劉兵華

本文以2020年全國I卷理數(shù)17題為例，通過多角度的思考與深層的挖掘，滲透數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、試題及分析

題目（2020年全國I卷理17）設(shè){a，}是公比不為1的等比數(shù)列，a，為a，a的等差中項。

（1）求{a，}的公比;

（2）若a=1，求數(shù)列{na，}的前n項和。

點評：（1）主要考查等差中項及等比數(shù)列概念，屬于基礎(chǔ)概念題;（2）主要考查“等差x等比”型數(shù)列求和問題，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力要求較高。解決這種題型的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為可利用公式求和的數(shù)列。筆者嘗試從學(xué)生最熟悉的方法人手，層層深挖、適當(dāng)點撥，多角度進(jìn)行一題多解，以此開闊學(xué)生視野、發(fā)展思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、解法探究及模型建立

解析（1）由題意可知：2a=a，+a3，即2a=a;9+a，q

因為a≠0，故q+q-2=0，解得q=-2或q=1（舍）。

（2）此時a，=a，q"'=（-2）"，記數(shù)列{na，}的前n項和為Sn。

下面，從不同角度探究第（2）問解法。

解法一：錯位相減法。

在解決“等差x等比”型數(shù)列求和時，由于有推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和作鋪墊，錯位相減是我們解決此類問題最常規(guī)的方法。這種方法的靈魂在于“錯位”，故書寫的格式非常重要，同時“錯位”也能很輕松地解決作差后的項數(shù)問題。

模型建立：設(shè){a，}，{b，}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，它們的通項公式分別為a，=an+b，

b，=q”-‘（q#1），求數(shù)列{a。.b，}的前n項和Sn。

解法二：分組求和。

在教完錯位相減法后，我鼓勵同學(xué)們用其他方法解決此類問題。后來有同學(xué)提出這種解法。利用分組求和的方法將陌生形式轉(zhuǎn)化為可求和的等比數(shù)列，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類討論和化歸的思想，同時也鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。

解法三：裂項相消法。

對于等比數(shù)列b，=b.qn”-'（q#1），我們可以將其列項等到b。=（b，-bl），也就是說等比數(shù)列可以采用列項的方式求和。那么對于“等差x等比”型數(shù)列是否也可以采用這種方法呢？可以由特例人手觀察系數(shù)特點，2”=2"+1-2"，從而探索出用待定系數(shù)法進(jìn)行列項。

解法四：導(dǎo)數(shù)法。

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，它與函數(shù)存在諸多共性。在求等差數(shù)列前n項和的最值時我們可以借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在解決這個問題的時候，可先讓學(xué)生觀察其式子特點，從而聯(lián)系函數(shù)求導(dǎo)后存在形式類似之處。由此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力，提高核心素養(yǎng)。

三、反思總結(jié)

“等差x等比”型數(shù)列是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的一種重要題型，也是高考數(shù)列題的?？键c，解法

是最直接的常規(guī)解法，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為可直接求和的等比數(shù)列，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想，需要學(xué)生有良好的建模素養(yǎng)。解法三通過裂項相消來求和其實學(xué)生也不陌生，但對于這種數(shù)列求和則是一種大膽的嘗試，需要學(xué)生有良好的運算和分析能力。解法四運用函數(shù)思想來研究數(shù)列，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的整體性。

通過一題多解讓學(xué)生從學(xué)會做一道題成長到解決一類題，進(jìn)而達(dá)到讓學(xué)生能夠自己探究和提出問題的層面。在解題中思維得到鍛煉，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升。

【參考文獻(xiàn)】

徐學(xué)軍：《從錯位相減法到裂項相消法》，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》2014年第1期。