復雜.李暾等[6]利用復模態(tài)方法研究了TLD耗能減振結(jié)構(gòu)風振響應的解析解，但所得表達式比較復雜，且沒有獲得結(jié)構(gòu)響應的1階譜矩，故對于結(jié)構(gòu)響應為窄帶的隨機過程無法進行高精度的結(jié)構(gòu)的動力可靠度分析[1，7-9].

結(jié)構(gòu)的隨機風振響應分析主要有時域法和頻域法[10-11]，兩種方法各有特色.時域法應用的前提是隨機激勵具有協(xié)方差函數(shù)，利用該方法可直接獲得結(jié)構(gòu)響應的方差，而Davenport風速譜沒有協(xié)方差函數(shù)，故時域法在基于Davenport風速譜下的振動分析時需要復雜的等效變化[6，12]，且所得結(jié)構(gòu)響應表達式比較復雜，但無法獲得結(jié)構(gòu)響應的1階譜矩，故無法進行基于窄帶系統(tǒng)的可靠度分析.頻域法中，結(jié)構(gòu)風振響應的功率譜密度函數(shù)與風振激勵的功率譜有著直接的代數(shù)關系，因此，具有物理意義明確、表達式簡潔的特點.虛擬激勵法[11，13-14]和隨機振動矩陣直接譜分析法[15]是頻域法的典型代表，特別是虛擬激勵法有著廣泛的工程應用[16].然而，無論哪種頻域法在求解結(jié)構(gòu)方差和譜矩均需要數(shù)值積分，故存在計算效率慢和精度不高的問題.

本文針對基于楊慶山風速譜下結(jié)構(gòu)風振響應分析解析解表達式復雜或者需要數(shù)值積分的問題，提出一種分析結(jié)構(gòu)風振響應0—2階譜矩及4階譜矩的簡明封閉解法.首先，給出楊慶山風速譜的二次正交等效表達式及考慮豎向空間相關性的脈動風壓功率譜密度函數(shù)的簡明表達式;其次，利用復模態(tài)方法獲得結(jié)構(gòu)風振響應（結(jié)構(gòu)層絕對位移及其振動速度、層間位移及其變化率）的二次正交功率譜密度函數(shù)的簡明表達式;最后，基于譜矩的定義，獲得了結(jié)構(gòu)風振響應的0階、1階、2階及4階的譜矩的簡明封閉解.

4? ? 算例

某海邊地帶（A類地區(qū)）有1座10層的高層鋼結(jié)構(gòu)建筑，地面粗糙度系數(shù)為Kr=0.001 29.其中第1層至第3層的層間質(zhì)量為[m1～m3=380×103 kg]，層間剛度為[k1～k3=330×106 N/m]，迎風面積均為150 m2; 第4層至第10層的層間質(zhì)量為[m4～m10=320×103 kg]，層間剛度為[k4～k10=280×106 N/m]，迎風面積均為105 m2，各層高度均為3.3 m.結(jié)構(gòu)的阻尼比[ξ]1=0.05，脈動風速為[v0]=33.5 m/s，對應楊慶山風速譜參數(shù)：? [α1]=0.381 5，[β1]=0.015 8，[γ1]=0.833 0.

4.1? ?風譜的對比分析

為驗證本文所給楊慶山風速譜表達式的正確性，圖1給出與楊慶山風速譜原表達式的對比分析.從? 圖 1中可知兩者完全吻合，說明本文所給楊慶山風速譜的等效表達式是正確的.

4.2? ?結(jié)構(gòu)響應功率譜對比分析

為驗證本文所提結(jié)構(gòu)響應功率譜的正確性，與虛擬激勵法的功率譜進行比較如圖2—圖4所示.? ? ? ? ?從圖2—圖4中可以看出本文方法和虛擬激勵法的位移功率譜和層間功率譜完全重合.然而本文方法所得到的功率譜為系統(tǒng)特征線性組合，更為簡潔，故便于工程應用.

4.3? ?譜矩的對比分析

為驗證本文方法計算結(jié)構(gòu)風振響應譜矩解析解的正確性，與傳統(tǒng)虛擬激勵法進行對比.傳統(tǒng)虛擬激勵法需采用數(shù)值積分在[0，∞）區(qū)間進行求解，是無法實現(xiàn)的.結(jié)構(gòu)響應的功率譜密度函數(shù)的峰值與結(jié)構(gòu)的自振頻率有關，對于建筑結(jié)構(gòu)而言，結(jié)構(gòu)的周期小于0.01 s～3 s，對應的圓頻率為628 rad/s～1 rad/s，而風速譜的頻率范圍是[0，∞），故本文分析時為了精度更高，傳統(tǒng)虛擬激勵法采用[0，10 000]，遠遠超過結(jié)構(gòu)的卓越頻率.根據(jù)功率譜函數(shù)隨著頻率的增大，功率譜值越來越小的特點，因此，取積分區(qū)間為[0，10 000）.由于數(shù)值積分精度與積分步長密切相關，為此本算例中取3種積分步長：1）頻率積分間距為1.00 rad/s;2）頻率積分間距為0.50 rad/s;3）頻率積分間距為0.05 rad/s.譜矩對比如圖5—圖12所示.

從圖5—圖12可知，傳統(tǒng)虛擬激勵法的積分步長對計算精度影響較大，積分步長選擇不當，結(jié)果可能偏大也可能偏小，這一特點從功率譜密度函數(shù)的凸凹型可以理解.積分步長越小，計算的譜矩與本文方法越接近，故本文方法是正確的.從CPU耗時來看，傳統(tǒng)虛擬激勵法的計算時間隨著積分區(qū)間的減小而增加，1）耗時4.161 9 s;2）耗時6.306 0 s;3）耗時66.400 0 s.本文方法耗時0.099 9 s.本文方法和傳統(tǒng)虛擬激勵法耗時相比，1）比值1/41;2）比值1/63;3）比值1/664.故本文的計算效率最高.

5? ? 結(jié)論

本文對基于楊慶山風速譜的結(jié)構(gòu)風振響應譜矩的簡明封閉解進行了研究，獲得如下結(jié)論：

1）結(jié)構(gòu)的振動方程可通過復模態(tài)方法解耦為1階微分方程組，利用虛擬激勵法可將結(jié)構(gòu)響應的功率譜

簡化為關于頻率變量的二次型，為譜矩的封閉解析解奠定基礎.因此，本文方法本質(zhì)上是一種改進虛擬激勵法.

2）傳統(tǒng)虛擬激勵法計算結(jié)構(gòu)風振響應譜矩，計算效率和計算精度受積分步長影響較大，而本文方法譜矩為解析解.對于多自由度結(jié)構(gòu)來說，無論是傳統(tǒng)的虛擬激勵法還是本文方法都需要對結(jié)構(gòu)的振動方程進行解耦，都需要獲得結(jié)構(gòu)的振動特征值.故本文方法可用來驗證傳統(tǒng)虛擬激勵法的分析精度.

3）本文方法獲得了結(jié)構(gòu)風振位移和層間相對位移的0階、1階、2階的封閉解析解，為基于更精確的Markov理論可靠度分析奠定基礎;獲得了結(jié)構(gòu)風振位移的4階譜矩，為基于風振舒適度[18-20]控制研究奠定基礎.

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