曹建立，韓智勇，任鳳玉，譚寶會

(東北大學資源與土木工程學院，遼寧 沈陽 110819)

巖體質量劃分一直是地下巖體工程穩(wěn)定性研究的基本內容之一。由于巖體固有的非均勻性，質量分級是隨機的，受諸多因素的控制。近年來，國內外眾多學者陸續(xù)將一些新的數(shù)學理論或系統(tǒng)工程分析方法引入到巖體質量等級劃分中，諸如分形插值[1]、灰色關聯(lián)聚類模型[2]、可拓學[3]、距離判別法[4]、未知測度理論[5]、可變模糊集[6]、TOPSIS模型[7]、云模型[8]等。但以上方法皆不完善，究其根源主要體現(xiàn)在兩方面。一是現(xiàn)有的大多數(shù)分類算法忽略了各指標間、指標與分類等級間的動態(tài)交互關系，魯棒性有待提高。事實上已有研究結果表明巖體工程參數(shù)間存在多重相關性[9]，孤立地研究單一指標對評價系統(tǒng)的影響勢必造成以偏概全的錯誤，使得評價結果與實際不符。二是算法降噪能力弱。由于巖石物理力學參數(shù)的提取受諸多因素的影響，同一組試驗樣本室內測量和現(xiàn)場測量所得數(shù)據(jù)存在一定差異，不能有效降低或排除指標參數(shù)的不確定性、模糊性以及隨機性對系統(tǒng)的干擾。所以根據(jù)指標間的靜態(tài)、動態(tài)交互關系判別各巖體力學指標測量值的真?zhèn)卧诠こ虒嵺`以及今后的研究中顯得尤為重要。故而如何降低評價指標內外因素對分類系統(tǒng)的影響顯得十分關鍵。

1 集對云模型的概念與算法

1.1 集對分析

集對分析(set pair analysis，SPA)是一種把不確定性與確定性視為一個系統(tǒng)來加以研究的新理論技術，能有效地刻畫系統(tǒng)確定性與不確定性的同一、差異、對立關系。 基本思想是把研究對象看成兩個集合組成的集對，分析兩個集合之間的同異反聯(lián)系。

設兩個集合A、B組成的集對H=(A，B)，在特定研究背景下，集對H共有N個總特征，其中，有S個特征是兩個集合的共同特征；有P個特征是兩個集合相對立的；F=N-S-P個特征是介于兩個集合之間的不確定關系。則定義A、B的聯(lián)系度μ的數(shù)學表達式見式(1)。

(1)

1.2 集對云模型

云模型作為人工智能算法的一個分支，是一種描述不確定性關系的數(shù)學統(tǒng)計方法。但傳統(tǒng)云模型的應用存在明顯缺陷：一是評價指標需完全服從無限區(qū)間里的正態(tài)分布；二是界限指標值分屬兩個相鄰評價語量的確定度不唯一而與實際情況相悖。為了真實反映實際巖體質量等級評價指標的分布特點，應用集對論的思想對標準云模型加以修正和改進，提出集對云模型的內涵和計算模型。

設U是一個用精確數(shù)值表示的一種閉區(qū)間的定量論域，C是U上的定性概念，若存在定量數(shù)值x∈U，且x是定性概念C的一次隨機實現(xiàn)，x對C的確定度μ(x)∈[0,1],是具有穩(wěn)定性傾向的隨機數(shù)，見式(2)。

μ:?x∈Ux,x→μ(x)

(2)

(3)

(4)

(5)

同理亦可求出指標值越大，等級越小型指標屬于等級k的左、右半?yún)^(qū)間長度。

Ex1=a;En1=b;He1=c;En1’=b;He1’=c;

fori=1ton

Enn1=Randn(1)*He1+En1;

x1(i)=Randn(1)*Enn1+Ex1;

ifx1(i)>=a

y1(i)=(1-((x1(i)-Ex1)/(Enn1*(2*k1+3)∧(1/2)))∧2)∧k1;

elsewhilex1(i)

x1(i)=Randn(1)*Enn2+Ex2;

y1(i)=(1-((x1(i)-Ex1)/(Enn1*(2*k1+3)∧(1/2)))∧2)∧k1;

end

end

x1’(i)=Randn(1)*Enn1’+Ex1;

ifx1’(i)<=a

y1’(i)=(1-((x1’(i)-Ex1)/(Enn1’*(2*k1’+3)∧(1/2)))∧2)∧k1’;

elsewhilex1’(i)>a

x1’(i)=Randn(1)*Enn1’+Ex1;

y22(i)=(1-((x1’(i)-Ex2)/(Enn1’*(2*k1’+3)∧(1/2)))∧2)∧k1’;

end

end

End

2 巖體質量分類算法的構建

2.1 基于Jousselme距離與指標信度測度函數(shù)賦權法

本文針對不同的指標實測值以嶺函數(shù)[10]構造各指標的Mass函數(shù)，通過融合Jousselme距離[11]多指標關系系數(shù)，借此刻畫指標之間的關聯(lián)性，在充分考慮了指標實測數(shù)據(jù)真實性的前提下，對其進行信度歸類并賦予不同的權重，以實現(xiàn)對整個系統(tǒng)的動態(tài)賦權過程，其具體賦值過程如下所述。

步驟一：Mass函數(shù)的構造。目前，Mass函數(shù)的構造方法在工程中還尚未統(tǒng)一，往往根據(jù)實際狀況的不同而選擇不同的方法。本文采用嶺型函數(shù)作為構造Mass函數(shù)的理論基礎，以減少主觀因素的影響，使之更能體現(xiàn)工程實踐中各種參數(shù)的不確定性和模糊性，將其推廣到一般形式，可以得出任意區(qū)間k的一般表達式，見式(6)。

uk(x)=

(6)

(7)

(8)

(9)

步驟五：指標的不確定度計算。依據(jù)信息熵的原理計算各指標的不確定度UM(xi)，并進行歸一化得到Ent(xi),計算見式(10)。

(10)

對于可信指標，Ent(xi)越小說明指標包含的信息就越清晰，可信度越高，權值就越大，反之權值越??；對于不可信指標，Ent(xi)越小說明指標包含的信息就越清晰，包含的信息量大，可信度越高，權重越小，反之亦然。鑒于此，引入指標信度測度函數(shù)來確定權重，其中可信函數(shù)和失信函數(shù)定義見式(11)。

(11)

式中，參數(shù)θ為待定系數(shù)，一般θ∈[0,1],視情況而定本文取θ=0.5。

步驟六：權重求解。依據(jù)信度函數(shù)可歸一化并得出指標xi的權值ωi,計算見式(12)。

(12)

2.2 巖體質量分類算法

(13)

基于集對云模型可計算某指標實測值xj隸屬于某個等級云的確定度，再結合各指標的權重，便可計算出樣本指標的綜合確定度μk,計算見式(14)。

(14)

式中，ωj為樣本的第j個指標的權重。對于綜合確定度分類判別，一般的做法是按最大隸屬原則，比較隸屬于各個等級的綜合確定度大小進而得出最終的隸屬等級L，但該方法理論上存在明顯缺陷。 例如，對于綜合確定度向量μ=[0.40 0.35 0.15 0.10

0.00],若按最大隸屬度原則，則最終被判為一等級，但隸屬于其他等級為0.6，大于0.4，故而在某些情況下使用最大隸屬度原則會造成判別錯誤。本文在參考距離判別分析原理的基礎上提出距離判別準則，即以樣本各等級的綜合測度值與總體之間的距離大小為判別標準，取距離最小的為最終判別等級。

(15)

基于指標關聯(lián)性的巖體質量集對云模型分級算法的具體實現(xiàn)流程如圖1所示。

圖1 考慮指標關聯(lián)性的集對云算法流程Fig.1 The set pair cloud algorithm flow of considering index relevance

3 工程實例

3.1 巖體質量分類標準體系

參考相關規(guī)范與標準[12-13]，本文選擇巖石單軸抗壓強度Rc、RQD值、巖體變形模量E、巖石泊松比μ、巖體抗剪斷強度C、結構面摩擦因數(shù)f、地下水狀態(tài)A、巖體結構面產(chǎn)狀B作為評價指標。

表1 巖體質量評價指標分級表Table 1 The classification of rock mass quality

圖2 各評價指標的集對云模型Fig.2 Set pair cloud model for each evaluation index

3.2 巖體質量分類算法有效性檢驗

基于指標關聯(lián)性的集對云分類算法的實踐性和推廣性總體依賴其分類結果的準確性和有效性，在充分考慮樣本數(shù)據(jù)的確定與不確定性、隨機性及模糊性等條件下，引用大量的樣本對本模型進行驗證顯得十分必要。因此本文選用文獻[1]所給出的25組樣本作為模擬數(shù)據(jù)，具體見表2。

1) 指標權值計算。指標權重的確定是影響分類結果的主要因素，基于Jousselme距離與指標信度測度函數(shù)確定權重旨在突出工程應用條件的多變性、復雜性以及力學參數(shù)測量結果的不確定性和隨機性，根據(jù)指標間的動態(tài)關聯(lián)性以指標總體為參考對各個指標的測量數(shù)據(jù)真?zhèn)芜M行評價，降低由于數(shù)據(jù)來源的不確定性對分類結果的影響，從而提高分類算法的適應性，具體操作程序依照2.1節(jié)依次展開。

2) 集對云綜合確定度?；诟鳂颖局笜藱嘀丶捌潆`屬于各等級的確定度可求出最終的綜合確定度，依據(jù)歐式距離判別法可判定最終樣本分類等級，具體分類結果見表2。由表2可知，本算法的分類結果與逼近理想解排序法、分形插值法相一致，具有較高的準確度，進一步說明了該算法一定程度上具有可行性和有效性。

表2 測試樣本數(shù)據(jù)Table 2 Data of test samples

3.3 實例應用

中鋼錫林浩特螢石礦為急傾斜中厚礦體，礦體的上下盤圍巖以黑云母斜花崗巖為主，礦巖接觸帶的圍巖主要為蝕變閃長巖，含量較少，地下水最大涌水量低于50 L/(min·m)。為提高礦山生產(chǎn)能力，擬采用階段空場嗣后充填法回采，為保證回采工作安全高效，必須對采場巖體質量進行準確分級。本文以中鋼錫林浩特螢石礦一采區(qū)第4中段與第5中段采場巖體為研究對象，每個中段取5個觀測點，結合工程地質調查和室內巖石力學試驗的結果，對影響采場穩(wěn)定性的巖體質量進行分級評價，各個觀測點的調查數(shù)據(jù)見表3。

表3 地下工程巖體指標觀測值Table 3 Measured values of rock index at some underground engineering sites

由表4可知，Rc與RQD的所分配比值較小，說明在做點載荷實驗、巖芯統(tǒng)計及其換算過程中受不確定因素影響較為嚴重，反映了其測量值與其他指標測量值的表現(xiàn)行為相悖。依據(jù)集對云算法或其云滴圖(圖2(a))，可得出Rc=75.91隸屬于Ⅲ等級、Ⅳ等級的確定度分別為uⅢ=0.096 3，uⅣ=0.868 3，uⅠ=uⅡ=uV=0,說明其隸屬于Ⅳ等級的可能性最大，其次是等級Ⅲ，最終將各單因素確定度加權后可得出該樣本R1的綜合確定度，同理可依次計算出其他指標的綜合確定度，并根據(jù)集對云綜合確定度最小距離判別法，最終將其歸為Ⅱ等級。其他樣本最終類別見表5。

表4 各樣本指標權值Table 4 Weight coefficients of each sample indexes

表5 集對云綜合確定度及距離判別Table 5 Set pair cloud comprehensive determination degree and distance discrimination

3.4 系統(tǒng)魯棒性分析

魯棒性用以表征系統(tǒng)對特性或參數(shù)波動的不敏感性，要求模型在輸入?yún)?shù)的波動下系統(tǒng)地輸出性能指標仍然保持在理想范圍內，在實際工程中產(chǎn)生的波動主要源于分類系統(tǒng)的適應性和參數(shù)的不確定性。通過該算法對35個分類樣本進行分類檢驗，與其他方法相比準確率高達100%，基本符合巖體工程條件的復雜性與不確定性。

4 結 論

1) 建立了以指標距離為基礎的信度測度賦權理論，計算得到了各指標的準確權重，降低了實際過程中因指標實測值出現(xiàn)誤差或錯誤而造成評價結果與實際偏差較大的風險。

2) 通過分析傳統(tǒng)云模型應用過程中存在的明顯缺陷，借助集對分析建立了考慮指標關聯(lián)性的巖體質量分級集對云算法。通過25組樣本數(shù)據(jù)進行模擬分析，發(fā)現(xiàn)評價結果與逼近理想解排序法和分形插值法的評價結果相吻合，證明了該算法的可靠性。

3) 將集對云算法運用于錫林浩特螢石礦上下盤圍巖質量評價，預測結果與實際情況相符，可為礦山采礦方法改進和采場結構參數(shù)優(yōu)化提供指導，表明該算法具有重要的工程實用價值，可運用于地下工程巖體質量分級評價。

致謝感謝東北大學資源與土木工程學院徐曾和教授為本文中涉及到的數(shù)學理論及公式進行審閱！