趙 暢，裴旭明，王海峰，康 凱

(1.中國科學(xué)院大學(xué)微電子學(xué)院，北京 100049；2.中國科學(xué)院上海高等研究院，上海 201210；3.中國科學(xué)院微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所，上海 200050)

0 引言

日益加劇的水污染問題凸顯出水質(zhì)監(jiān)測(cè)工作的重要性。常規(guī)的監(jiān)測(cè)方法是水質(zhì)實(shí)驗(yàn)室定期采樣，該方法精度高、監(jiān)測(cè)的參數(shù)多，但過程繁瑣、實(shí)時(shí)性差[1]?；跓o線傳感器網(wǎng)絡(luò)的水質(zhì)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)實(shí)時(shí)性強(qiáng)，得到廣泛應(yīng)用[2]。然而，部署在系統(tǒng)中的傳感器會(huì)因?yàn)槔匣?、中毒等而出現(xiàn)漂移現(xiàn)象[3]。因此，研究傳感器校準(zhǔn)問題，能提高水質(zhì)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，對(duì)于水污染防治具有重要意義。

已有的傳感器校準(zhǔn)方法主要分為兩大類：一類是從電路和工藝的角度提高精度[4-5]，但該方法對(duì)器件工藝要求高，技術(shù)上不夠成熟；另一類是從信號(hào)處理的角度進(jìn)行校準(zhǔn)，主流方法是利用數(shù)據(jù)的時(shí)空相關(guān)性進(jìn)行同構(gòu)或異構(gòu)盲校準(zhǔn)[6]，但盲校準(zhǔn)方法存在傳感器集體漂移的極端情況，校準(zhǔn)偏差較大。另外，有些研究是利用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)作為參考來校準(zhǔn)。Moon等人[7]為了補(bǔ)償溫度傳感器的漂移，提出一種多元線性回歸方法，比較了校準(zhǔn)溫度與單個(gè)溫度探頭的均方根誤差；Bhatt等人[8]參考地球靜止軌道衛(wèi)星可見傳感器得到大氣輻射模型，從而校準(zhǔn)目標(biāo)傳感器；高可等人[9]研究了基于無磁轉(zhuǎn)臺(tái)的標(biāo)定方法，依靠外界參考信息來校正磁強(qiáng)計(jì)。但這類方法需要大量樣本數(shù)據(jù)，而參考數(shù)據(jù)不易獲取。

現(xiàn)階段我國環(huán)境監(jiān)測(cè)以人工采樣和實(shí)驗(yàn)室分析為主，實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)樣本相對(duì)于監(jiān)測(cè)系統(tǒng)是稀疏的。本文利用稀疏采樣算法，對(duì)比分析監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)，提高水質(zhì)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。

1 系統(tǒng)建模

1.1 問題描述

在基于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的水質(zhì)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，將在t=[1,2,…,N]T時(shí)間某個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)記為s=[s1,s2,…,sN]T，其中N表示傳感器測(cè)量次數(shù)。假設(shè)真實(shí)環(huán)境物理量為r=[r1,r2,…,rN]T，且與傳感器漂移d、噪聲ω滿足加性關(guān)系[6]：

s=r+d+ω

(1)

式中：d為傳感器漂移，d=[d1,d2,…,dN]T，屬于系統(tǒng)誤差；ω為隨機(jī)噪聲，ω=[ω1,ω2,…,ωN]T，是零均值、方差為σ2的高斯白噪聲。

(2)

如果已知部分時(shí)間點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的傳感器漂移，就可以把時(shí)間作為自變量，把傳感器漂移作為因變量，進(jìn)行曲線擬合來求解漂移模型的參數(shù)，從而求得密集的傳感器漂移序列d=[d1,d2,…,dN]T。

(3)

式中：M為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的采樣次數(shù)；N為傳感器測(cè)量次數(shù)；γ為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的采樣率;s.t.表示受約束于，其后為約束條件。

觀測(cè)矩陣Φ是一個(gè)M×N的稀疏矩陣。誤差表示如下：

(4)

因此，傳感器校準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為了傳感器時(shí)間漂移的模型估計(jì)和觀測(cè)矩陣的優(yōu)化問題。

1.2 基于壓縮感知的觀測(cè)矩陣模型

在時(shí)間序列t=[1,2,…,N]T內(nèi)，傳感器測(cè)量N次，在該傳感節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行M次實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的采樣，對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)間序列為ts=[t1,t2,…,tM]T，(1≤t1

根據(jù)壓縮感知理論[10]，長度為N的傳感器數(shù)據(jù)s=[s1,s2,…,sN]T，與長度為M的采樣時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)ss之間滿足以下關(guān)系：

ss=Φs

(5)

當(dāng)s足夠稀疏(‖s‖0<

s=Ψx

式中：Ψ為稀疏表達(dá)基；x是N×1的稀疏向量，滿足‖x‖0=K，且K<

2 算法描述

基于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)稀疏采樣校準(zhǔn)算法的流程如下：

(1)輸入：采樣率γ，迭代次數(shù)L；

(2)初始化：總時(shí)間N，環(huán)境量r，傳感器數(shù)據(jù)s；

(3)計(jì)算采樣點(diǎn)數(shù)M=N×γ；

(4)對(duì)于周期性觀測(cè)矩陣的第j行，如果j=0，Φ(0，0)←1，否則Φ(j,j×int(N/M)-1)←1；

(5)在每一次迭代中：

④根據(jù)式(4)計(jì)算第i次迭代的均方根誤差；

⑤計(jì)算每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的平方誤差，從小到大排序；

⑥將前M個(gè)最小誤差的時(shí)刻tm升序排,存為ts；

⑦將觀測(cè)矩陣賦值為全0矩陣；

⑧更新觀測(cè)矩陣Φ(j,ts[j])←1。

在第1次迭代中，采用周期性觀測(cè)矩陣Φ來確定采樣時(shí)刻ts。在以后的第i(i≥2)次迭代過程中，采樣時(shí)刻的確定方法是：計(jì)算第i-1次迭代時(shí)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳感器校準(zhǔn)值和測(cè)量值的平方誤差，將誤差從小到大排序，選取前M個(gè)最小誤差所對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)，將其組成向量tm，把時(shí)間點(diǎn)按照誤差升序排列后，即可得到第i次迭代的采樣時(shí)間序列ts=[t1,t2,…,tM]T。總時(shí)間t和采樣時(shí)間ts構(gòu)成一個(gè)M×N的觀測(cè)矩陣Φ(M<

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真數(shù)據(jù)集由104個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的環(huán)境數(shù)據(jù)和pH傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)組成。為了簡便處理，假設(shè)測(cè)量過程中的隨機(jī)噪聲為高斯白噪聲。

本文以離子敏場(chǎng)效應(yīng)管(ion-selective field effect transistor，ISFET) pH傳感器漂移模型為例，生成仿真的漂移數(shù)據(jù)。Jamasb等人[3]建立了ISFET pH傳感器的漂移物理模型：

(6)

式中：ΔVG(t)為ISFET柵極電壓的變化量；QI是由絕緣體中可能存在的各種電荷在半導(dǎo)體中誘導(dǎo)的單位面積有效電荷；QD和Qinv分別為存儲(chǔ)在半導(dǎo)體耗盡層中的電荷和反電荷；εins為pH敏感絕緣體的介電常數(shù)；εSL為化學(xué)表面改性層的介電常數(shù)；xSL(∞)為表面改性層的最終厚度；τ是松弛時(shí)間常數(shù)；β表示擴(kuò)散過程的擴(kuò)散參數(shù)。

能斯特方程[11]描述了離子傳感器的響應(yīng)電勢(shì)隨離子活度的變化關(guān)系，其表達(dá)式為：

(7)

式中：E為指示電極的電勢(shì)；E0為電極的標(biāo)準(zhǔn)電勢(shì)；R為焦耳常數(shù)；T為熱力學(xué)溫度；F是法拉第常數(shù)；αH是外側(cè)溶液中離子活度，與離子濃度成正比。

當(dāng)溫度恒定時(shí)電化學(xué)pH傳感器產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)是pH的線性函數(shù)。將式(6)的漂移模型簡化成含參數(shù)k、α、β的函數(shù)，則時(shí)刻n的漂移可以表示為：

dn=k×{1-exp[-(αn)β]}

(8)

利用式(8)生成仿真的漂移數(shù)據(jù)，相應(yīng)參數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 漂移模型參數(shù)

仿真實(shí)驗(yàn)分為兩個(gè)步驟：數(shù)據(jù)預(yù)處理；驗(yàn)證第3節(jié)算法性能，得到采樣點(diǎn)分布和校準(zhǔn)誤差。

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

校準(zhǔn)數(shù)據(jù)前要進(jìn)行預(yù)處理，包括處理缺失值和異常值。

缺失值：用前一個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)來填充缺失數(shù)據(jù)。

(9)

(10)

如圖1(a)所示，原始測(cè)量數(shù)據(jù)中有缺失值和異常值，圖中橫坐標(biāo)表示時(shí)間點(diǎn)，縱坐標(biāo)表示該時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的pH數(shù)值。經(jīng)過預(yù)處理后的數(shù)據(jù)如圖1(b)所示，不完整數(shù)據(jù)和不一致數(shù)據(jù)明顯減少，數(shù)據(jù)趨于平滑。

(a)原始的傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)

(b)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)圖1 原始傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)與預(yù)處理后的數(shù)據(jù)

3.2 校準(zhǔn)結(jié)果分析

仿真中設(shè)置采樣率γ=0.5%，迭代次數(shù)L=20，總時(shí)間長度N=104，采樣點(diǎn)數(shù)目M=50。觀測(cè)矩陣Φ初始化為周期性矩陣，即每隔200個(gè)點(diǎn)采樣1次，矩陣每行只有一個(gè)非0元素“1”，每列的非0元素的間隔相同，形式如下：

當(dāng)算法穩(wěn)定時(shí)，觀測(cè)矩陣為非均勻矩陣，采樣點(diǎn)ts與總時(shí)間t之間滿足ts=Φt。

圖2 校準(zhǔn)前后數(shù)據(jù)對(duì)比與標(biāo)準(zhǔn)采樣點(diǎn)的分布

圖3反映了校準(zhǔn)誤差隨迭代次數(shù)的變化，算法迭代20次，校準(zhǔn)誤差為算法最后一次迭代時(shí)校準(zhǔn)值與環(huán)境物理量的均方根誤差RMSE。前幾次迭代過程中，校準(zhǔn)誤差明顯降低，說明更新觀測(cè)矩陣時(shí)采樣點(diǎn)的變化比較劇烈。經(jīng)過7次迭代后采樣點(diǎn)逐漸穩(wěn)定，校準(zhǔn)模型與環(huán)境物理量之間的損失函數(shù)收斂到7.154×10-3。

圖3 稀疏采樣校準(zhǔn)算法的校準(zhǔn)誤差變化

圖4對(duì)比了不同采樣率下周期性采樣和非周期性采樣的校準(zhǔn)誤差。校準(zhǔn)誤差為算法最后一次迭代的均方根誤差，采樣率的取值集合為{0.2%,0.6%,1.0%,1.4%，1.8%,2.2%}。當(dāng)采樣率低于1.4%時(shí)，兩種采樣方法的校準(zhǔn)誤差都隨著采樣率增加而逐漸降低；當(dāng)采樣率高于1.4%后，兩種方法的校準(zhǔn)誤差趨于穩(wěn)定。另外，非周期性稀疏采樣方法的誤差始終比周期性采樣誤差小?？紤]到仿真數(shù)據(jù)集較小以及損失函數(shù)數(shù)量級(jí)較小等因素，實(shí)際應(yīng)用中，在滿足傳感器數(shù)據(jù)精度的情況下，可以適當(dāng)周期性地采集數(shù)據(jù)，來代替非周期性采樣。

圖4 非周期性采樣與周期性采樣的校準(zhǔn)誤差比較

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)稀疏采樣的傳感器校準(zhǔn)算法。以ISFET pH傳感器為例，應(yīng)用壓縮感知采樣理論，通過迭代優(yōu)化觀測(cè)矩陣得到稀疏的實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)，再估計(jì)傳感器漂移模型，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)校準(zhǔn)。更進(jìn)一步，當(dāng)采樣率為0.5%時(shí)，利用迭代算法給出了非均勻采樣的具體時(shí)間點(diǎn)。該算法滿足稀疏采樣算法的時(shí)間非均勻性的要求，校準(zhǔn)誤差比周期性采樣方法小，計(jì)算復(fù)雜度低，有助于制定實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)的采樣策略。